撰文：Sean Carroll
我们每天体验到的世界，它的基础是核心理论：这是一个量子场论，描述了某一组实体粒子（费米子）和媒介粒子（玻色子）的动力学和相互作用，其中同时包含了粒子物理学的标准模型和爱因斯坦的广义相对论（弱引力场的情况）。在本文中，我们将非常简略地探究核心理论中的这些场和相互作用的一些具体细节。我们的讨论会像电报那么简略，其中充满了术语和难解的想法。
我们这场讨论的高潮只有一个公式，那就是：
○ 核心理论的本质——也就是掌管日常生活的物理法则——的公式表述。这个公式就是从一个特定的场构型转移到另一个场构型的量子幅，表达为对连接两者的所有可能路径的求和。
这就是所谓量子力学的路径积分表述，理查德·费曼是研究它的先驱。波函数描述了你正在考虑的系统所有可能构型的一个叠加态。对于核心理论来说，它的构型就是所有场在空间中所有点上的具体值。费曼形式的量子演化（跟薛定谔形式的等价，只是写法不同）能告诉你，假设系统在先前的某个时刻处于包含在之前的波函数中的某个构型的话，最后这个系统落到现在的波函数包含的某个特定构型的概率是多少。或者你也可以从之后的波函数出发然后反推；费曼的公式和薛定谔公式一样，在拉普拉斯的意义上都是完全可逆的。只有当我们开始进行观察时，量子力学才会违反可逆性。
这就是W这个量的实质，它就是我们所说的从一个场构型转移到另一个场构型的“振幅”。它由费曼路径积分给出，也就是对场在两者之间演化的所有路径的求和。如果上过微积分的课，你也许记得积分就是将无限个无限小的东西加起来的一种方法，比如说我们在计算曲线下的面积时会将无限小的区域加起来。在这里，我们加起来的是场在开端和结尾之间可能做的任何事情带来的贡献，我们就简单地将其称为场构型可以取的“路径”。
那么，我们要积分的，或者说要加起来的，到底是什么？对于系统可以选取的每条可能路径，我们可以计算一个叫作用量的数值，传统上用S来表示。如果这个系统在四处随意跳来跳去，它的作用量会很大；如果它移动得更平滑，作用量就会相对较小。路径作用量的这个概念即使在经典力学中也扮演了重要的角色；在我们可以想象系统能走的所有可能路径之中，系统真正选取的路径（也就是说遵循经典运动方程的路径）拥有最小的作用量。每个经典理论都能用这种方式定义：先说出系统的作用量是什么，然后寻找能最小化作用量的运动方式。
在量子力学中，作用量又再出现，但这次有点变化。费曼提出了一种方法，其中我们想象量子系统会沿着所有路径演化，而不仅仅是经典理论允许的那一条。我们对每条路径赋予某个特定的相位因子exp{iS}。这个记号告诉我们要先取欧拉常数e = 2.7181……，然后求它的iS次幂，其中i是-1的平方根这个虚数，而S是路径的作用量。
相位因子exp{iS}是一个复数，有实数部分和虚数部分，每部分可正可负。对所有路径的所有贡献求和，通常会牵涉一堆正数和一堆负数，而所有东西都会几乎相互抵消，只剩下一个很小的结果。唯一的例外是有一组相近的路径拥有非常相似的作用量，那么它们的相位因子也会很相似，将它们加起来会累积而不是抵消。这样的事情恰好会在作用量接近最小值的时候发生，对应的就是经典理论允许的路径。所以看上去几乎是经典的演化会得到最大的量子概率。这就是为什么我们可以用经典力学为日常生活的世界建立很好的模型；正是经典行为向量子态的转变概率作出了最大的贡献。
我们可以把方程每部分拆开来看。
先看看标着“量子力学”那部分的方程。就是在这个地方，振幅被写成了关于一组场后面再加上“exp i……”的积分（符号是∫）。记号DgDψ指出了其中包含的场。字母D的意思就是“我们要在积分中累加的无穷小量”，而其他符号则代表了场本身。引力场是g，其他的玻色子力场（电磁相互作用，强核力和弱核力）被归类到符号A之中，所有费米子一起被归类到了符号ψ（希腊字母，可以写成Psi），而希格斯玻色子则是Φ（希腊字母，可以写成Phi）。记号“exp”的意思是“e的……次方”；i是-1的平方根，而i后面的所有东西就是核心理论中的作用量S。所以量子力学进入这个表达式的方式就是：“对所有场可以选取的所有路径下e的i乘以作用量次方进行积分”。
