仅一页论文证明的怪异之数
马特·帕克 原理
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本文经授权摘编自《我们在四维空间可以做什么》 撰文：马特·帕克
译文：李轩
求取上面这个数的立方，然后再求它的9次方、27次方。不断提高幂次，但要保证这些幂次是3的幂，看看你能发现什么。
这个数是米尔斯常数, 通常用希腊字母θ表示。1947年，普林斯顿数学家威廉·米尔斯用一篇只有一页的论文证明了这个数的存在，但他并不知道具体的数值是多少。实际上，米尔斯常数有很多个，上面那个数是最小的米尔斯常数。2005年，它的前6850位被计算了出来。这个数很有意思，它可以产生无穷多个素数。你可能已经注意到，求取米尔斯常数的幂次时，如果幂次是3的幂，那么将结果向下取整总会得到一个素数。是的，出乎意料的是，这个数可以独自产生无限多个素数。
当我第一次看到米尔斯常数时，我的反应和大多数人一样：我简直不敢相信自己的眼睛，心想这怎么可能。实际上，米尔斯常数并没有那么神奇，它之所以具有这个性质，是经过专门设计的。计算它的数值时，是先确定素数，然后反过来找到产生这些素数的θ。这就好像先往一面墙扔飞镖，然后再在墙上画圆靶。由于计算米尔斯常数要先知道它要产生的素数，它并不能帮助我们寻找素数。
此外，我们并不能完全确认上面的常数确实就是米尔斯常数，它只是目前我们知道的最小米尔斯常数。我们知道这个数一定存在，但有可能真正的米尔斯常数比它大。之所以不能确定，是因为我们要确保每两个立方数之间存在一个素数，但目前我们还不能证明素数的密度可以满足这一点。令人惊异的是，从黎曼假设出发，可以推出这个结论。所以，这个米尔斯常数数值的正确性取决于黎曼假设是否正确。如果黎曼假设被证明是正确的，许多命题都会成立，上述推论便是众多命题之一。
不过米尔斯常数倒是启发了我们，如果我们想让某个数具有某种性质，不妨自己构建出来。这并不是说这个数是“假”的，它确实落在数轴上，和π、 √5 及7一样“真实”。因为我们在生活中用到的数很少，所以我们很容易忘记我们还有非常多的数。数轴不仅包含所有人类使用过的数，还包括你能写出来的任何数字串。
为了更好地理解“数”这个群体，数学家喜欢把它们分门别类，这听上去是一件很有用的事。我们已经使用过整数和分数（我称它们为“行为端正的数”），它们要么包含有限的数字（如1/4 = 0.25），要么反复重复一串数字（如1/7 = 0.142857 142857 142857 …），但是有限小数和无限循环小数其实是一回事，它们取决于你使用什么计数系统。1/2在十进制下是一个完美的有限小数——0.5，但是在三进制下就会变成0.111111…；同理，2/3在十进制下是0.6666…，但在三进制下就可以写成0.2。但无论是循环小数还是有限小数，它们的数字都是可预测的：它们是“有理” 可循的。
无理数则不同，它们从不按常理出牌。√2 、π 和黄金分割比（φ）就不能写成分数，并且要预测它们后面的数字也不容易。这就是为什么NASA要不辞劳苦地计算√2的小数表示，如果不具体计算，你不会知道它的下一位数字是什么。同样的，π的每一位数字也是不可预测的，所以才有了各种背π的数字的大赛。目前的世界纪录是有人背出了π的小数点后67890个数字，这显然比我能记忆2/3的前67890个数字厉害多了。
但无理数并不是生而平等的，有一些数更加“无理”。诸如√2和黄金分割比等无理数至少可以由整齐的方程得到：√2可以通过解方程x2=2得到；黄金分割比可以通过x=1+1/x得到。如果一个数可以由每一项都是有理数乘以未知数的整数幂的方程得到，我们称它为代数数。这种方程的正式名称为有理系数多项式，非正式名称为“整齐方程”（neat equation）。
剩下的无理数，例如π和e（2.71828…），则没有代数表示。它们不能由一个整齐的有限方程得到。除了用符号π来表示，π无法表达成其他有限的形式，它超越了代数的表达能力。虽然我们有一些计算π的方法，但是这些方法都涉及无穷级数。e同样如此。因此，这些数被称为超越数。它们神秘而狡猾，而且数量远超过其他种类的数。相比之下，有理数和代数数更像是在超越数的浩瀚海洋中游动的数，我们对这片海洋还知之甚少。
尽管超越数在数轴上无处不在，但要找到它们极其困难。直到1873年，e 才被证明是超越数，它是超越数家族中第一个被人类发现的成员。直到1882 年，π才加入这个家族。甚至到了今天，我们只知道e+π和e×π中至少有一个是超越数，但还不能确定到底是哪个。在戴维·希尔伯特于1900 年列出的重要数学问题表中，有一个问题便是确定eπ的超越性。在1934 年，它被证明确实是超越数，但是ee、ππ以及πe的超越性仍然有待证明。在自然界中，我们极难找到超越数的足迹。
本文摘编自《我们在四维空间可以做什么》（马克·帕克/著，李轩/译，后浪出品，2020年7月），经出品方授权使用。
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发表于 2020-8-16 17:33
