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5种美的数学现象

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发表于 2020-5-22 12:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
5种美的数学现象

Original S. Landow
原理 Today




                               
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数学在自然中随处可见,即使在我们最意想不到的地方也能发现数学的踪迹。它帮助我们解释星系螺旋的方式,勾勒出贝壳的优美的曲线,看懂河流蜿蜒的弧度,了解模式重复背后的规律。

即使是主观的感情,也可以有一种数学的解释,比如我们对“美”的理解,背后或许也有一套数学的逻辑。

数学是美的,而美本身也是数学的。两者始终交织在一起。

对一些数学家来说,有时,数学的美和享受可能来自概念、结果或某种解释。还有些时候,是那些思维过程让头脑变得清晰,心情愉悦,或者获得工作上的进展。

新南威尔士大学的Thomas Britz博士是一位在组合学领域进行研究的数学家,该领域专注于复杂的计数和解谜。虽然组合数学属于纯数学,但Britz总是被有关数学的哲学问题吸引。2018年,他在TEDx上进行了一次关于情感的数学的演讲,他利用近年来对数学和情感的研究,探讨了数学如何帮助解释情感,比如美。

在这里,Britz分享了他最感兴趣的数学与美之间的联系。


                               
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对称,但同时带来一丝惊喜


                               
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当我们识别出各种模式时,无论是发现对称的存在、梳理出整体中的一部分,或者是解决难题时,我们的大脑都会奖励我们。对称带给我们愉悦的享受。

而更有趣的是,当我们突然找到了一些偏离模式的东西,感到一丝出乎意料的时候,我们的大脑会再次奖励我们。我们会因此感到高兴和兴奋。例如,人们认为对称的脸是美的。然而,以一种微小的、有趣的或令人惊讶的方式打破对称的特征,却可以增加美感——比如我们常说的“美人痣”。

类似的事情不仅发生在我们“看见”的世界中,“听见”的世界同样如此。有规律、有序的音乐,外加一些出乎意料的声音,可以为乐曲增添更多个性和魅力,带来更有深度的美感。

实际上,许多数学概念都在展现出类似的和谐,它们在模式与惊喜、优雅与混乱、真理与神秘之间找到了完美的平衡

Britz说:“对我来说,数学和美密不可分,而这种交融本身就很美。”


                               
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分形:无限延伸,幽灵般神秘


                               
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分形是种自指模式,也就是在某种程度上,在更小的尺度上不断“重复自己”。你越靠近观察,就能看到越多的重复,就像蕨类植物的叶子。蕨类植物的每片叶子上都会长出“更小的自己”。有时,在小叶片上甚至也能看到大蕨叶的图案。

事实上,这些重复模式在自然界中无处不在。雪花、河网、鲜花、树木、闪电,甚至在我们的血管中。自然界中的分形通常只能复制几层,但理论上的分形可以是无限的。

许多计算机模拟创建了无限的分形模型。曼德博集合算得上是最著名的人为生成的分形。放大后,在更小的范围内会显示完全相同的图像,无尽地循环下去。

你可以一直盯着分形,但仿佛永远也等不到它结束。它们无限地深远,如同幽灵一般,令人眩晕,或许还有些催眠。


                               
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π:一个不可知的事实


                               
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π可能是你在几何中最早接触到的一个数字。简单来说,它是一个略大于3的数字。π主要和圆有关,例如通过圆的直径计算圆的周长。对于任何圆来说,绕圆一圈的长度大约是圆的直径的3.14倍

但π远不止于此。

当你研究自然的其他方面时,或许就会突然发现π其实无处不在。它不仅与每一个圆有关,还可以通过傅里叶级数和海浪或声波联系在一起。π也会在其他许多公式中出现,包括概率论和微积分。

尽管π已经是最著名的数字之一了,但它仍有诸多神秘之处。用Britz的话说,“我们对π了解很多,但也对π一无所知。它有一种美,带有一种美的分裂或张力”。

根据定义,π是无限的,也是不可知的。人们在它的小数位中还没有找到规律。据说,任何数字的组合,比如你的电话号码或生日,都会出现在π的某个地方。不久前,我们探索到了π小数点后约50万亿位数。但我们仍无法计算出π的精确值,严格说来,我们只能无限接近圆的周长和面积,而永远无法“完全计算”出来。

这是怎么回事?这个奇怪的数字又是如何把世界上所有的圆联系在一起的?π还有一些我们尚未找到的隐藏真相,而这种神秘感让它变得更有魅力。


                               
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古老的黄金比例


                               
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黄金比例也叫φ,它或许是有关美的最流行的数学定理,被认为是最符合美学的比例。

这个比例约等于1.618。当以几何形式呈现时,黄金比例可以构建出黄金矩形黄金螺旋。纵观历史,黄金比例被视为理想形态的基准,它曾被称为“神圣比例”,很多人认为,无论是建筑、艺术品还是人体,似乎都遵循着这种“美”。

许多著名的艺术作品的确是以这个比例为基础的。即使在今天,黄金螺旋也常常被用到,尤其在艺术、设计和摄影中,螺线的中心可以帮助艺术家以符合美学的方式框定图像焦点。


                               
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更接近魔法的悖论


                               
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有时,数学的不可知性使它看起来更接近于魔法。

数学中有一个著名的几何定理,叫作“巴拿赫-塔斯基悖论”,它说的是,如果在三维空间中你有一个球,并把它分成几个特定的部分,那么有一种方法可以重新组合这些部分,从而构建出两个球。说到这里,这似乎已经很有趣了,更奇怪的还在后面——当这两个新的球被构建出来时,它们的大小都会和原来那个球相同。

这个定理在数学上是合理的——重新组合部分,让一个球变成两个,这在数学上完全可能。

“在现实生活中你不能这么做。”Britz说,“但是你可以用数学完成。这有点神奇。这就是‘魔法’。”


                               
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分形、巴拿赫-塔斯基悖论和π只是Britz发现的数学之美的表面。

他认为,要体验数学中许多美的部分,你需要大量的背景知识,这意味着长期的基本训练,而它们往往是非常枯燥的。这有点像,在正式开始运动前,需要你做100万个俯卧撑来热身一样。

但这绝对是值得的。我希望更多的人能从数学中获得乐趣。这里有太多美需要我们去发掘。


图片设计:雯雯子图片素材来源:Pixabay/Unsplash
参考来源:https://newsroom.unsw.edu.au/news/science-tech/mystique-mathematics-5-beautiful-maths-phenomena


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