有趣的事情都发生在作用量本身。许多职业粒子物理学家花上了人生中相当一部分的时间去写出不同场的组合下可能出现的不同作用量。但每个人都会从来自核心理论的这个作用量开始。
作用量是一个对于整个空间，以及从初始构型到终末构型这个时间段内的积分。这就是记号∫d⁴x的作用；x代表了时空所有维度上的坐标，而4是为了提醒我们时空是四维的。在“时空”标签之下还潜伏着一个额外的因子，也就是某种叫做-g的东西的平方根。正如你能从字母g中猜测到的那样，这与引力有关，特别是与时空弯曲的这个事实相关；这一部分说明了一个事实，就是（我们积分的）时空的容积会被时空弯曲的方式影响。
方括号[]内的项就是所有不同的场对作用量的贡献，包含了它们的内禀性质和相互作用方式。它们能分成“引力”、“其他力”、“物质”和“希格斯场”这些类别。
“引力”这一项相当简单，它反映了爱因斯坦广义相对论的那种脱俗的优雅。数量R被称为曲率标量，它刻画了任何一点上有多少某种特定的时空弯曲。它还要乘以一个常数mp²/2，这里mp是普朗克质量。这其实就是牛顿的引力常数G的一种奇怪的表达方法，这个常数刻画了引力的强度：mp² = 1/(8πG)。我这里用的是“自然单位制”，其中光速和量子力学中的普朗克常数都被固定为单位1。曲率标量R可以从引力场计算得出，而广义相对论的作用量很简单，就是正比于R在时空区域上的积分。最小化这个积分的值，就能给出爱因斯坦的引力场方程。
下一步就是标上了“其他力”的这一项，其中数量F出现了两次，还带着一些上标和下标。数量F又叫场强张量，在我们的记号中，它包括了来自电磁相互作用、强核力和弱核力的贡献。本质上来说，场强张量告诉我们这些场在时空中是如何扭曲和震荡的，就像曲率标量告诉了我们时空本身的几何如何扭曲和震荡。对于电磁相互作用来说，场强张量同时整合了电场和磁场。
在这里以及方程的其他地方，那些上标和下标标记的是不同的分量，比如说我们谈论的是哪个场（光子、胶子、还是W和Z玻色子），但还包括场的具体部分，比如说“电场指向x轴的部分”。当你看到两个量时，比如说这一项里的两个F，如果它们上面有相同的指标，这就是“对于所有可能性求和”的代号。这是一种非常紧凑的记号，让我们能在寥寥几个符号中隐藏巨大的复杂度；这就是为什么这一项就能包括来自所有不同力场的贡献。
当我们查看方程中被标上“物质”的部分时，事情就有点棘手了。物质场都是费米子，字母ψ代表了所有这些物质场。跟玻色子一样，这一个符号就一下子包括了所有费米子。第一项中ψ出现了两次，希腊字母γ（gamma）一次，还有另一个D。这个γ代表了英国物理学家保罗·狄拉克（PaulDirac）引入的狄拉克矩阵，它们在费米子的行为中扮演了重要的角色，还诠释了费米子一般都有对应的反粒子这个事实。在这里的D代表了场的导数或者说变化率。所以这一项对费米子做的事情跟之前那些项对传递力的玻色子做的事情一样：它告诉我们这些场在时空中如何变化。但在导数中还隐藏着别的东西（这又是紧凑记号的魔法）：费米子和携带力的玻色子之间的耦合，或者说相互作用，这种耦合依赖于费米子的荷。举个例子，电子和光子相互作用的方式就是作用量中的这一项刻画的。
接下来的一项牵涉另一种耦合，就是费米子和希格斯场Φ之间的耦合。跟核心理论作用量的其他部分不同，希格斯场和费米子之间的相互作用可以说有点巴洛克风格，没什么吸引力。但它就在这里：两个ψ和一个Φ，告诉我们这一项概括了费米子和希格斯场是如何相互作用的。有两件事让它如此复杂，第一件事就是符号Vij，它又被称为混合矩阵，记录了费米子可以互相“混合”的事实——例如，当顶夸克衰变时，它实际上会衰变成下夸克、奇异夸克和底夸克的某种特定混合。
