△ Thomas Royen在德国的家中。（图片来源：Rüdiger Nehmzow/Quanta Magazine）
2014年7月17日的清晨，一个并不知名的德国退休统计学家Thomas Royen，正如往常一般，弯着腰刷牙。突然间，他的脑海中闪过了一个绝妙的想法，找到了证明一个著名的数学猜想的方法。
这个数学猜想被称作高斯相关不等式（Gaussian correlation inequality，GCI）。几十年来，世界上最有经验的数学家都在试图解决该难题，但都没有成功。而Thomas Royen就在水槽前，在脑海中提供了一个证明。但是他的证明并没有立即得到关注，几乎差点被遗忘。
GCI于1950年代首次被提出来了，但直到1972年才有了恰当的表述，并联系了概率和几何学：在一场飞镖游戏中，它为玩家射中靶子的几率设了一个下限，包括在高维中的假想飞镖游戏。
想象一下，有一个蓝色的长方形和黄色的圆形，把它们重叠在一起并拥有同样的中心点，就像飞镖靶一样（下图）。向靶子扔一系列的飞镖，你很快就会发现飞镖的位置绕着中心点会形成一个钟形曲线或“高斯分布”。根据高斯相关不等式，飞镖射中重叠部分的概率要跟飞镖单独射中长方形的概率乘以飞镖单独射中圆形的概率一样或者更高。简单来说，由于两个形状重叠，射中其中一个就提高了射中另一个的几率。同样的不等式被认为对于任何两个具有同一个中心点的对称的形状，并且在任何维度下都成立。
△高斯相关不等式的几何（上）和统计（下）表述。（图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine）
这听起来很像常识，但是要在数学上证明可不简单。
1973年，美国弗吉尼亚大学的数学家Loren Pitt在一次和同时的午餐中第一次听到了该不等式。作为一名年轻傲慢的数学家，他惊讶于居然没有人知道如何证明GCI。于是他把自己关在旅馆房间，下定决心在证明或反驳该猜想之前不出门。1977年，他最终证明了GCI的一个特例，即在二维形状下该猜想是正确的，但无法证明一般情况。几十年过去了，Pitt表示自己依然不知道答案。
直到2014年7月，作为一个67岁的退休人员，Thomas Royen发现可以把GCI扩展成统计分布的表述。17日早晨，他意识到了如何计算在扩展GCI中的一个关键导数，并解开证明。他说：“那天晚上，我写下了该证明的初稿。”
（图片来源：Rüdiger Nehmzow/Quanta Magazine）
他并不会LaTex——一种数学家常用的文字处理软件，于是只能将他的计算用Microsfot Word打出来，并把他的论文发表在arXiv网站上。他也把自己的结果发给宾夕法尼亚州立大学的统计学家Donald Richards。Richards说道：“当我看到这篇文章时，我立即就知道它被解决了。”
△ Royen发表在arXiv上的论文（2014）。Royen发现，他可以将GCI一般化，并不仅仅只应用在随机变量的高斯分布，而可以应用在更一般化的统计分布（跟高斯分布的平方相关），被称为伽玛分布。（图片来源：Thomas Royen）
Richards自己也被这个结果所震惊。在过去的几十年中，他和其它的专家都尝试利用越来越精巧的数学方法来解决GCI。经历了许多漫漫长夜的思索后，有一些数学家甚至开始怀疑这个不等式是错误的。结果，Royen的证明是如此的短和简洁，只有几页纸和用到一些经典的方法。一个经过训练的统计学研究生就能看懂。对此，Royen说到：“这些简单的证明...或许能够激烈年轻的学生发挥他们的创造力寻找新的数学定理，高理论水平并不总是必须的。”
当然，Richards也吃惊于这么重要的论文居然差点被全世界遗忘。
过去，有很多错误的证明使数学界对此感到厌倦。在2015年的时候，Royen的证明以及其它两份“证明”寄给了以色列魏茨曼科学研究所的Bo'az Klartag。当Klartag检查其中一份的时候发现了一个错误，由于时间紧迫就把其它两份给搁置了。因此，Royen的成果就被忽略了。
通常，像Royen的论文应该发表在《统计年鉴》上，这样所有人都会迅速听到这个结果。但是Royen跳过需要长时间同行审议的那些顶级期刊，而选择了在印度一个不知名的期刊发表了他的成果（他在一年前同意成为那个期刊的编辑）。显然，Royen的论文不可能被注意到，因为大多数专家都不知道那个期刊。
幸运的是，Royen说服了波兰数学家Rafał Latała 和他的学生Dariusz Matlak。他们重新写了一篇关于Royen的证明的论文，并于2015年末发表在arXiv上。
多亏了这份新的论文，在过去12个月中，Royen的证明才在数学界慢慢传播开来。当然，仍然有一些人可能还没看到这个证明。
（图片来源：Rüdiger Nehmzow/Quanta Magazine）
他的证明还有一些辅助的问题需要被回答，但最大的问题或许是，在这个网络的时代，为什么Royen的证明传播的如此之慢。但不管怎么样，至少我们最终发现了它，而它很漂亮。
参考来源：
https://www.quantamagazine.org/20170328-statistician-proves-gaussian-correlation-inequality/
发表于 2017-4-10 00:17
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