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几何、分形与时空:跨越百年的维度定义之旅

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发表于 2021-10-10 08:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
几何、分形与时空:跨越百年的维度定义之旅

中科院物理所
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The following article is from 集智俱乐部
Author Maggie Chiang



                               
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导语

我们生活在三维空间和时间编织而成的四维时空中,可是在精确的意义上,维度到底是什么?更高维度的时空意味着什么?不同维度之间是否存在难以突破的壁垒,还是有着深刻联系?非整数维度是什么样子?
研究领域:维度,分形,四维时空,高维数据


                               
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Maggie Chiang | 作者
潘佳栋 | 译者
梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑


维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外,我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦,被限制在一维电话线上的知更鸟,在二维地面上自由移动的鸽子,还有翱翔在三维空间的老鹰。 但是对于数学家来说,为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较,才得出目前对维度概念的严格理解。
   

1. 超越三维

古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道:“向一个方向延伸的是直线,两个方向延伸的是平面,三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了,这些就是所有的维度。” 然而相比于其他人,数学家更热衷于想象更多维度的思维训练:垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子? 一种流行的方法:假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面,就会出现一个点。当它继续穿过平面时,圆盘会不断变大,直到达到其最大尺寸,然后缩小并消失。正是通过这些横截面,我们才能看到三维物体的形状。

                               
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图1:在平面上只能看到三维物体的横截面。| 来源:Samuel Velasco/Quanta Magazine

类似地,在我们熟悉的三维宇宙中,如果一个四维球穿过它,这个四维球会以一个点的形式出现,之后成为一个实心球,最终达到完整半径的球,然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知,但是对于这样的物体,还有其他思考方式。
例如,让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始,可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后,当我们垂直于拖动方向移动线段时,得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样,我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。

                               
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图2:通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置,我们可以可视化各种维度的图形,包括超立方体。

或者,就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样,我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体,正如萨尔瓦多·达利
(Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion,Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。

                               
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图3:我们可以通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。
同样,我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体。

所有这一切构成了对维度的直观理解,即如果一个抽象空间有n个自由度
(就像那些鸟一样)或者需要n个坐标来描述一个点的位置,该空间就是n维的。然而,数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。


2. 定义维度

人们对更高维度的正式研究出现在19世纪,相关研究在几十年内变得相当复杂:1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此,在19世纪末和20世纪初,公众开始迷恋第四维度。1884 年,埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》Flatland,小说以二维生物遇到三维生物作为类比,帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维?” ,有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家,如巴勃罗·毕加索(Pablo Picasso)和马塞尔·杜尚(Marcel Duchamp),将第四维的想法融入到作品中。 但在这段时间里,数学家们意识到,维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。 乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的势 (cardinality)而闻名[2]。起初,康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势,就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而,在1877年,他发现线段中的点与正方形(以及所有维度的立方体)中的点之间存在一一对应关系,这表明它们具有相同的势。凭借直觉,他证明了尽管维度不同,线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金(Richard Dedekind),“我看到了,但我不相信它。” 康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念,因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此,从某种意义上说,这些高维立方体相当于一维线段。然而,正如戴德金指出的那样,康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分,然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序,无法为我们描述物体提供帮助,就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。 然后,在1890年,朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现,可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续,以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线(space-filling curve)。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础,因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻,这就像给一些建筑物多个地址。



                               
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图4:这些是产生空间填充曲线的前五个步骤。在每一步,曲线的面积为零,
但在极限情况下,它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特(David Hilbert)引入的。

这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明,数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如,当n≠ m时,n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性(invariance of dimension)问题。 终于,在1912年,在康托尔的发现之后将近半个世纪,在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后,布劳威尔(L.E.J. Brouwer)使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲,他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中,以及在不将物体分成许多部分(如康托尔所做的那样)、不允许物体与自身相交(如皮亚诺所做的那样)的情况下,使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外,大约在这个时候,布劳威尔等人给出了各种严格的定义,例如,可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实,帮助归纳地确定维数。 尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上,但它无助于增强我们对高维空间的直觉:对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写,“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。” 例如,假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中,然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加,中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是,令人震惊的是,当n≥10时,这个球体会伸出立方体的边。


                               
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图5:中心球体随着维度的增加而变大,最终会突出到立方体外面。

高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题,统称为“维数灾难
(curse of dimensionality)。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外,随着维度增加,点形成聚类的概率会降低。因此,找到为高维数据降维的方法十分重要。


3. 分形和非整数维度

维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后,费利克斯·豪斯多夫(Felix Hausdorff)提出了一个新的维度定义,之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。 考虑维度的一种直观方式是,如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍,它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍,点的尺寸不变(30=1),线段变成3倍(31=3),正方形变成9倍 (32=9),立方体变成27倍 (33=27)。

                               
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图6:当我们将d维对象放大k倍,其尺寸会增加到 kd 倍。

豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是,物体可能具有非整数维度。几十年后,当伯努瓦·曼德尔布罗特
(Benoit B. Mandelbrot)问道:“不列颠的海岸有多长?”时,结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐,以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短,测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为,豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法,并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。

                               
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图7:英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。

要了解非整数维度可能是什么样子,让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线
(Koch curve)。我们从线段开始。在每个阶段,我们删除每个线段的中间三分之一,并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它,无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它,你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此,如果我们将这条曲线缩放3倍,我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4,因此,d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间,所以它不是二维的,但它也不是一条一维线,而是1.26 维。

                               
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图8:科赫曲线包含四个与整条曲线相同但尺寸为其三分之一的部分,
因此其豪斯多夫维数不是整数,而是 log3(4)≈1.26 维。


4. 四维时空之外

最后,有些读者可能会想,“时间不是第四维吗?” 事实上,正如威尔斯1895年的小说《时间机器》The Time Machine中的发明者所说:“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别,只是我们的意识沿着它移动。” 1919 年,作为第四维的时间在公众的想象中爆发,日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基(Hermann Minkowski)的平坦四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样,“此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中,只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实。” 今天,数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度,例如弦论所要求的那些维度,但更多时候我们抽象地工作,并不设想实际空间。一些研究是几何的,例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3]。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时,有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代,科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。 幸运的是,无论鸟类和数学家,都不需要完全理解维度就可以体验维度。


原文:https://www.quantamagazine.org/a-mathematicians-guided-tour-through-high-dimensions-20210913/

参考链接:[1]https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/euclid[2]https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/[3]https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/[4]https://www.quantamagazine.org/tag/big-data
来源:集智俱乐部
编辑:Norma











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