(t为自然数，x0,y0,z0为方程的一组特解)。因此，我们可以说《张丘建算经》给出了正确解答及其之间的增减关系，但却没有给出求特解和增减关系的方法。后世对此问题的探讨沿着改进算题、求特解和求增减关系三条路线进行。
算题的变种
北周时期甄鸾所撰的《数术记遗》记载了另外两道百鸡问题，只是把鸡价稍微改变。分别是：公鸡5文1只、母鸡4文1只、小鸡1文4只，以及公鸡4文1只、母鸡3文1只、小鸡1文4只，均百文买百鸡。甄鸾给出的答案不完整，也没有给出解法，认为这种题只需要心算就可以了，“即舍数术，宜从心计”。
南宋的杨辉在《续古摘奇算法》中又搜集了两道百鸡类问题，不仅价格改变，而且物品种类也发生了变化。一题引《辩古通源》说温柑7文1只、绿橘3文1只、匾橘1文3只，百文买橘百只；一题说醇酒7贯1斗、行酒3贯1斗、醨酒1贯3斗，十贯买酒十斗。因为是三个未知数连动求解，杨辉认为此类问题是“三率分身”，后世称为“三色差分”。
明代中期吴敬在《九章算法比类大全》（（1450年））中记载了一道类似的问题：“九文买个桃，二文买个梨，一文六个杏。百文买百枚。”程大位《算法统综》（1592年）对原百鸡问题稍加修改：“今有千文买百鸡，五十雄价不差池。草鸡每个三十足，小者十文三个只。”程氏还给出两道有三个和四个未知数的算题，分别是：“今有钱五十五两五钱，共买铜、锡、铁八万三千零五十…每银一钱买铜一百三十两，每银一钱买锡一百五十两，每银一钱买铁一百五十两”；“今有绫、罗、纱、绢一百六十尺，共价九十三两。绫每尺价九钱，罗每尺价七钱，纱每尺价五钱，绢每尺价三钱。”
现代学者李继闵（1938-1993）注意到上述时期的算题往往都有“百钱买百鸡，鸡母若干钱一只、鸡雏一钱若干只”的特点，把这一时期称为“百鸡术的古典时期”。
解法的演进
最早给出《张丘建算经》百鸡问题求特解方法的是唐宋之际的学者谢察微。他说考虑到小鸡1钱3只，那么把100÷9得到11余1，11就是母鸡数。第二步用9减去余数1，得到8为公鸡数。第三步100-11-8=81为小鸡数。最后依据增减率得到其他解答。合理化这种解法，大概可以说是先取100钱的三分之一33钱为母鸡价，除以3得到母鸡数。不过第二、第三步无论如何是说不过去的。谢氏的做法可以说是不切实际的算法浪漫主义。南宋杨辉沿用并改进了这种方法，先用试算的方法确定一个未知数，然后求得另两个未知数。其后吴敬、程大位等人解法都是沿用杨辉的思路。
明嘉靖三年（1524年），布衣数学家王文素完成《算学宝鉴》，对百鸡术有较大的推进。他的解法相当于先消去一个未知数，化为二元一次不定方程，然后通过试算求得一组解。王文素进而通过鸡值损益给出增减关系的正确算法。除此之外，王文素不满足“三率分身”，探讨了最高达七个未知数两个方程的“众率分身”的问题。虽然其算法仍然具有试算的性质，但王氏对百鸡问题的研究已经远超古人。为此，他得意地说：“愚乃玩之既久，得此拙法。虽十率以上亦可求之，岂止三率乎！”
布衣数学家王文素雕像
清乾嘉年间，百鸡术获得了进一步突破。中国古代一次不定分析的形式主要有三：第一，百鸡问题的三元一次方程组；第二，历法调日法求强弱之术中二元一次方程；第三，《孙子算经》“物不知数”和历法求上元积年的一次同余方程组。从现代数学角度看，三者是相通的。不过在历史上认识到三者的关联却非易事。南宋秦九韶在《数书九章》（1247年）用大衍术解决了求同余方程组的问题，被世人称为“中国剩余定理”。李锐最先在《日法朔余强弱考》（1799年）中把调日法求强弱之术转化为同余方程问题。骆腾凤继而在《艺游录》（1815年）中也把百鸡问题转化为同余方程问题，用剩余定理求得一组特解，最后根据增减关系求得全部解答。由此，百鸡问题可以说获得了通解。 清末丁取忠《数学拾遗》（1851年）先设一物为零，继而求解。受此影响，时日醇《百鸡术衍》（1861年）对百鸡问题进行了极致的探讨。时氏全书共28问，每一问给出两种解法。一种解法是对杨辉、程大位、丁取忠等人三色差分术的发展；另一种解法则把百鸡问题转化为同余问题求解，实际与骆腾凤相同。
1859年李善兰翻译了棣莫甘的《代数学》，现代代数方法开始为中国学者所熟悉。1876年知弥出版《一次不定方程解法》，是中国现代数论的先驱。此后，又有何维槔《百鸡术演代》、陈贤佑《增补百鸡术衍》（1899年）、陈志坚《演无定方程》（1904年）、张世尧《无定方程细草》（1910年）和《百鸡演代》（1911年）等相关著作，对百鸡问题的探讨逐渐融入现代数学。
中外交流
值得一提的是，百鸡问题可视为中外数学交流的典范。印度、阿拉伯数学中都有一次不定问题。1202年，意大利数学家斐波那契在《计算之书》（Liber Abaci）中给出了一道“30钱买30鸟”的问题。其解法是用“合金法”，即相当于把1只公鸡和5只小鸡组合为6钱6鸡，把1只母鸡和3只小鸡组合为4钱4鸡，进而配比求解。这种解法思路与中国传统算法并不相同。不过，我们在清初李长茂所著的《算海说详》中看到了类似的思路。明末，西方传教士来华。李之藻与利玛窦合作编译《同文算指》（1614年），其中涉及到多道百鸡类问题。其解法是通过未知数的比率关系来求解不定方程，而不考虑其答数需要整数。这一做法也非中国传统思路。
西方学者Ulrich Libbrech和Jens Høyrup认为，古代世界数学的交流，往往只是传播算题，而非算法。这一看法很有道理。通过丝绸之路，一个数学问题往往容易以趣题或谜语的形式从一处传播到另一处，但是根植于整个数学系统的算法却不易理解和传播。因此，当地人往往会创造出足够的方法来解答传入的数学问题。百鸡问题大概就是这么一种情况。古代世界还常有一种“买马问题”。Jens教授认为柏拉图《理想国》（Republic）中似乎隐含有三人买马的问题；在丢番图《算术》（Arithmetic）中无疑已经有了此类问题。另一方面，类似的算题和算法也出现在中国古代数学经典——《九章算术》之中。
《张丘建算经》百鸡问题的解算主旨未明似是一种遗憾，但正是对其算法原意的探求，导致后世百鸡术之研究绵垣不断，众多奇异算法精彩叠现。一道数学趣题最终成为世界数学史上的华采篇章。
作者朱一文，上海交通大学科学技术史硕士（硕士论文：《百鸡术的历史研究》），中国科学院自然科学史研究所科学技术史博士，法国国家科研中心博士后，中山大学哲学系讲师，主要研究数学史与象棋文化。
来源：三思派
发表于 2017-3-1 20:28
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