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欧拉的无解之谜有解了

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发表于 2022-1-13 17:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
欧拉的无解之谜有解了[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]Original [color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]佐佑
原理 [color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]2022-01-12 20:30
[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]


                               
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  无解的36名军官谜题  

你能解开这个谜题吗?

假如你指挥着一支由6个军团组成的军队,每个军团拥有6名不同军阶的军官。那么你能否将这36名军官排进一个6×6的正方形里,让每一行或每一列都不存在重复的军团或重复的军阶

这是莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1779年提出的一个谜题。在可视化这个谜题时,我们可以通过颜色绿、紫、红、橙、蓝、黄来区分军团,再借用国际象棋中的王、后、车、象、马、兵来描述6种不同的军阶。


                               
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涉及来自6个军团的36名军官的谜题可以用有着不同颜色的国际象棋来表示,不同颜色代表不同的军团,象棋中的王、后、车、象、马、兵代表不同的军阶。

就像所有的谜题爱好者一样,欧拉自己也尝试过思考这个问题,但没有成功。1782年,欧拉写道:“在费劲心思求解之后,虽然无法给出严格的证明,但不得不承认这种排列(将36名军官以这种形式被排进6×6的方格中)是不可能的。”

当时,欧拉证明了对于这个谜题来说,任何不是以4k+2的形式存在的军团数和军阶,都存在解。他表示,他所采用的证明方法不适用于对这种形式的数字进行证明。

一个多世纪后,法国数学家加斯顿·塔里(Gaston Tarry)在1901年证明,欧拉的36个军官谜题的确不可能以军阶和军团均不重复的方式被排进在一个6×6的正方形中。然而,当军阶和军团的个数都换成5,或者都换成7时,这个谜题又可以很容易就被解决。

                               
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5×5的方阵可以用5种不同等级和5种不同颜色的棋子填充,且在同一行或同一列不会存在重复的等级或颜色。

到了1960年,数学家用计算机证明,这个谜题对于任何大于2的军团数和军阶数都存在解,唯独除了6


  拉丁方阵:经典 vs 量子  

36名军官的谜题或许会让你联想到许多由正方形中的行和列组成的益智游戏,比如数独。其实,数独是一种拉丁方阵。所谓拉丁方阵,指的是一种由符号(数字和字母)构成的方阵,其中每个符号在每一行和每一列中只出现一次。如果将两个有着相同的大小但不同的符号的拉丁方阵组合在一起,就会得到一个希腊拉丁方阵,也称为欧拉方阵,它包含成对的符号。


                               
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两个拉丁方阵组合在一起,得到一个希腊拉丁方阵。

正如欧拉所意识到的那样,如果36个军官谜题存在解,那么这个解会是一个6x6的希腊拉丁方阵。它包含两组属性——军阶和军团,并需要这两种属性同时满足拉丁方阵的规则。虽然欧拉认为这种6×6的希腊拉丁方阵并不存在,但最近情况似乎有所变化。

在一篇于近期提交到《物理评论快报》的论文中,一组来自印度和波兰的量子物理学家表示,他们用量子力学的思路,对这个谜题进行了量子化,成功地将欧拉的36名军官放进了一个这样的6×6方格中。

如果拉丁方阵中的每一格录入都是量子的,那么它将具有一系列不同寻常的属性。因为在量子力学中,像电子这样的粒子可以处于多种可能状态的“叠加态”。在数学上,量子态可以用有长度和方向的矢量来表示,而叠加是由多个矢量组合而成的箭头。

在经典的拉丁方阵中,每一行和每一列上的符号都是不能重复的。与经典拉丁方阵相比,量子拉丁方阵的每一行或每一列上的量子态都必须对应于相互垂直的矢量

  量子版谜题证明欧拉“错”了  

对于36军官谜题来说,在经典版本中,方阵中的每格录入都代表着一个有着明确军阶和军团的军官。但在新研究中,量子版的军官是由它的军阶和军团的叠加构成的。例如,一个军官可以是红色的王和橙色的后的叠加。

最关键的是,组成了这些军官的量子态存在纠缠关系,换句话说,不同录入之间存在相关性。如果一个红色的王与一个橙色的后纠缠在一起,那么即使这个王和后同时处于多个军团的叠加态,测量到王是红色就能得知后是橙色。由于这种特殊的纠缠属性,每一行或每一列上的军官都可以是相互垂直的。

为了证明这种理论,研究人员需要构建一个被这些量子军官填满的6×6的方阵。由于存在大量的可能组合以及纠缠,因此他们必须以来计算机的帮助。在这个方阵中,研究人员先要输入一个这个谜题的经典版本的近似解。在这个近似解中,36个经典军官的排列在一行或一列中只存在少量的军阶和军团重复。

接着,他们对这个解应用了一种能将这种排列调整为真正的量子解的算法。这个算法的工作原理有点像用蛮力解魔方——先固定第一行,然后固定第一列、第二列……当他们一遍又一遍地重复这个算法时,就可以越来越接近真正的解。

利用这种算法,他们最终得到了36军官谜团的真正的解。在某种意义上,证明了欧拉对于36军官谜题的判断是“错误”的。不过18世纪的欧拉是不可能想到量子军官的可能性的。值得一提的是,新的解有一个特点,那就是军官的军阶只与相邻等级纠缠,比如王与后、车与象、马与兵……而军团也只与相邻的兵团纠缠。


  不仅仅是游戏  

这是量子版拉丁方阵谜题的最新成果。值得一提的是,证明这个始于243年前的谜题有一个量子解,不仅仅只是一个解谜游戏,它还具备实际的应用意义。例如,这一成果可以被应用于量子通信和量子计算领域。

#创作团队:
撰文:佐佑
排版:雯雯
#参考来源:
https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/
https://plus.maths.org/content/36-officers-problem
http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-latinii1
#图片来源:
封面图来源:PIRO4D / Pixabay
插图素材:MR1313 / Pixabay
插图设计:雯雯


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