春秋战国之前，有个诸侯国叫杞国。有一个杞国人总是担心天会掉下来，便有人劝他：
“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天中行止，奈何憂崩墜乎？”
这个杞国人听后转念一想，既然天是“气”的一部分（注意这里的“气”并非指气体，而是一种古代的哲学思想），那么怎么保证星星不能砸下来呢？那人又说：
“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”
不少读者看到这里都明白了，这就是杞人忧天的故事，它被记载到了《列子》当中。在今天，这个成语被用来讽刺那些毫无依据的瞎操心。
杞人忧天。图片来自网络
不过由于古代科学不发达，对于 “日月星宿，亦积气中之有光耀者；只使坠，亦不能有所中伤” 这种过时的解释，在今天看来是站不住脚的。现代天文学告诉我们，古人眼中的“星宿”表面温度至少有几千度以上，质量至少有太阳那么大（仅限于肉眼能观察到的），如果它真有掉下来的一天，还真就成为世界末日了。
也许有人会说，恒星那么远，宇宙又那么大，它总不能闲着没事干就非得往地球这个方向飞吧？天涯何处无芳草啊！
恒星和地球距离都很远，不会无缘无故来撞地球
不仅如此，地球的活动还满足非常稳定的周期性规律——昼夜交替四季变更，这些规律自古以来就不曾改变。无论公转还是自转，太阳系的八大行星都能严格尊守自己的岗位，任宇宙之海再怎么汹涌澎湃，依旧雷打不动。这一切都要归功于太阳系的稳定性，正是这种稳定性造就了地球得天独厚的环境，也使得地球不会脱离太阳系的怀抱。
看过刘慈欣《三体》这部小说的读者应该更能感受到这种稳定性的当知不易——封闭的三体系统是一个混沌系统（混沌系统另一个例子是蝴蝶效应，可参考小编的《
混沌理论到底是什么——从蝴蝶效应出发》一文），也就是说，很小的扰动就可能对这个系统的长期运动规律产生天翻地覆、难以预测的影响。
太阳系有八大行星，还有多颗矮行星（质量介于行星和小行星之间）、无数小行星甚至轨道离心率很大的彗星，情况远比三体系统复杂得多。但这个复杂的系统居然会如此的稳定，令人不得不对大自然心生敬意。
稳定的太阳系
那么太阳系为什么那么稳定呢？事实上这是一个非常复杂的数学问题。为了加深读者们的理解，我们先来看看三体问题为什么不稳定。
一、不靠谱的三体系统
《三体》这部小说（仅限第一部）主要讲述了“三体人”的故事。三体人的文明和科技都高度发达，但由于生活在运动规律难以预测的三星系统中，三体人的生活环境常常风起云动，不得不靠“脱水”的方式来逃避恶劣的环境。在偶然间获得地球的方位后，便想把环境稳定的地球作为殖民地。
三体系统也就是由三个粒子在引力作用下构成的封闭系统。这看起来非常简单，为什么“规律难以预测”呢？我们先把理想状况下三体系统（封闭、忽略粒子大小）满足的常微分方程组写下来：
其中x_i表示第i个粒子的位置坐标，一般情况下是三维向量
这三个常微分方程组本质上就是牛顿第二定律，并不难理解。但是就算只考虑二维平面上的三体问题，也需要解 3*2*2（方程个数*方程阶数*维数）=12 个非线性方程，除了一些特殊的情况，根本没办法找到精确解。其本质原因在于三体问题的“守恒量”（例如能量、动量、角动量等）和方程个数相比太少，使得几乎所有三体问题都不是可积系统（Integrable System），就好比五次代数方程没有根式解一样，不可积的微分方程系统不存在解析解（某种意义上的精确解）。
可积系统的严格定义比较复杂，小编会在第三章进行介绍。有兴趣的读者也可以参考阿诺尔德的名著[1]的最后一章或者[2]。
解析解不存在该怎么办呢？没关系，可以用数值模拟的方法把这些解找出来。为了使问题再度简单化，我们假设三个粒子的质量都相等。
也许有的读者会认为，已经简化到这个地步了，应该能得到不错的答案了吧？但事实上就算如此，不同的初值条件依然可以对应全然不同的解。这里的初值条件包含了三个粒子的二维位置和速度的信息，一共有 3*2*2=12 个自由度（维数）供选择。在这么高的自由度下，解的表现自然大相径庭，有的解如乱麻一般毫无规律，倒霉的三体人就不幸遇到了这样的解；但有的解具有很强的周期性，例如（顶端数据表示三个粒子的位置和速度）：
双弯曲三角+大圆。初值条件：
位置 -- (0.666, -0.082), (-0.025, 0.454), (0.003 -0.766)
速度 -- (0.841 0.029), (0.142 -0.492), (-0.983 0.462)
