1977年，当罗伯特·锦穆尔（Robert Zimmer）前往芝加哥大学任教时，他继续着自己在哈佛大学读研究所时所开始的工作。他的研究包括了动力学（研究重复变换）和李理论（研究对称性的数学领域）之间的关系。
作为芝加哥大学的一名数学教授，锦穆尔完善了他的研究，其中也包括遍历理论和微分几何，并最终在1980年代初概要了今天被称为锦穆尔纲领（Zimmer program）的工作，包括了锦穆尔猜想。
自2006年起，锦穆尔开始担任芝加哥大学校长，之后他因获得了九位数的捐款，以及为捍卫校园言论自由撰写专栏文章，而登上了新闻头条。在他把严肃的研究抛诸身后很久之后，他启动的研究计划终于得到了回报。
一年前，三位数学家解决了锦穆尔猜想，这个猜想与几何空间呈现某种类型对称的环境有关。他们的证明是近年来最大的数学成就之一。锦穆尔说：“有五年的时间，我每天晚上睡觉的时候都在思考这个问题，它让我着迷，能看到人们解决这个问题真是太好了。“
○ 如今是芝加哥大学校长的锦穆尔，在近40年前提出了齐默猜想。| 图片来源：University of Chicago
一般来说，一个几何空间的维度越多，它就具有更多的对称性。例如，比较二维平面上的圆和延伸到三维方向的球可以发现：相比于旋转一个圆，旋转一个球的方式更多。球的额外维度创造了额外的对称。
锦穆尔猜想涉及到被称为”高阶晶格（higher-rank lattice）“的特殊对称，它追问的是，几何空间的维度是不是会限制这些对称类型是否适用。这次证明锦穆尔猜想的作者是芝加哥大学的Aaron Brown、Sebastian Hurtado-Salazar和印第安纳大学的David Fisher，他们证明，一旦低于某个特定的维度，将无法找到这种特殊的对称。也就是说，他们证实了锦穆尔猜想。
他们的工作解决了一个长期存在的重要问题，为研究其他许多问题开辟了道路，并揭示了几何空间一些深刻的内在本质。对称是理解这种空间最基本的特性之一。这项新研究以精确的方式表明：这些对称可以存在于一种空间，却不能存在于另一种空间。在此之前，这一猜想的进展已经停滞了几十年。
芝加哥大学的数学家Amie Wilkinson在今年初组织了一场关于这个新证明的会议。他说：“他们以相对简单的方式攻克了这个问题。“
对称性
对称性是小孩子在数学中最先遇到的几何概念之一。通过动手操作，他们发现可以旋转、翻转、四处移动形状，最终重新得到初始时的形状。变化中的物体保持着不变的特性，这暗示宇宙中存在深刻的秩序。
数学家有自己的正式语言来研究对称。这种语言为他们提供了一种简洁的方式来思考所有适用于给定几何空间的不同对称。例如，正方形有八种对称——可以通过八种方式翻转或旋转来得到一个正方形。相比之下，圆可以在旋转任意角度之后仍然是圆，它有无限的对称性。数学家将给定几何对象或空间的所有对称性打包成一个“群（group）”。
群本身也是研究的对象。群通常出现在研究特定几何空间的时候，但也出现在完全非几何的语境中，例如，数的集合可以构成群。锦穆尔说：“原则上，群可以作为各种事物的对称出现。”
除了我们在小学学到的各种对称，对称还有更多奇异形式。例如，可以考虑晶格的对称。最简单的晶格是一个二维网格。在平面上，你可以把晶格向上、向下、向左、向右移动任意数量的方格，最终得到的晶格和开始时一模一样。你也可以将晶格映射到网格中任意一个方格上。具有晶格的空间有无数不同的晶格对称。
○ 二维晶格的对称。| 图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
晶格可以存在于任意维数的空间中。在三维空间，晶格可以由立方体而不是正方形构成。在四维或更高维空间中，我们无法描绘出晶格，但工作原理是相同的，数学家可以精确地描述它。