另一个令事情更为复杂的地方就是，你能看到一个费米子场有着下标L，而另一个的下标则是R。它们代表了“左手性”和“右手性”的场。想象一下，将你的左手拇指朝向某个带有自旋的粒子的运动方向，别的手指就定义了自旋的一种可能朝向。如果粒子的自旋就是这个方向，它就是左手性的，如果自旋方向相反就是右手性。这些下标出现在核心理论的这一项，代表着这个理论会区别对待左手性和右手性，至少在亚原子的层面上是这样。这个特征引人注目，但也是必须存在的，因为自然以不同的方式对待左手性和右手性的粒子。这种现象又叫宇称不守恒，第一次被发现时震惊了粒子物理学家，但现在我们单纯把它看作不同种类的场相互作用时会发生的那种事情。
这一项的结尾“h.c.”代表了厄米共轭。这是一种花哨的写法，说明了前面一项是复数，但作用量需要是实数，所以我们要减掉虚数部分，只留下一个纯粹的实数量。
最后，我们还有作用量中关于希格斯场Φ的部分。它相当简单，第一部分是“动能”项，代表了场变化的程度，第二项是“势能”项，代表了即使在场不改变的情况下，场本身固定了多少能量。正是第二项让希格斯场与众不同。跟其他场一样，希格斯场也希望静静地安坐在能够拥有的最低能量上；跟其他已知的场不同的是，处于能量最低的状态时，希格斯场自身并不会消失，而是拥有非零的值。正是这一点让希格斯场即使在“真空”中也能够存在，让它能影响所有在其中运动的其他粒子。
就是这样，这就是核心理论的精简表达。只有一个方程，但能告诉我们一整套场从某个起始构型（波函数内叠加态中的一部分）转移到某个终末构型的量子幅。
我们知道核心理论，也就是说这个方程，并不是故事的结尾。宇宙中还有暗物质，它并不能很好地符合任何已知的场。中微子拥有质量，虽然我们写下的方程能适应这一点，但我们还没有在实验中证实我们写下的那些项的确是中微子拥有质量的原因。另外，几乎所有物理学家都相信有更多的粒子和场仍待发现，它们拥有更高的质量和能量——但它们必须要么与我们的相互作用非常弱（类似暗物质），要么衰变得非常快。
核心理论甚至不是关于所有我们已知存在的场的一个完整理论。比如说还有量子引力的问题。如果引力场很弱的话，我们写下的方程没有问题，但当引力变强的时候，比如说在大爆炸附近或者在黑洞之中，它就不再生效。
这没问题。的确，这个理论的限制根植在它的形式化表达之中。在我们的方程中，有一个记号我们还没有提到过：就在第一个积分符号，说明我们要对所有不同的场构形关于时间求和那里，有一个下标是k < Λ，其中k是场的某个特定震动模态的波数（wave number），而Λ又叫紫外截断。回想一下我们在第24章讨论过的，肯尼斯·威尔逊提倡的观点：我们可以将每个场想象成振动模态的组合，每个模态包含了具有特定波长的振动。波数就是标记这些模态的方法，大的k值对应短的波长，也就是说更高的能量。所以这个记号将我们在路径积分中包含的场构型限制在了那些“振动能量不太大”的可能性之中。这意味着低能弱场的情况——但仍然足以描述你每天看见的世界中所有粒子和场这样那样的运动。
换句话说，核心理论是一个有效场论。它有着非常具体、明确定义的适用范围——也就是能量远远低于紫外截断Λ的粒子之间的相互作用——而我们并不会假装它在这个范围以外仍然准确。它可以描述太阳对地球施加的引力，但不能描述大爆炸时发生的事情。
这里讲了很多东西，通常在研究生的物理课程才会讲授这些内容。对那些并非已经相当熟悉这些概念的人来说，指望这一段浓缩后的介绍能带来很多新的理解也不太合理。
但看到我们日常生活背后的核心理论，它是如此极端精简、严格并拥有明确的定义，这一点非常有用。核心理论中没有模糊之处，也没有空间足以引入我们现在仍然没有察觉的重要新层面。
随着科学继续得到更多关于宇宙的知识，我们会一直向核心理论添砖加瓦，甚至还可能找到它背后的一个更包罗万象的理论，其中完全不涉及量子场论。但这些都不会改变核心理论在它宣称的使用范围内准确地描述了自然这个事实。我们成功构筑了这样的一个理论，这个事实就是人类智慧史上最伟大的胜利之一。
发表于 2019-12-28 00:54
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