茶杯中的无穷大

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1. 欧拉方程

有时，科学发现就像多米诺骨牌，一个发现会引发下一个发现。我们今天要讲的一个关于流体力学的数学研究故事就是这样：从2013年的一项实验发现中引发的一系列数学证明，撼动了人们几个世纪以来的思考。

这项2013年的研究是应用数学家Thomas Y Hou（侯一钊）和Guo Luo（罗果）对流体进行的数值模拟，其研究的核心是由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于1757年提出的欧拉方程。

                               
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○ 欧拉方程：在流体力学中，它们描述了理想化的不可压缩流体在没有外力作用的情况下的运动，u为流体的速度，p为压强。| 公式来源：[1]

欧拉方程被用来模拟流体随时间的演化，比如当我们想要知道，如果一块石头被扔进平静的池塘中，池塘中的水在五秒钟后会怎样运动时，就可以利用欧拉方程来找到答案。

但是，欧拉方程描述的是一个理想化的世界，在这个世界里，流体具有一些不切实际的特性。例如，欧拉方程假设流体是没有粘性的，换句话说当流体互相流过时，内部的流动不会产生摩擦；再比如与欧拉方程还假设流体是不可压缩的，也就是说流体不能被压缩到比它已经占据的空间更小的空间里。

在这个理想化的设定中，欧拉方程会利用牛顿运动定律来预测流体的运动。

显然，这样的情况无法让那些研究欧拉方程的数学家们满意的。他们想要明确地知道，这些方程是否在任何情况下都永远有效；如果不是，那么在什么情况下方程会失效。

2.  复杂版的茶叶悖论

在2013年的那篇论文中，Hou和Luo模拟了这样一个场景。在介绍他们模拟的场景之前，我们可以先来了解其模型的一个简化版本。这是一个几乎在家就可以模拟的场景。

假设你有一个平底的圆柱形茶杯（如下图所示），杯子里装满了茶水，一些茶叶沉淀在茶杯底部（下图左）；现在，顺时针搅动茶水，起初，杯中的茶水几乎会像整体性地旋转，并带动底部的茶叶一起运动（下图中）；然而，随着搅拌的继续，让茶水旋转的离心力与杯子的侧面内壁相互作用，产生了流体力学的“二次流”。二次流是一种更为复杂的运动，是对初始的搅动的响应，二次流会沿着圆柱形的杯壁向下流动，在杯子的中央部分向上流动（下图右）。

                               
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杯中的茶叶就能很明显的体现二次流的运动：他们聚集在杯子底部的中心，即使周围的茶水中仍有漩涡翻滚，它们也几乎维持静止。

在几个世纪之前，人们就已经注意到了这种被称为“茶叶悖论”的现象。1926年，爱因斯坦（Albert Einstein）首次用数学方法解释了这种行为。

Hou和Luo所思考的模型稍微更复杂一些，相似的是他们考虑的还是圆柱体容器中的流体。只是这次，容器上半部分的液体向顺时针旋转，但下半部分逆时针旋转（下图左）。这样的运动可以产生好几个二次流，它们以旋涡的形式沿着容器壁上下流动：从上往下，液体呈螺旋状下降；从下往上，液体朝相反方向螺旋上升（下图右）。

                               
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在模拟中，他们设置了流体的初始状态的数值描述，再让计算机应用欧拉方程来确定流体在未来的运动。他们发现杯子的中部，也就是两种流动相遇的地方出现了令人讶异的情况。按照欧拉方程的设置，在那个点上，流体的涡量（即旋转的速度和方向）会急剧增大。但事实上，他们的模拟结果显示根据欧拉方程，那个点的涡量增长得非常之快，能在有限的时间内就变成无穷大。

这种无穷大的值被称为奇点，正是数学家们想要确切知道是否存在于欧拉方程中的值。假如有奇点能够产生于欧拉方程中，就代表着欧拉方程的失效，当奇点产生时，欧拉方程便不再适用于预测和描述流体的运动。因为欧拉方程不能用无穷大的量来计算。

这一发现引起了轰动。200多年来，一直有数学家在寻找欧拉方程不稳定的情况。他们进行了大量数值模拟，希望能以此计算出他们认为可以产生的奇点，但当越来越强大的计算机对那些结果进行反复试验时，它们都没能经受住考验。最终似乎只有Hou和Luo找到了一个可能真正成立的结果。

许多研究欧拉方程的研究人员认为，Hou和Luo的模拟是我们所拥有的最令人信服的奇点场景。

3.  一系列的数学证明

然而即便如此，计算机模拟只是证据，不是数学证明。从某种意义上说，计算机是有其极限的，它们无法达到无穷小的尺度。因此，即便看上去这些结果可能已经很有说服力了，但没人能保证当使用一台更好的超级计算机来计算时，还能得到相同的结论。

因此，数学家们开始想要从数学上证明Hou和Luo所观察到的现象，于是便有了我们前面提到的那一系列数学证明。这些证明陆续扩展了人们对欧拉方程奇点形成的数学理解。

终于，数学家Tarek Elgindi、Tej-eddine Ghoul和Nader Masmoudi分别在2019年4月和10月，用两份证明详细阐明了欧拉方程会产生奇点的情况。虽然他们的证明也涉及到对一些特殊条件进行假设和简化，与数学家所寻求的对欧拉方程中的奇点形成的完全理解还有一定距离。但他们的论文仍被认为是迄今为止该领域取得的最接近目标的结果之一。

Elgindi的研究结果促成了新一轮的数学发现。2019年10月，Hou和Jiajie Chen采用Elgindi的方法，为一个与2013年的研究结果密切相关的场景创建了一个严格的数学证明。他们证明，在这个稍微修正过的场景下，模拟中所出现的奇点确实存在，为确定欧拉方程的确存在奇点添上了浓墨重彩的一笔。

当然，若要完全确定欧拉方程中的奇点问题，还有更多的工作需要开展。并且，在Hou的这份新的证明中，仍然存在有一些技术上的限制，使其无法在他于2013年所模拟的确切场景下证明奇点存在。但经过6年累积的丰硕成果，他们相信很快就能克服这些挑战，为这个证明画上完美句点。

参考来源：[1] https://arxiv.org/pdf/1310.0497.pdf[2] https://arxiv.org/abs/1910.00173[3] https://www.quantamagazine.org/f ... -progress-20200113/