量子物理学家通过可能存在的量子态来描述量子系统(例如粒子)。
描述量子态的函数族被称为波函数,以位置坐标为变量的波函数的模平方给出了粒子在空间中的概率分布。
因此,我们可以将波函数解释为概率波,表示粒子位于给定空间区域的概率。因此,描述粒子位置的波函数应该被看作是空间中的波而不是时间中的波。
当我们对这个位置波(位置坐标为自变量的波函数)进行傅里叶变换时,可以得到一个频率(空间中的频率)波,它是以粒子动量为自变量的波函数。
仔细想想并不奇怪,因为如果你认为光是波包或物质波,那么动量将由光的频率给出。
我们用γ和来表示这种关系。其中γ是波长,h是普朗克常数,p是动量,f是频率,E是能量。我们把一个粒子限制在越小的间隔内,位置波函数就越局域化(被水平挤压)。由于动量波函数是位置波函数的傅里叶变换,动量波函数将被水平拉伸,这意味着动量将有更大的不确定性。这是之前提到的傅里叶变换的标度特性导致的。
事实上,这就是海森堡的不确定性原理!这里只有傅里叶变换起了作用:
其中是普朗克常数,Δx和Δp分别是位置和动量的不确定性(标准差)。普遍的不确定性当函数是函数的傅里叶变换时,我们称和为共轭变量或共轭对。事实上,对于任何共轭函数对,都存在不确定性原理。海森堡不确定性原理只是共轭变量的特例。
从数学角度来看,为什么共轭变量的不确定性原理成立?原因是:短信号,如声音脉冲,需要许多频率不同的正弦波的叠加才能实现,只有许多特定频率的正弦波的叠加才能保证在一定范围之外波的振幅接近于0。相反,信号越像正弦波,描述信号所需的频率就越少。
当你听到很短的一段声音时,你很难确定这段声音包含哪些频率;但如果你听到一段持续时间很长的纯净信号,就能够区分出不同的频率。这也是不确定性原理。
同样的,我们对雷达探测的目标的距离知道得越多,对接近或后退的速度就知道得越少,反之亦然。这是多普勒和距离的不确定性。
还有其它许多共轭变量,它们都遵循各自的不确定性原理,它们有一个共同点,那就是它们的成立都是有数学保证的!波的数学只是限制了我们可以从某一量子态中获取多少信息。
海森堡不确定性原理的影响真实存在