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在密铺的瓷砖背后,隐藏着令人毛骨悚然的幻影....

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发表于 2021-9-28 16:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
在密铺的瓷砖背后,隐藏着令人毛骨悚然的幻影....[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]Original [color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]Tim Lexen
中科院物理所 [color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]Yesterday
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如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案,你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。

一个简单的例子是由等边三角形的顶点构成的曲边三角形(Reuleauxtriangle)(如图一所示)。依次将圆规顶点放在三个顶点上,然后绘制连接剩余两个顶点的圆弧,这样便得到了三段圆弧组成的曲边三角形。三条弧所对应的圆周角都为 60° 。曲边三角形是唯一一个边由弧形构成,且弧形的中心为顶点的曲边形状。


                               
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图一:曲边三角由等边三角构成。

通常,圆弧的形状主要由两条信息定义:圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形,比如图二中的三种图形。从图形顶点出发绘画新的圆弧,得到的图形与原始图形之间存在旋转镜像关系。此外,原始图形中每段圆弧对应的的圆心同样位于新图形的顶点,因此不难看出这个绘制的过程是可逆的。


                               
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图二:存在“幻影”的三种形状

新绘制的图形被称为原始图形的“幻影”,它是由原始图形顶点绘制的圆弧构成的,它与原始图形形状一致,但存在旋转或者镜像的关系。上面提到的曲边三角形是自参照的:它是自身的幻影。你可能觉得这些幻影跟随着原始形状虚无缥缈地存在着,就像一种幽灵般的存在。
当数学家们遇到二维图形时,他们经常会问自己一个问题:类似于正方形瓷砖可以铺满整个广场,如果给你这个形状的瓷砖,你能用它来平铺整个平面吗?
对于目前提到的这四种形状而言,答案是“不”,这几种形状都不能单独平铺一个完整的平面。用弧边图形铺满平面需要等量的凹面和凸面圆弧。
接下来,让我们看看第五种形状,或者说一类形状。



三曲线

镜片是一种最简单的几何形状,它由两条相同的弧线拼接而成,假设弧线的半径为 1 ,镜片就可以简单得用弧的角度来描述。在弧线上取一点,将弧线分成两部分,然后每部分都可以制作一个镜片,从大的镜片里面减去两个小的镜片,就会得到一个不同寻常的三曲线的形状。



                               
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图三:三曲线几何图形

任意的三曲线都能周期性地平铺:
将三曲线图形沿着某个方向平铺,就会得到如图四的形状。


                               
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图四:周期平铺

如果构成三曲线的弧度的角度是 360° 的因数,而且弧线满足特殊的比例(比如 1:2:3 ),那么三曲线就会具有径向和非周期性质的平铺属性,这个性质非常有趣,你可以自制这个拼图进行尝试。



                               
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图五:拼图

每个三曲线都可以升序的三个弧角来形容,其中两个凹弧的和为大的凸弧的值。迄今为止制作的拼图多是用 30°-60°-90°(图五1)或 36°-72°-108° 弧度(图五2)的三曲线制成,当然还可以用其他角度或者比例的图。除了单面平铺之外,还可以用多种类型的方式平铺。



三曲线的幻影

三曲线的幻影是什么样子的?每个三曲线都存在对应的幻影,将三曲线按照一个固定的旋转中心旋转 180° 得到其幻影,根据三曲线的不同,幻影可能会跟原形状分离,也可能会重叠。



                               
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图六:一些三曲线的幻影

为了确定或者可视化三曲线的幻影,只需要三曲线旋转半圈,再将连接两个凹面的那个顶点定位在原始大圆弧的中心。例如,对于任何具有 180° 大弧的三曲线,无论两个较小的弧线如何,幻影的中间顶点都位于半圆的中心。



                               
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图七:一些具有180°大弧的三曲线以及幻影

对于一些对称的三曲线,幻影是原始形状旋转 180° 之后的样子,也是初始图像沿原始三曲线对称轴的镜像对称图案。



                               
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图八:一些对称的三曲线和其幻影。


用幻影进行平铺

当利用三曲线平铺平面时,观察平铺三曲线的幻影,会发现幻影也在进行平铺。正如预测的那样,周期平铺也会使得幻影周期排列。



                               
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图九:带有幻影的周期性平铺

但是,仔细观察这个形状,会发现事情不是那么简单的。在图九中,你必须得仔细观察才能发现哪个幻影跟原始形状是搭配的。你会发现,除了整组原始三曲线发生了 180° 旋转之外,幻影位置还变了。如果将幻影位置逆旋转 180° 会发现这组排列位置变了。
如果用不同大小的三曲线,这一现象会更加明显。在图十中,可以看出幻影不仅仅旋转了 180° ,而且位于彼此对立的两边,不再共享一条弧



                               
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图十:转置的幻影

这种怪异的行为也出现在径向的平铺中,对于图十一来说,星星或者花瓣形状的三曲线的幻影,是一个环形。




                               
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图十一:带有环形幻影的花型三曲线

因此,当利用三曲线进行平铺时,其对应的幻影也以一种非直观的、转置的方式来平铺。仔细想想,当你将三曲线形状的材料进行平铺时,其对应的幻影也在一种奇怪的方式进行平铺,这件事让人感到毛骨悚然。
用三曲线填充特定的形状会发生什么?



