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理解了源和旋,你就理解了麦克斯韦方程组

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发表于 2021-12-27 13:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
理解了源和旋,你就理解了麦克斯韦方程组

中科院物理所
[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]2021-12-27 11:01
The following article is from 大学物理学 Author 薛德堡



                               
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经典电动力学的基本规律是通过麦克斯韦方程组来描述的,若不考虑三个介质关系,共包含四个方程。

很多人觉得这四个方程看起来好复杂,但事实上,只要你抓住了其中的套路,你会发现,它们比你想象的简单多了。

那么,它们的套路是什么?简单的说,就是分别描述了电场和磁场的散度和旋度是什么的问题。所以,只要你抓住了散度和旋度的概念,并理解了电场和磁场的源和旋,所有困难都将烟消云散。


下面,我们先将方程逐个讲一遍,然后再较详细的阐述一下,对应电场和磁场,源和旋分别是什么。


第一个方程是电场的高斯定理。


WXWorkCapture_16405821274702.png

它给出电场与电荷之间的关系。电荷是电场中静电场部分的源,对于感生电场来说,它是有旋的,它的场线是闭合的曲线,不对任何闭合曲面形成通量,是无源场。

按照高斯定理,场对闭合曲面的通量可以用它的散度对闭合曲面内的体积积分来代替,故有


WXWorkCapture_16405822143551.png

这就是电场的高斯定理的微分形式。它表明,静电场是通过点电荷激发的,电荷密度是静电场的散度,而点电荷是静电场的源,静电场是有源场。

第二个方程是电场的环路定理。


WXWorkCapture_1640582280324.png

它给出电场的环量与磁场的变化之间的关系。 静电场是保守场,它是电势的负梯度,因此一定是没有旋度的,所以静电场的环路积分必定为零。但感生电场是由闭合的场线描绘的,它的旋度等于磁感应强度的时间变化率的负值。

根据斯托克斯定理,场对闭合路径的环量可以用它的旋度对闭合路径包围的曲面的通量来代替,故有

WXWorkCapture_16405823349049.png

这就是电场的环路定理的微分形式。它表明感生电场是变化的磁场激发的,磁感应强度的时间变化率是感生电场的旋度,感生电场是有旋场。

第三个方程是磁场的高斯定理。

WXWorkCapture_16405824122913.png

这是麦克斯韦方程组中最简单的方程。它表明磁场是无源场,所以它对任意闭合曲面都不产生通量,因为磁场从来都不是从某个地方冒出来的,无论是传导电流、磁化电流还是位移电流激发的磁场,他们的场线都是闭合的曲线。

根据高斯定理,磁场的对任意闭合曲面的通量都为零,那说明磁场的散度为零,即

WXWorkCapture_16405820068902.png
这就是磁场的高斯定理的微分形式。它表明磁感应强度没有散度,磁场没有源,是无源场。

最后一个方程是磁场的安培环路定理。


WXWorkCapture_16405824803087.png

它描述磁场强度与传导电流和位移电流的关系。传导电流和位移电流一起构成磁场强度的旋度。凡是有电流出现的地方,必有磁场的旋涡。

根据斯托克斯定理,磁场强度的旋度就是传导电流与位移电流之和,即


WXWorkCapture_16405824974043.png

这就是磁场的安培环路定理的微分形式。 它表明磁场强度是传导电流和位移电流激发的,传导电流和位移电流一起构成磁场的旋度,磁场是有旋场。

WXWorkCapture_16405825204587.png

四个积分形式的方程写在一起为 四个微分形式的方程写在一起为


WXWorkCapture_16405825421087.png

积分形式与微分形式的方程组是等价的,但微分形式更清晰的描述了空间点的电场与磁场的规律。

根据上面第一个微分式,静电场是有源场,它在某点的散度等于该点的电荷密度,那么自然的,对没有电荷的地方,静电场的散度为零。换句话说,静电场是有源场,但静电场并非处处都有散度。



                               
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根据第二个微分式,电场也可能有旋度,但导致这个旋度的电场是电场中的一种特殊成分——感生电场,它是由变化的磁场激发的一种电场,它的旋度等于磁场的时间变化率的负值。



                               
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第三个微分式告诉我们,磁场一定是没有散度的。意思是,磁场线永远不会中断,那么它唯一的选择是形成闭合曲线。例如一根条形磁铁的磁感应线就是下面这个样子,那些看起来没有闭合的线只是因为太长而超出了图片范围罢了。


                               
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再看如下一个通电圆环的磁感应线分布图,那条水平线将闭合于无穷远处。



                               
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由此可见,磁场线总是闭合的,它是无头无尾、无始无终的,它不是从某个点被激发出来的!这一点也是磁与电的一个显著的不同点,静电场总是来自点电荷,电荷是静电场的源,可是磁场没有这样一个类似的对应者。
一根无论多短的磁铁,总有两个极:S极和N极。这种NS极永不分离的特性,决定了我们无法知道磁感应线到底从哪里冒出来的。因为它从北到南,又从南到北,是一个闭环,没有哪里是起点,也没有哪里是终点,所以你找不到场的源!

                               
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实际上,这是由我们对于磁场的解释决定的。电流导致磁矩,而磁矩导致磁场。磁矩对应的环形电流永远有两个面,所以它导致的磁场永远有两个极,就好比地球的轴的两头分别指向两个相反方向一样。



                               
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所以,你对“磁铁的NS极永不分离”的疑问,与有人质疑“为什么一张纸有两面”、“一条线为什么有两端”是类似的。



                               
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而电荷却相反,异号电荷水火不容,等量的正负电荷相遇即中和!所以单独存在的等量正负电荷是电场的源,但只要二者一合,源就消失了,也就不能激发电场了。



                               
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当然,你可能会说:不对!那电荷实际上还是分别位于电子和质子上,没有中和啊!


你说得对!但既然这两个等量正负电荷如此靠近,那么在较大的观察尺度上,我们可以认为,它们作为电场的正源和负源,彼此抵消了,包围他们的曲面总体通量为零,整体对外不显电性了!不能再对外激发电场了,这就是所谓的电荷已经被“中和”的证据。



                               
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当然,你可能听说过磁单极子,如果哪天科学家真的找到单个存在的S极或N极,那么磁场也将变为有源场,电磁理论将要被改写。


                               
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第四个微分式告诉我们,磁场是有旋场,磁场强度在某点的旋度等于该点的电流密度和电位移矢量的时间变化率之和。那么,对没有电流和电位移矢量的时间变化率的点,磁场强度也没有旋度。所以,磁场是有旋场,但不代表处处都有旋度。


                               
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由于经典电动力学是宏观电磁学规律,因此上述描述中所谓的“点”是局限在经典电磁学范围内的点,不是真正意义上的无限小的点!实际上,这些点的尺寸远远比微观粒子要大得多!


当涉及微观粒子的电磁相互作用时,必须采用量子化的电动力学理论,它就是由费曼、施温格和朝永振一郎等人于上世纪40年代前后创立的量子电动力学。

END







来源:大学物理学
编辑:藏痴

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