许多人会抱怨说，自己没有“数学头脑”。事实上，数学家会以各种各样的方式思考，根本没有所谓的哪种思考数学的方式是正确的。但这很可能造成沟通上的障碍，试想一下，一个用视觉图像思考的人，可能很难与用方程思考的人交流想法。然而，这也很可能促进交流。如果你发现一些数学很难理解，那么或许应该尝试从另一个角度看待问题。
让我们以椭圆为例。如果你环顾四周，很有可能会看发现一个椭圆，比如咖啡杯的边缘。思考椭圆的方式有很多种，下面简单介绍了几种方法，我们可以看到不同的数学家会有哪些不同的视角。
1. 实际
借用一个小木棒和一根绳子就可以画出一个圆，只要让所有的点都落在离中心固定的距离上即可；类似地，我们也可以用若干木棒和一根绳套来画一个椭圆。
如何做到这一点呢？首先，需要将两个小木棒插在地上，然后将绳套绕在这两个木棒上，用第三个木棒把绳子拉紧，拖动第三个木棒的过程就能画出一个椭圆。只要绳子绷得紧紧的，木棒就会沿着椭圆移动，你可以感觉到绳子中的张力在引导运动。
○ 如何画一个椭圆？
画一个椭圆的实际操作为我们提供了一种令人信服的方式来感受椭圆。
2. 视觉
椭圆属于“圆锥曲线”中的曲线族。圆锥曲线是通过从不同角度对一个空心圆锥进行切割而能得到的曲线。圆锥曲线有几种类型：椭圆和圆是其中两种（或者说只是一种，因为圆是一种特殊类型的椭圆），除此之外我们还能得到抛物线和双曲线。
通过这种直观的方法来思考椭圆，我们可以把它看成一系列相关曲线中的一种。然后，我们可以先试着理解一般的圆锥曲线，然后再专门研究椭圆。这在前期需要投入大量的时间去研究，但当我们拥有时不仅仅适用于一种单一曲线的理论，而是一套适用于几种类型的曲线的一般理论时，一切的付出都会得到回报。
3. 文字
不是每个人都喜欢视觉思维，即使是思考几何概念也是如此。有些人可能更喜欢用文字来思考数学概念，或者用文字来表达一个特定的想法。描述数学论证的最好方式通常是用语言讲述一个连贯的故事，并在恰当的地方插入方程和图表。
例如，在这篇文章中，我们用多种多样的方式描述椭圆，它们都展示了椭圆的不同特征。因此，我们可能会好奇，如何才能确定这些描述的是同一种类型的曲线。我们可能还想让其中一些描述更精确。
定义椭圆的一个性质是，对于椭圆上的每个点，从该点到两个焦点（画图时的两根棍子的位置）的距离之和是一个常数。我们甚至可以更准确地这样说：椭圆是平面上围绕两个焦点的曲线，曲线上每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
对于某些用途而言，这种描述或许就已经足够了，但是人们可能会尝试直观地解释它的含义，或者测试这个描述，看看它与特定的椭圆有什么关系，或者将描述转换成一个方程。
4. 代数
有些人喜欢把几何问题转变成代数问题。这可以引出不同种类的见解。喜欢用符号思考的人可能会用 PS+PS‘ =C（其中C是常量）来表述椭圆的概念。
事情并没有到此结束。在坐标系上以0为圆心、半径为1画圆，其方程为x²+y² = 1。椭圆的表现与此不同，因为对于大多数椭圆，从中心到曲线的距离不是恒定的，而是在两个数值（图中的a和b）之间变化。
a和b的长度决定着椭圆的大小和扁的程度，并可根据它们写出一个椭圆方程：(x/a)² + (y/b)² = 1。这与圆的方程密切相关——我们可以通过拉伸一个圆得到一个椭圆。我们就是这样得到上面的椭圆方程的。
曲线方程能够帮助我们探索曲线与其他用方程良好表述的几何对象的关系。例如，要找到一条直线与椭圆的交点，我们可以把直线与椭圆的方程都写下来，然后求解方程得到坐标。
5. 用自己的方式思考
找到自己思考数学概念的方式绝对至为关键——不管你是通过数手指、画画还是大声说出来。数学研究中的进展往往是因为有人发现了探索概念的新方式。
所有数学家都有自己最喜欢的思考数学问题的方式。有些人本能地偏爱一种方式甚于另一种——这可能是由于习惯使然，也可能是因为之前曾经用一种方式取得了成功，或者用另一种方式时遭遇了挫折。
也许最为成功的数学家是那些能够在不同方式之间灵活转换的人，因为对于任何给定的问题，总有一些策略比其他策略更有效。
发表于 2019-2-27 18:26
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