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她与希尔伯特第十问题

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发表于 2020-1-12 23:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
她与希尔伯特第十问题

原理
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○ 茱莉娅·罗宾逊。

1
谁是茱莉娅·罗宾逊

这是一位值得被更多人铭记的数学家,她是第一位入选美国国家科学院数学组的女性,也是第一位担任美国数学学会主席的女性。她曾获得过麦克阿瑟奖学金,为破解著名的希尔伯特第十问题作出重大贡献。然而,这样一位杰出的数学家,却直到去世前10年才被授予正式的教职。

1919年12月8日,茱莉娅·罗宾逊(Julia Robinson)出生于美国密苏里州的圣路易斯。她一生坎坷,疾病几乎伴随了她一生:在9岁时染上了猩红热,紧接着得了风湿热。虽然当时青霉素已经被发现,但还没有被用于治疗。她被寄养在一个护士家里,在那里度过了一年的时间。疾病让她错过很多学习时光,即便在康复之后,风湿热的并发症也给她带来了一生的健康隐患,其中还包括让她倍感遗憾的无法生育。她曾有过一次满心期待的怀孕经历,却最终以流产告终。在那之后医生告诉她,如果再次怀孕可能会直接威胁到她的生命。大约40岁时,她做了心脏手术,这多少改善了她的一些健康状况,但在她内心深处,一直存在着一些由疾病导致的无法被弥补的遗憾和无奈。

在她生命中的很多年里,有一个愿望是她在每年的12月8日吹灭生日蛋糕上的蜡烛时都会许下的:希望有一天,她能够知道“希尔伯特第十问题”的答案

这是德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)在1900年国际数学家大会上列出的23个未解决的数学问题中的第10个。希尔伯特认为,这23个问题将会是20世纪数学面临的最大挑战。而我们现在知道,在很大程度上,这些问题的确引领并推动了20世纪乃至今天的数学研究进程。

用那句“怕什么真理无穷,进一步有进一步的欢喜”来形容罗宾逊对这个问题的执着或许是最贴切的。她虽然沉浸于解决这个难题,却并不在乎自己是否是那个最终找到答案的人。1950年,她在这一问题上作出了巨大突破,为最终的证明打下坚实基础。

1970年初,就在罗宾逊刚过完50岁生日的几个月后,罗宾逊的愿望实现了——年仅22岁的苏联数学家尤里·马季亚谢维奇(Yuri Matiyasevich)正式宣布他解决了这个问题,完成了这个问题的最后一块拼图。

这一消息让罗宾逊喜出望外,在仔细研读结果之后,她写信给马季亚谢维奇,表达对这一结果的敬佩和欣赏。1970年秋开始,罗宾逊和马季亚谢维奇开始通过信件合作。在一篇文章中,马季亚谢维奇这般写道:“茱莉娅·罗宾逊的名字和希尔伯特第十问题是分不开的。”[1]

2
希尔伯特第十问题

希尔伯特的第十问题所要寻找的一种能够判定一个丢番图方程是否存在整数解的算法,它探究的是一个关于我们数学知识的局限性的问题。丢番图方程是一种有着任意数量的变量,以及系数都为整数的多项式方程。
丢番图方程的例子有很多,比如简单的线性方程 5x + y = 7 就是一个变量为x和y、系数为5和1的丢番图方程;勾股定理 a² + b² = c² 也是一个丢番图方程,其变量为a、b、c,系数为1。


                               
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一个与丢番图方程有关的问题是,这类方程的解是否可以为整数。例如(3,4,5)、(5、12、13),都是方程 a²+b²=c² 的解。a²+b²=c² 有无穷多个整数解,而与之形式相似的a³+b³=c³却没有整数解。

如果已知一个丢番图方程存在整数解,那么只要你足够“耐心”,那么理论上讲,你可以光凭蛮力来搜索到对的数字。然而当你不知道一个方程是否有整数解时,你就永远无法知道你之所以找不到整数解,是因为解本身并不存在,还是因为你还不够“耐心”。

以丢番图方程x³+y³+z³=k为例(k为整数),直到今年3月,k = 33的整数解才由英国布里斯托尔大学的数学家安德鲁·布克(Andrew Booker)找到;6个月后,布克与麻省理工学院的安德鲁·萨瑟兰(Andrew Sutherland)又宣布他们找到了 k = 42 的整数解。这时,关于方程x³+y³+z³=k的在100以内的所有整数是否具有整数解才全部得以确认。在此之前,数学家已经经历了长达一个多世纪的漫长搜索。


                               
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这也就是与希尔伯特的第十个问题有关的:如何判断一个方程是否有整数解,或者说是否有一种能产生是或否的答案的算法,让我们可以确定任何给定的丢番图方程是否有这样的解。

3
四人联手

由于罗宾逊从小体弱多病,常常因为长时间休学而耽误课业。但在数学方面她却表现出了超凡的能力,不仅能在短时间内补上缺失的课程,甚至能在一年的时间里将之后几年的数学都尽数掌握。后来,她去了圣地亚哥读高中,接着在圣地亚哥州立大学开始了自己的大学生活。但是在那里,一学期只开设两门高等数学课程。