填充圆形

假如有任意一个镜片形状的物体,用三曲线来对其进行填充可以得到两个较小的镜片。每个小镜片可以被两个更小的镜片和一个三曲线填充。以此类推,任何镜片都可以用一系列越来越小的镜片填充。这种情况也适用于圆,因为圆同样是一种镜片。



                               
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图十二:镜片的层次

填充圆的方法有许多,而这里介绍一种普通的方法。首先用最大的三曲线来进行填充,然后向下寻找次一级最大的圆弧进行填充,以此类推,将“剩余镜片”留在下半部分的周边。然后,这些剩余镜片被逐渐变小的三曲线填充,直至变为无限的序列。
这里列举四种方法,每种方法的介绍仅深入到一定的填充程度。
方案 A 是利用对称的方法填充,每一层的弧线都一分为二,如下图所示:第一个三曲线弧角为 90°-90°-180°,第二层是 45°-45°-90° ,第三层是 22.5°-22.5°-45° 。



                               
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图十三:A: 圆的对称填充

或者,可以将三曲线最小的弧角保持为 22.5° ,利用从同一点出发的圆弧(图十四左),或者大的三曲线交错的形式(图十四右)来完成填充。



                               
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图十四:方案 B 和 C 。

这两例都用了七个三曲线,只是排列方式不同,两种情况下顶部的三曲线都是 22.5°-157.5°-180° 。同时,以上三种填充方式,未填充的下半周的镜片数量和尺寸都相同,恰好是八个 22.5° 的镜片,这些镜片也最终会用无限的小的三曲线来进行填充。
方案 D 是方案 B 的变体,只不过是用更细的三曲线进行的填充。刚开始,我们可以用 5° 的小角度(5°的小圆弧)来进行填充,最大的三曲线是 5°-175°-180° 。



                               
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图十五:细的三曲线

图十五没有显示圆下半部分的圆弧和镜片,因为将其做的很小,所以在这个尺度下很难区分。随着小圆弧的角度大小趋近于 0° ,主要的三曲线的会趋近于无限多,而剩余要填充的镜片也会无限小。这似乎是最简单,也是最优雅的填充圆的方法。
此时,填充三曲线的幻影是什么样子的?
考虑上面 A-C 三种情况下的幻影,如图十六所示。



                               
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图十六:方案 A 的幻影

方案 A 中对称的三曲线填充比较简单,每个幻影都是原始图形的镜面对称,顶点在原始图形的对称轴上。方案 B 和 C 的幻影如图十七所示。




                               
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图十七:B和C的幻影

可以发现,三种情况生成的幻影都是一样的,这是为什么呢?


                               
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图十八:幻影的神秘轮廓

如果继续填充图形剩余的镜片,会发生什么?以方案 A 为例,继续填充的图形如图十九所示。



                               
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图十九:填补剩余“裂缝”

对于 A-C 继续进行填充得到的结果是一样的。对于每种填充方式,幻影填充新形状外侧的凸起之间的缝隙,或者向上延伸尖端。极限形状是一个半径为原始圆的直径的半圆,减去两个原始的半圆形状,如图二十所示。无论用对称还是不对称的三曲线对圆进行填充,其幻影得到的结果是一样的。因此,幻影创造并填充了一个新的形状:一个对称的方圆(arbelos,由三个半圆组成的形状)。



                               
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图二十:产生的超级幻影

当方案 D 采用同样的极限情况时,得到的结果相同:随着填充的三曲线的数量接近无限大,幻影的形状接近对称的方圆。




                               
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图二十一:方案D的转换

我们可以反过来做,虽然会有点困难:我们可以从对称的方圆开始,用无穷的三曲线填充它,然后制作这些三曲线的幻影,最后回到填充圆。无论圆是如何用三曲线填充的,这都是正确的。因为对称的方圆是填充圆中所有幻影三曲线的并集,所以我们称对称的方圆是圆的超级幻影。反之亦然,因为它是可逆的。因此,一个形状的超级幻影是该形状的填充三曲线的幻影结合的轮廓。


回到镜片

将上面对圆的操作同样作用到镜片上。回到方案B,从整个圆中找到一个镜片(橙色轮廓),其对应的超级幻影图二十二所示。




                               
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图二十二:子镜片和其超级幻影

更多子分级的镜片和其幻影。



                               
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图二十三:另一级别的镜片和它的超级幻影

如果将不同级别的镜片并排比对,会发现图二十四的结果。



                               
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图二十四:方案B填充下不同镜片及其幻影

用三曲线填充镜片的方法还有很多,我们也可以用小于 22.5° 的镜片进行填充。就像我们填充圆时所做的那样,可以将其填充到极限。最后,对于任何镜片,超级幻影都是一个广义对称的方圆,而其中弧度可能会小于 180° 。这里有一个由三条角度相同的圆弧构成的初始镜片,镜片跟其幻影的关系如图二十五所示。



                               
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图二十五:镜片和其超级幻影


减去超级幻影

最后,我们注意到镜片和超级幻影可以从更大的镜片和超级幻影中减去。在下面的图中,在原始镜片(左)中移除了两个较小的镜片(中),从而得到了一个三曲线(右),而超级幻影在这个过程中相应地发生了改变。



                               
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图二十六:移除两个镜片

再来看另一个例子,从一个圆中减去两个镜片,对应的超级幻影则是从完全对称的方圆中减去两个广义对称的方圆。



                               
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图二十七:从圆中减去两个镜片

你可能会注意到,在上面的两幅图中,两个较小的镜片从较大的镜片上取下,剩下的形成了一个三曲线。由此产生的超级幻影也是该三曲线的幻影。事实证明,对于任何三曲线,超级幻影都和幻影一样!
这篇文章从简单的直尺和圆规开始,从圆弧到镜片,到三曲线,到幻影,到填充圆,超级幻影再到方圆。但还可以再进一步,把圆圈和其超级幻影结合起来,你快动手试一试吧~



作者:Tim Lexen

翻译:Nuor
审校:C&C

原文链接:




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