外尔与杨振宁——物理的真与数学的美
中科院物理所 1/15
The following article is from 赛先生 Author 张天蓉
图1：规范场论的大师们
READING导读
和量子物理类似，规范场论（Gauge Theory）不是一个人的功劳，而是许多位大师级科学家们集体智慧的结晶，是物理与数学、真与美的结合。
1687年，牛顿（Isaac Newton，1643-1727）在他的《自然哲学的数学原理》一书中，首次发表了万有引力定律，这个理论将地上的重量和天上星体间的作用力统一在了一起。从那时候开始，物理学家就做起了“统一梦”：企图将万事万物统一在一个物理理论的框架中。那么，所谓万事万物是指什么呢？以还原论的观点，最后都可以归纳为若干“基本粒子”以及这些粒子之间的“相互作用”。 迄今为止，物理学界公认的粒子有若干个，但基本相互作用只有4种：引力、电磁力、弱相互作用和强相互作用。因此，我们本节首先介绍描述相互作用的规范场理论，下一篇再介绍包括基本粒子的标准模型。
撰文 | 张天蓉 责编 | 宁 茜、吕浩然
01 外尔的错误模型
赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是德国数学家及物理学家，对数学和理论物理做出了杰出的贡献，被公认为是20世纪最有影响力的数学家之一。
数学家多少有几分诗人气质，外尔就给人这样的印象。也许是在神圣的数学王国中遨游，长期受“美”的熏陶所致，他时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己崇拜的偶像爱因斯坦批评时，那种失望和迷茫的心态。这是外尔研究统一场论时的一段故事。
外尔对“美”有一种独特的欣赏方式，他特别欣赏自然界的对称美。外尔上世纪50年代初在普林斯顿大学作了一系列有关对称的演讲，后来写成一本名为《对称》的科普小书，广受读者欢迎。规范理论的诞生，便与外尔追求“对称统一美”的工作有关。
外尔所著的《对称》一书
外尔曾任苏黎世联邦理工学院数学系的系主任，在那里和年长几岁的爱因斯坦是同事，也深受爱因斯坦的影响。在他1918年的《空间，时间，物质》一书中，外尔回溯了相对论物理的发展。同一年，他引入了规范（gauge，即尺度变换）的概念，并给出了规范理论最早的例子。
1933年纳粹执政时，外尔也和爱因斯坦一样，相继避难于美国，成为普林斯顿高等研究院早期的重要成员。爱因斯坦追求统一场论数年未果，外尔则企图将爱因斯坦有关统一的想法在某种程度上数学化。外尔用规范变换作了一个不成功的尝试：企图用时空的几何性质来统一描述电磁场和引力场。这虽然是一个错误的模型，但却开启了规范场理论进入物理学的大门。
四种相互作用中的强、弱相互作用仅存在于微观世界，人们在日常生活中最熟悉的、科学家们研究最成熟的，是引力和电磁力。当年的外尔，深切感受到广义相对论及麦克斯韦电磁理论既真又美的特点。因此，外尔首先想到的，便是用他欣赏的规范理论，将这两者统一起来。
所谓“统一”，实质上就是寻求不同理论之间的某种对称性，而规范不变便是系统某种内在对称性的数学表达。
对称的意思就是在某种变换下不变，就好像外尔《对称》一书封面上的蝴蝶，沿中线转180度还是一样的。因而表述它的变量具有冗余性，有某些多余的东西。例如：我们说雪花的形状是六角对称的，意思是说当我们将它以中心点旋转60度、120度、180度等角度时，它的形状不变，因而可以只用它1/6的形状，便能描述整体。将这个概念用到物理上，即物理理论中的某种内在对称，可以被描述为规范理论中的“规范不变”。
电路中 “电压” 的概念，是物理理论中具有冗余变量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流电是危险的，接触到便会置人于死地，几万伏特的高压线就更不用说了。但是，你可能也注意到立于高压线上的鸟儿，却似乎一点危险也没有感到，仍然能够自由自在地活蹦乱跳，那是什么原因呢？
