几何在物理学中的妙用

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几何在物理学中的妙用[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.3)]Original [color=var(--weui-FG-2)]董唯元
返朴 [color=var(--weui-FG-2)]2023-09-20 17:01

物理学发展到20世纪，数学中的几何被引入到物理理论中。爱因斯坦借助黎曼几何构建了广义相对论，杨振宁发现规范场与纤维丛的对应关系，而到1980年代后拓扑量子场论的诞生，又将物理学推向了新的高峰。几何理论和相关概念在物理理论中大显身手，以至于有很多人说“物理就是几何”。如今这些由几何诞生的物理概念，已经深入到大气科学、信息科学等许多领域，也为几何学带来新的生命力。

物理理论经常会被跨领域借鉴使用。近几年气象学家在研究海洋和大气波动规律时，将地球类比为拓扑绝缘体[1-3]，从而借助物理学家研究拓扑相变的方法和结论，深刻理解了赤道开尔文波的形成机制。
开尔文波是一种因地球自转偏向力（即科里奥利力）而形成的海洋和大气波动。其最大的特点就是群速度与相速度相同，所以这种波不会在行走的过程中耗散，能够跨越数千公里持续搬运能量，是形成厄尔尼诺等气候现象的重要因素之一。
其实这种波早在1879年就已被发现，并以发现者命名。没错，发现者正是那位科学全才——开尔文勋爵，绝对温标也是以他名字命名的。相信老勋爵一定不会想到，100多年后他所发现的海洋和大气波动，竟然以如此奇特的方式与现代物理学产生联系。即使老勋爵乘坐时光机来到当下，估计也不能快速理解为什么开尔文波竟然是一种“拓扑保护下的激发”。
现代物理学中几乎无处不浸染着几何概念和几何语言，其深度和广度是十九世纪的物理学家根本无法想象的。


微分几何进入物理学
1915年横空降世的广义相对论，是物理学几何化的第一个里程碑，微分几何从此成为物理学家必须掌握的一门数学语言。
既然引力的本质是时空弯曲，引力场强是时空曲率，那么摆弄弯曲流形的学问，自然成了学习广义相对论的首要预备知识。所谓流形（manifold），可以认为就是各种各样的图形。比如土豆的表面是2维流形，而广义相对论所研究的时空则是4维流形。
为了能够计算，必须得在流形上建立坐标系。如果流形本身形状比较奇怪，或者坐标系覆盖能力有限，仅用一个坐标系无法覆盖流形上所有的点，那么就需要在流形上选取多个点，每个点都可以建立局部坐标系覆盖周边邻居，再把所有局部坐标系拼贴起来以覆盖整个流形。
比如，以地球某时刻为原点的4维笛卡尔坐标系，就无法覆盖到远处黑洞的内部，即使经历无穷长时间也只能到达很靠近黑洞视界的地方。然而这并不意味着时空本身在视界处被撕裂。靠近黑洞视界的宇航员可以以他自己的位置和某时刻为原点建立新的坐标系，这个坐标系既与我们的坐标系有交叠，又同时与黑洞内的其他坐标系有重合。借助多个坐标系共同承托，就可以画出一条光滑的世界线，连接地球和黑洞内部，从而看出视界处时空本身仍然完好无损。
另外，要想讨论曲率，得先让流形固定不动，蠕动着的水母表面显然不会有确定的曲率。而定型的含义等价于“流形上任意两点之间存在确定的距离”，于是流形上关于距离的定义必然要先于曲率的定义。
我们知道在最简单的x-y平面上，距离的定义是

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