如果不是知晓了了E.T.贝尔(Eric Temple Bell)的著作《数学大师》,她或许会继续留在圣地亚哥州立大学完成大学学业。然而,这本书让罗宾逊看到了数学的全貌,这使她意识到,圣地亚哥州立大学在这方面的有限资源将使她很难接触到真正渴望的内容。于是她决定转到加州大学伯克利分校的数学系学习,在那里,她终于获得了成为一名真正数学家所需要的资源。

在伯克利,她遇到了数学家拉斐尔·罗宾逊(Raphael Robinson),向他学习数论——这门定义了她的余生学术生涯的学科。1940年,她从伯克利取得了本科学历。就在不久之后的1941年,她也与拉斐尔·罗宾逊喜结良缘。但按照当时学校禁止裙带关系的规定,她无法再继续留在数学系工作。之后,她师从逻辑学家阿尔弗雷德·塔尔斯基(Alfred Tarski),并在1948年获得了博士学位。

就在她博士毕业后不久后,塔尔斯基向拉斐尔提到了希尔伯特的第10个问题,拉斐尔又把这个问题告诉了茱莉娅。从此,她便开始了对这一问题的研究。然而这样一位出色的数学家却无法在加州大学伯克利分校的数学系获得一个正式的教职,只能作为数学系里的一名非正式成员,借用拉斐尔的办公室向学生授课。在此期间,她没有正式教职的稳定收入,但好在她可以在数学期刊上发表她的研究,出席一些学术研讨会,向众人发表自己的研究成果。

不久后她就意识到,第十问题所寻找的这种算法似乎不可能存在,她为最终证明这一点奠定了坚实基础。1950年,通过研究这个问题与指数函数的关系,提出了后来被称为“JR假说”的猜想。她发现需要构造一个其根呈指数增长的丢番图方程来证明她的想法。

同年,罗宾逊第一次见到了数学家马丁·戴维斯(Martin Davis,现年91岁)。他们两位研究的都是丢番图集,但戴维斯希望能从一般化的角度证明所有具有能列举的特殊属性的集合都是丢番图集;而罗宾逊则是从一些特殊集合的角度出发,试图证明一些特殊的集合(如包括素数和2的幂在内的数字集合)是丢番图集。这是两个完全相反的方向。

1959年,罗宾逊和戴维斯二人开始正式合作。他们和普林斯顿大学的希拉里·帕特南(Hilary Putnam)一起继续推进这个问题。但是,在接下来近10年的时间里,他们都没能彻底证明这个假说,直到马季亚谢维奇出现。

马季亚谢维奇还在上大学时就已经尝试过解决这个问题,但1969年左右,在他大学毕业前后,他放弃了对这个问题的思考。再次将他重新吸引回到这个问题上的是罗宾逊的一篇新论文。他曾这样写道:“在数学天堂的某个地方,一定有一位数学之神或女神,指引我不要错过朱莉娅·罗宾逊的新论文。”[1]

他仔细研究了那篇只有5页长的论文,其内容是关于两个变量中某些丢番图方程解的相对增长问题。论文中的想法立即激发了他的思路,建立了关键的方程,最终证明:没有一种通用的算法可以确定任意的丢番图方程是否具有整数解。他们四人共同为希尔伯特的第10个问题给出了否定答案。

但这并不是故事的结局。在他们的工作基础上,数学家们继续探索可知与不可知之间的界限,这项研究在今天仍然非常有意义。

4
“我是一名数学家”

对于所有丢番图方程来说,没有一个通用算法——这一事实实则留下了太多引人遐想的问题。例如,是否存在一种算法可用于某种形式的丢番图方程,比如多元三次方程?

数学家们也正在研究如果改变丢番图方程的解的类型会发生什么。一个变化是将问题转向有理数问题:有没有一种方法可以确定一个有着整数系数的多项式方程是否有任意的有理数的解?对于这个问题,大多数数学家认为答案是否定的,但却离证明这一想法还很远。解决这个问题的一个可能的途径就是建立在罗宾逊70多年前的博士论文的基础上。

1984年,在担任美国数学学会主席期间,罗宾逊被诊断出患有白血病。第二年春天,当病情有所缓解时,她决定请姐姐康斯坦丝·里德(Constance Reid)撰写她的人生故事——《朱莉娅·罗宾逊自传》。然而就在几周后,癌症复发了。就在她的健康状况恶化时,里德完成了这本记录了罗宾逊一生的作品。1985年7月30日,罗宾逊去世,享年65岁。


                               
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○ 茱莉娅·罗宾逊自传。| 图片来源:[2]

“我实际上是一名数学家,”里德在书的最后一段代表罗宾逊写道:“与其作为第一个这样或那样的女人被人记住,我更愿意自己就像数学家应该被记住的那样,仅仅因为我证明的定理和解决的问题被人记住。”

数学家所罗门·费弗曼(Solomon Feferman)是这样回忆罗宾逊的:“作为一名数学家,茱莉娅·罗宾逊将会因为她在数学问题的算法可解性和不可解性上作出的诸多重要贡献,尤其是为解决希尔伯特第十问题所奠定的基础而被人们铭记于心。那些有幸能真正认识她的人将会记住她乐观、正直、谦和、开放和慷慨的品质,以及记住她对他人工作的由衷欣赏和殷切鼓励。”

参考来源:


万物于弧
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