一个本原集有多大？
素数在整条数轴上占领着极为特殊的位置，许多让数学家为之着迷的猜想都与素数有关。最近，一名年仅26岁的数学博士生Jared Duker Lichtman，解决了一个与素数有关的存在已久的猜想。
这个猜想所处理的对象是被称为“本原集（primitive set）”的集合。本原集是由数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）在20世纪30年代提出的，这是一类由大于1的整数构成的集合，这类集合中，没有任何一个数能整除其他数。
素数是只能被1和它自己整除的数，因此根据定义，所有素数的集合是一个自然的本原集。除了素数集合外，所有恰好有2个、3个或100个素因子的数的集合也是本原集。另外，由完全数（等于其固有约数之和的数）所构成的集合（比如{6,28,496}）也是本原集。
本原集的定义或许直观明了，但它们的性质却非常奇怪。这种奇怪可以通过探寻“一个本原集可以有多大”这一问题来体现。
埃尔德什和
多年来，数学家对本原集的大小进行过各种各样的研究，他们通常不会直接计算一个集合中有多少个数，而是采用一些别的方法。“埃尔德什和（Erdős sum）”就是数学家在研究本原集的大小时常用到的概念，它指的是将集合中的每个数字，a，代入表达式1/(a log a)中，再将所有结果相加所求得的最终总和。
集合{2,3,5,7}的埃尔德什和就等于1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(5 log 5)+1/(7 log 7)。
1935年，埃尔德什证明了对于任何本原集来说，埃尔德什和总是有限的。于是一个自然的问题便是：埃尔德什和的最大值可能是多少？埃尔德什猜测，这个最大值应该与素数集合相对应，数值结果约为1.64。
埃尔德什的证明表明，不管任何一个本原集的埃尔德什和总是小于或等于某个数字。
几十年来，数学家一直为证明这个猜想而努力，而这却似乎是个遥不可及的难题。数学家要么只能部分证明它对于一些特定类型的本原集是正确的；要么只能努力逼近1.64这一数值，比如1993年，埃尔德什与合著者张振祥教授证明了对于所有本原集来说，埃尔德什和的上界为1.84。
创建一个新集合
Lichtman是在2018年开始研究本原集猜想的，那时他还是达特茅斯学院的一名本科生，他即刻就被这个问题吸引。2019年，他与本科时期的指导教授Carl Pomerance一起计算出Erdő和不可能大于1.78，再一次逼近了素数猜想中的1.64。
Litchman和Pomerance是通过将一个新的倍数序列与给定的本原集中的每个数字联系起来而做到这一点的。简单来说，他们需要写下本原集中的每一个数的所有倍数，然后删除那些比原数的最大素因子更小的素数的倍数，接着他们将剩下的数字组成一个新的集合。
以本原集{2,3,5}为例得到的新集合。
他们思考了这个新集合的“密度”为何，也就是它们占据了数轴的多少。以所有整数为例，它们在数轴上的密度为1；而所有偶数序列在数轴上的密度就为1/2，因为偶数占所有整数的一半。
他们观察到，如果原本的集合是本原集，那么与其相关的新得到的集合的元素数量最多与整数集合一样多，因此新的“密度”小于等于1。这一发现使Litchman可以根据密度来重新解读一个本原集的埃尔德什和。
通过这种方法，Lichtman和Pomerance证明了一个本原集的埃尔德什和最多为1.78左右。这一结果是数学家们在接下来的几年里所能做到的最好。
突破1.78
要如何将这一数值降至1.64呢？在大学毕业后，Litchman前往牛津大学攻读博士学位，主要研究与素数有关的其他问题。Litchman首先意识到，对于有着相对较小的素因子的数字来说，他可以相对直接地将1.78降至1.64以下；但那些素因子相对较大的数字，故事则大不相同。
为了解决这些问题，Litchman找到了一种不仅能将一个倍数序列与每个数字联系起来的方法，还能将其与多个序列联系起来。与之前一样，所有这些序列的总密度最大为1。通过这样做，Litchman找到了一种可以给密度设定一个更精确的界限的方法，并最终证明了即使是在最坏的情况下，埃尔德什和总小于1.64。
今年2月，Litchman在网上公布了他的证明。他的工作吸引了许多数学家的注目，因为他的方法巩固了素数在本原集中的卓越地位，让素数绽放出别样的光芒。
#创作团队：
撰文：佐佑
排版：雯雯
#参考来源：
https://www.maths.ox.ac.uk/node/36408
https://www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/
#图片来源：
封面图&首图：chenspec / Pixabay
发表于 2022-6-10 21:34
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