这是因为用“绝对的电压值”来描述电力系统具有某种冗余性。因为电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。绝对电压V0并不是真正起作用的物理量，鸟儿两个脚的V1和V2之间的“电压差”V（V=V1-V2）才具有实在的物理效应。也就是说，用两个数值（V1、V2）来表示系统的危险性是多余的，只需要一个数值V就足够了。这也就是为什么在电路中（包括电子线路），“接地”的概念是很重要的原因。
用物理语言解释以上例子，可以说成是“电压具有平移规范对称性”。
重力场也具有与上述电力系统类似的平移规范对称性。就像父母不在乎孩子从五楼房间的床上跳到地板上，但绝对不允许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这儿的物理效应也是这样，不管“绝对高度”，只取决于高度的相对差距而已。
同样类似的“规范”概念可以搬到经典电磁场中，只不过比上述的“平移规范”具有更为复杂的形式。平移规范对称性是整体规范变换的实例，可以用电路接地，即定义一个整体的零点“地”来解决。电磁场规范变换则是局部时空场的变换，即随着时空点的不同而不同。
根据麦克斯韦电磁理论，电磁场可以用电场E和磁场H来描述，也可以用考虑相对论效应的4维电磁势A来更为方便地描述。但是，根据经典电磁理论，只有电场和磁场才与物理效应有关，电磁势与物理效应不是一一对应的，它具有一定冗余性，就像“绝对电压”很高的值并不能电死鸟儿一样，电磁势的值不完全等效于物理作用。经典电磁理论中，对于同样的电场和磁场，电磁势A不是唯一的，如果四维电磁势A作如下规范变换时，电场E和磁场H保持不变：
A → A − ∂ θ(x)（1）
其中θ是一个任意函数，这说明对于描述同样的电磁场，四维矢量势A不唯一。上文的规范变换一词，便反映了电磁系统用4维矢量势来表述电磁场时的冗余性。
外尔认为可以“利用”电磁势的这个冗余性。他的做法是：当四维电磁势A作如（1）的规范变换时，给广义相对论的时空黎曼度规乘上一个尺度（规范）因子λ(x) = eθ(x) ：
gij→ eθ(x) gij（2）
如此得来的“新度规”，在形式上可以包容电磁场，数学上看起来非常美妙，闪耀着新思想的火花。然而，当外尔兴致勃勃地将他的文章寄给爱因斯坦后，得到的反馈却不咋地。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度，强烈批评了这篇文章脱离了物理的真实性。
因为从物理上讲，外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x)，即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，好比我在家里的卧室里测量结果是“高2米、年龄20岁”，但到了厨房就被测量成了“高4米、年龄10岁”，这在物理上是不可能被接受的。
因此，外尔企图统一电磁和引力的模型失败了，尽管它具有数学之美，却失去了物理之真。
02
电磁场——第一个规范场
爱因斯坦的反对意见让外尔失望，却也进一步激励了他求真求美的兴趣。外尔的好友薛定谔（Erwin Schrödinger，1887 -1961）对量子力学的研究也深深影响了他。后来，外尔带着“量子”的新武器，再次返回到规范场这个课题，并将其原来的理论作了如下两点改变：
1. 规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子标量场f上;
2. 在原来变换中尺度因子的指数上，乘了一个i，也就是-1的平方根。
这一次，聪明的外尔回避了“老大难”的引力场统一问题，转而研究电磁场和电子的相互作用。此外，外尔将原来的规范因子，乘上了虚数i，改变成了电子波的“相”因子，意味着引入了电子的波动性，进入了量子力学。
在上述两点改变下，外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算：
f → eiqθ(x)f ， A → A − iq∂ θ(x)（3）
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发表于 2021-2-15 19:20
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