一条优美而实用的曲线

Arcman

一条优美而实用的曲线[color=rgba(0, 0, 0, 0.298)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.298)]Original [color=rgba(0, 0, 0, 0.298)]小绵泡
原理 [color=rgba(0, 0, 0, 0.298)]Yesterday

1.

在自然界中，遍布着优美的螺线。无论是在海贝壳、羊角、海马和蜥蜴尾巴，还是在人类耳朵里的耳蜗，你都会看到它们呈现出具有沿着长度延伸的特别形状——对数螺线。在那些出现在自然界的特殊螺线中，有一种螺线被称为欧拉螺线。

欧拉螺线也被称为考纽螺线或羊角螺线，它是一种由曲率和弧长的线性关系定义的形状。欧拉螺线看上去是S形的，在“S”的两端会继续向内弯曲形成迅速收紧的螺旋形。所以，曲线的各个部分可以匹配各种各样的形状，无论是直的还是S形的，曲率增加的或曲率减小的。

                               
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2.

虽然，欧拉螺线是以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名的，但实际上，它最初是由詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在1694年时首次描述的。当时，伯努利正试图解决一个与弹性有关的数学问题，但他并没有将螺线绘制出来，也没有在方程中加入任何数字，甚至没有提供额外信息来表明这个方程是否正确的。

                               
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○ 弹性问题中的欧拉螺线。

上图所示的正是伯努利所思考的弹性问题，这是一个关于当在一个最初是平直的弹性材料（如弹簧金属）的端点施加负重时会形成的形状的问题。欧拉螺线可以定义为这个问题的逆问题：在一个最初呈弯曲状态的弹性材料上加上负重后使其变成直线。

当弹性材料被拉直时，

伯努利写出了曲线的方程，但没有画出它的真实形状。他没有计算任何数值，也没有写下为什么这个方程是正确的推导过程。他的核心观点是曲率是加性的，更具体地说，弹性材料在力矩作用下的曲率，等于它在无应力状态下的曲率加上力矩和弹性系数的乘积。但他从未正式发表过这一结论。

欧拉发现了伯努利方程，并在1744年这种曲线进行了分析和描述。

                               
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○ 欧拉的分析。

自那之后，它又被独立地重新发现了两次。一次发生在1818年，当时法国物理学家奥古斯汀·菲涅尔（Augustin Fresnel）想要计算光通过狭缝的衍射模式，于是独立地推导出了欧拉螺线；另一次发生在1890年，美国土木工程师阿瑟·塔尔博特（Arthur Talbot）在设计铁路轨道时再次发现了这一点，他需要计算出可以完美连接直线轨道和曲线轨道的过渡铁轨的理想形状，以使火车的行进更加顺畅。

3.

欧拉螺线有一个从平直到曲线的过渡。在最近一项发表于《科学进展》的研究中，数学家、生理学家以及行为学家甚至通过欧拉螺线发现了老鼠的秘密。在生活中，老鼠并不是一种受人喜爱的动物，但不得不承认的是，它们非常敏锐，以及有着强大的适应能力。新的这项研究表明，老鼠的这种敏锐，或许都要归因于隐藏在它们胡须中的数学。
一只老鼠脸上的胡须数量可以多达70根，它们的长度和形状各异，是老鼠的超级敏感且可移动的毛发。凭借这些毛发，老鼠可以探索和感知周围的环境。胡须是由已死亡的毛细胞组成的，它们位于一种特殊的敏感毛囊内。当胡须接触到物体时，毛囊会负责提取胡须的力和方向信息，再将这些信息传递给大脑。依据这些信息，老鼠可以感知物体，并判断其形状、大小和质地。
每根胡须的大小和自然形状会对它变形的方式以及抵达了毛囊的触觉信号产生强烈的影响。这意味着，用数学方程来描述胡须的形状将有助于我们理解毛囊接收到的信号。此外，从这个方程中我们还能得知，老鼠的胡须可能每天会从根部以相同的量生长，尽管这也可能受到季节和老鼠的食物量的影响。
研究人员从15只老鼠身上采集到的523根胡须，每根胡须都有不同的长度和形状。他们惊喜地发现，即使这些胡须形状各异，但都可以用一个简单的数学方程来准确描述，那就是欧拉螺线。

4.

自然界充满了数学模式，数学可以让我们从一个新颖的角度去了解生物结构和生物系统是如何工作的。现在，研究人员通过分析老鼠的胡须是如何遵循欧拉螺线的，以及这种螺线在自然界的常见程度，推测出其他哺乳动物的胡须很可能也遵循类似的规则。
无论是设计铁路轨道或道路中的过渡段，还是寻找赛车通过弯道时的最佳路径，欧拉螺线都有其用武之地。除此之外，在解决如何将平面地图投射到地球仪上，以及改进微波操作等方面，也都离不开这种美丽的曲线。

参考来源：https://www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf
https://advances.sciencemag.org/content/6/3/eaax5145https://theconversation.com/how-we-found-a-special-maths-equation-hidden-in-rat-whiskers-130345