双螺旋+椭圆
也有一些相对简单的周期解：
对称性很强的三体运动
另外一些解乍看上去很有规律性。然而华丽的外表往往最容易掩饰暗藏的杀机，只有时间才能让杀机浮出水面：
全面崩盘的三体系统
由于涉及到的程序文件较多，小编暂不分享这些代码了。不过由于三体问题乃至更一般的多体问题一直都是活跃的研究课题，因此小编会在以后的文章中继续介绍。下面我们回到“太阳系的稳定性”这一话题。
二、靠谱的太阳系
从上一节的数值模拟中可以看出，就算只考虑二维情况并且假设每个粒子都有相同质量，三体问题依然可以复杂得令人发指。如果我们把太阳系和三体问题进行对比，不难发现，太阳系的运动情况比三体问题复杂太多了——就算忽略掉太阳系中所有的卫星、小行星、矮行星、彗星以及各种星际尘埃，太阳系也至少有一颗恒星和八大行星，是一个九体系统。就算我们假设这个九体系统只限制在二维平面上，我们也不能让每个粒子的质量相等了。
但就算这样，地球已经环绕太阳几十亿年了，期间虽然历经过多次大冰期，可能遭受过无数次小行星撞击和伽马暴（产生于大质量恒星引力坍塌）的破坏，但却从来没想过要飞出太阳系，比“爱你一万年”还要矢志不渝。究竟是什么使得太阳系如稳定呢？
地球经历过的各种大型灾难 [3]
太阳系的稳定性看起来是一个很经典的力学问题，但出人意料的是，它直到20世纪中叶以后才渐渐引起科学家们的关注。这个问题的相关研究也标志着一个全新数学分支——动力系统（Dynamical System）的诞生和兴起。
为了研究太阳系的稳定性，前苏联数学家柯莫戈洛夫（Kolmogorov，也是第一个把概率论公理化的人）、阿诺尔德（V.L. Arnold）和德国数学家莫泽（Jürgen Moser）提出了著名的KAM理论（KAM分别是这三人的姓式首字母）。他们三人均因此先后获得沃尔夫数学奖（在数学领域影响力仅次于菲尔兹奖）。
或许柯莫戈罗夫的获奖和概率论的公理化更相关
从数学的角度来看，KAM理论中的各种定义杂乱无章，涉及到“相空间流”、“微分形式”、“奇异摄动”、甚至“丢番图逼近”等看起来八杆子搭不上边的数学概念，定理的证明也很长，看起来似乎毫无数学美感。但事实上如果通过太阳系稳定性的角度去理解，这个理论就非常美妙了。
下面是柯莫戈罗夫最原始的定理：
后面会介绍它的中文翻译[4]
阿诺尔德和莫泽又把柯莫戈罗夫的结论推广了出去，形成了KAM理论的框架。上面这个定理虽然名气很大，但如果只从定义出发去理解，则很容易陷入数学分析的思维陷阱中，难以理解这个定理和太阳系的稳定性之间有什么关系。
三、KAM理论概要
KAM理论到底是何方神圣？柯莫戈罗夫等人又为什么会想出上面这个结论呢？我们先来考虑一般的n体系统。
我们已经知道，三体系统已经是一个很复杂的系统了，其中一个原因在于三体系统不是可积系统（换句话说，守恒量不足），没办法通过解方程得到准确解。在前文对三体问题的讨论中，小编提到，因为三体系统不是可积系统，所以找不到解析解。既然可积系统是一个好东西，那么有没有办法把三体问题，乃至太阳系的九体问题用可积系统来近似呢？这就是柯莫戈罗夫等人的思路。
在此之前，我们来看看可积系统的严格定义：
定义：
令M是一个2n维辛流形（也就是高维曲面上每一点都装载一个辛矩阵作为度量），H是M上一个光滑函数。如果存在n-1个与H线性无关（它们对应的切向量线性无关）的函数 使得泊松括号
那么H就称作一个可积系统（Integrable System）。H和 都被称为首次积分（First Integral），可把它们看作某种“守恒量”。
线性无关和泊松括号为零这两个条件都非常重要。泊松括号为零保证了
确实可看作“守恒量”；而线性无关保证了可积系统具有足够的守恒量。而这里的H通常指整个系统的总能量，读者会在下文中找到更多体悟。
如果不理解上面的定义，不妨直接把可积系统视作“好”系统。此外，我们还需要对太阳系进行一些简化：
于是太阳和行星之间的作用可简化为下图[5]：
为了分析n体问题的动力学特性，我们采用哈密顿力学体系来描述这个系统：
有哈密顿力学基础的读者可以发现，和位置-动量共轭不同，在这里把角度和角动量看作系统的两个自变量，原因不外乎就是行星轨迹都是圆形，方便分析。如果不熟悉哈密顿力学，可以直接无视这一段话。
既然角动量全都是常数（角动量守恒），那么我们就只需要考虑角度
发表于 2018-7-12 03:48
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