我们都说，科学和数学技能是经济和技术进步的关键，但抽象的数学看起来又似乎离工业优化或者医学成像这样的实体例子很遥远。事实上，纯数学的研究往往会产生意想不到的应用。
然而，对数学家来说，究竟是什么让一个问题变得有趣？如果和他们进行类似的探讨，可能会得到一系列各式各样的答案，比如惊喜、矛盾、模式、例外、特例、联系……
它们听上去很不一样，但本质上都支持一种观点，那就是，数学世界是一种可以探索的结构。
在这种观点下，数学家就像解剖学家在学习身体的运作方式，或者像航海家在绘制新的水域一样。提出的问题有很多种形式，但最有趣的一定是那些有助于更清楚地看到全局的问题。
绘制地图
数学对象有很多形式。其中一些对我们来说或许相当熟悉，比如数字和形状。其他的或许看起来更奇特，比如方程、函数和对称性。
数学家不仅命名这些对象，他们还会追问，对象的某些类别是如何组织的。以素数为例，我们知道有无限个素数，但我们还需要一种结构性的理解来计算它们出现的频率，或者以一种有效的方式来识别它们。
乌岚螺旋（Ulam Spiral）揭示了素数的一些结构。如果把计数的数字排列成正方形并向外旋转，就会发现许多素数落在对角线上。（图／Cortexd, Wikimedia Commons, CC BY-SA）
其他好的问题则是探讨表面上不同对象之间的关系。比如，形状具有对称性，但一些方程的解也有对称性。
分类这些对象，并找到它们之间的联系，可以帮助我们为数学世界绘制一张连贯的地图。在这个过程中，我们有时会遇到令人惊讶的例子，它们违背了我们推断的模式。
这种显而易见的矛盾揭示了我们知之甚少的领域，而解决这些矛盾则可以提供宝贵的洞察。
想想三角形
最简单的三角形其实就提供了一个著名的矛盾案例。大多数人认为，三角形就是由三条线段首尾相接形成的形状。
这种想法对我们可以在纸上画出来的几何图形而言说得通，但这种三角形的概念也很局限。在一个没有直线的表面上，比如一个球面，或者一片卷曲的甘蓝叶上，我们就需要一种更灵活的定义。
因此，为了将几何学扩展到非平面上，一位思想开放的数学家可能会提出一种新的三角形定义：挑选三个点，两两之间用它们的最短路径连接。
这是一个伟大的概括，因为它在熟悉的环境中符合熟悉的定义，但也开辟了新的领域。当数学家在19世纪首次研究这些广义三角形时，他们解决了一个千年谜题，甚至彻底改变了数学。
大约在公元前300年，希腊数学家欧几里德写了一部关于平面几何的著作，也就是著名的《几何原本》。这部作品提出了基本原理，以及从这些原理中逻辑推导出来的结果。
他的原理之一被称为平行公设，相当于“三角形内角之和为180°”的说法。这正是你在每个平面三角形中所测量到的，但是，之后的数学家开始争论，平行公设是否应该是一则基础原理，又或者只是其他基本假设的一个结果。
对这个难题的争论一直持续到19世纪，当时，数学家意识到了为什么证明一直如此难以实现，因为平行公设在某些表面上是不成立的。
在一个球面上，三角形的边弯曲，内角加起来超过180°。在一片有波纹的甘蓝叶上，边向内弯曲，内角之和则小于180°。
（图／The Conversation, CC BY-ND）
三角形的内角之和打破了显而易见的规则，也揭示了欧几里德从未想象过的各种新几何学。这成了一则深刻的真理，如今，它们在物理学、计算机图形、快速算法等方面都有应用。
黄金时代
人们有时会争论数学是发现的还是发明的，但对于很多研究数学的人而言，这两种观点感觉都是对的。无论有没有留意到它们，问题就在那里，但选择哪些问题进行研究却也是一项创造性的事业。
有趣的问题大多源自我们理解的模式和挑战它们的例外情况之间的摩擦。当我们调和了明显的矛盾，并为识别新的矛盾铺平道路时，就会取得进展。
如今，数学家已经深入理解了二维表面的几何学，所以他们有能力对更高维的对象的类似问题进行检验。
在过去的几十年里，人们已经认识到，三维空间也有自己的几何学。最有趣的一个例子被称为双曲几何学，它就像一个三维版本的卷曲的甘蓝叶。我们知道这种几何学的存在，但它仍然很神秘，在某些研究领域中，已经能回答很多有关三维空间的问题，唯独双曲几何学的部分依旧成谜。
到了更高的维度上，问题仍然多于答案。但也可以这么说，对四维甚至更高维几何的研究也正在进入它的黄金时代。
#创作团队：
原文作者：Joan Licata（澳大利亚国立大学数学副教授）
编译：Gaviota
排版：MJ
#参考来源：
https://theconversation.com/exploring-the-mathematical-universe-connections-contradictions-and-kale-196053
#图片来源：
封面图：public domain pictures
首图：Cortexd, Wikimedia Commons, CC BY-SA
发表于 2023-1-5 01:48
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