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求解二次方程的新方法

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发表于 2019-12-8 04:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
求解二次方程的新方法

From: 佐佑
原理
Today


1

如何求解一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)?

这是一个多数人都知道答案的问题。从中学的数学课堂上,我们知道寻找二次方程的根方法无外乎因式分解,或者配方法,再或者跳去求解过程,直接代入求根公式中。

从某种意义上说,以上说的这些方法算不上不同方法,因为求根公式本就是通过配方法而推导得来的。

对求解任意二次方程的探索可追溯到4000多年前的古巴比伦时期。4000多年来,许多数学领域的知名人物都在这个现在看来十分简单的问题上留下了自己的记录。而二次方程的求根公式也成为了代数领域中的一个众所周知的标准公式。


2

最近,在一篇发表在arXiv的论文中,卡耐基梅隆大学的数学家Po-Shen Loh(罗博深)提出了一种求解二次方程的更简单的新方法。

罗博深认为通过配方法推导出的求根公式的计算有点“乱”,而且对一些初次学习代数的人来说,求根公式其实并不好记。再者,他认为传统的求根公式的推导过程其实颇有难度,因为“配方”这一概念本身就是智慧飞跃的结果,它并不容易。

在他新提出的方法中,他绕开了传统的配方过程,介绍了一种更为直观的求解方法,可以用更少的步骤找到二次方程的根。


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那么这个更适用于代数初学者的求解过程是怎样的呢?

现在,让我们考虑一元二次方程:


                               
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求解的第一步与传统的方法很像,将多项式 x² + Bx + C 写作 (x - R)(x - S) ,如果


                               
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那么R 和 S就是x² + Bx + C=0的两个根。

将(x - R)(x - S) 展开,再合并同类项,得到:


                               
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也就是说两根之和为


                               
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两根之积为


                               
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由此得出,R和S的平均数等于-B/2,所以所要求解的根应该以-B/2±z的形式存在,


                               
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其中 z 是一个未知量。

前面我们说R和S的乘积等于C,也就是说(-B/2+z)(-B/2-z)=C,将式子展开,就得到了(-B/2)²-z²=C,因此我们可以很容易的得出z 的值为


                               
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从而最终得到,R和S等于


                               
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作者在论文中举例了用新的方法求解二次方程:


                               
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首先要做的是在等式两边都乘以2,将x²的系数变为1,得到


                               
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根据上述方法我们知道,这个方程的两根之和等于2,两根之积等于4,也就是说1-z²=4,从而得出z=± i√3。

所以方程的两个根为


                               
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这种方法的优点在哪呢?罗博深认为,根据现在的代数课程设置,学生在了解二次方程之前,首先学会的是多项式相乘,比如他们懂得(a+b)²=a²+2ab+b²,以及 (a+b)(a-b)=a²-b²。因此对于初学者来说,将两根之和的平均数作为参数,再在其基础上加减一个未知量,会是一种具有更直观的数学意义的技巧。因为与通过配方而推导出求根公式的过程相比,新的方法的动机更加直接。

罗博深的方法强化了每个二次方程都具有两个根的概念,简化了推导过程。通过引入两个根的平均值的概念,让运算的第一步变成搜寻的不是两个单独的、不同的值,而是一个相同的值。他认为,这种方法可以让学生不用去硬记某个公式来求解二次方程,而只要记住一些关于根的简单归纳,再最终找到方程的解。这将有助于学生理解二次方程是如何工作的,或许能帮助他们更好地适应数学。

参考链接:
https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf


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