锦穆尔猜想研究的群是那些涉及特殊的“高阶”晶格的，这些晶格存在于特定的高维空间。Hurtado-Salazar说：“如果能够看到这种奇怪的网格，就会发现它们非常美，虽然我看不见，但是我猜想那一定很好看。”
在整个20世纪，数学家们发现群不仅仅出现在几何中，还出现在数论、逻辑和计算机科学。当新的群被发现时，人们自然会问：什么样的空间会呈现出这些特定的对称集合？
有时，一些群不能应用于一个空间是很明显的。例如，只需要片刻就会意识到，圆的对称群不能应用于正方形——将一个正方形旋转10度，不会得到初始的那个正方形。但是，一个具有无限对称性的群和一个具有许多维度的空间的组合，会使得确定这个群是否适用于这个空间变得非常困难。锦穆尔说：“对于处于更高维度的更复杂的群，这些问题会变得复杂得多。”
松散的联系
当我们想到对称的时候，我们想象的是一个整体形状被旋转，比如说一个顺时针旋转90度的正方形。不过，在细微的层级，对称实际上是关于点的移动。通过对称来变换空间意味着，取空间中的每个点，将其移动到空间中的另一个点。在这种情况下，将一个正方形顺时针旋转90度事实上意味着：取正方形上的每个点，将其顺时针旋转90度，最终这些点出现在与初始位置不同的位置上。
或多或少，我们能够以刚性的方式移动这些点。最常见的对称变换——沿着对角线上对一个正方形做镜像变换，或者将正方形旋转90度——都是非常刚性的。这种变换是刚性的，因为它们不会把点打乱。在镜像变换前是顶点的点，在变换后仍然是顶点，只不过是不同的顶点；在镜像变换前构成边的点，在变换后仍然构成边，只不过是不同的边罢了。
不过，对称变换有更松散、更灵活的类型，而且这些才是锦穆尔猜想研究的对象。在这些变换中，点被更彻底地重组，在应用变换之后，点不一定会保持先前彼此间的关系。
例如，可以将正方形上每一个点沿着周长移动三个单位——这满足对称变换的基本要求，只是将空间中的每一个点移动到某个新的位置。这次证明锦穆尔猜想的作者之一Aaron Brown描述了对于一个球体，这种更松散的变换会是什么样子：“你可以将球的南北两极向相反方向拉扯，球上的点和距离会被拉开。”
对于网格，不仅可以在平面上移动网格，还可以扭曲网格，或者在某些地方拉伸，在另一些地方压缩，这样变换后的网格与初始网格不再完美重叠。这种类型的变换不那么刚性，被称为微分同胚（diffeomorphism）。
○ 刚性变换和非刚性变换。| 图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
在锦穆尔猜想中使用这种更松散的对称形式是有充分理由的。上世纪60年代，格里戈里·马尔古利斯 （Grigory Margulis）首次研究了齐默猜想中涉及到的特殊的高阶晶格，他因这项研究成果获得了菲尔兹奖。对于在只允许刚性转换时，哪些类型的空间可以通过这些高阶晶格转换而来，马古利斯给出了一个完整的描述。
锦穆尔猜想是马尔古利斯工作的自然延续。它始于高阶晶格可以作用的一系列空间——马尔古利斯发现的一系列空间——然后追问，如果允许晶格以不那么刚性的方式运作，那么这个空间的系列会不会扩展。
在新的研究中，三位数学家证明，当应用高阶晶格对称时，扩展对称的定义实际上不会改变什么。即使允许晶格以非常不规则的方式变换空间——通过剪切、弯曲、拉伸——晶格仍然被严格限制在它们可以作用的空间。
Fisher说：“因为在问题上增加了很多灵活性，直接的直觉当然是这些晶格可以起作用。但令人惊讶的是，答案是否定的，在某些情况下，它们不能。“
○ David Fisher，证明齐默猜想的三位数学家之一。| 图片来源：Eric Rudd, Indiana University
数学家在空间维度和可充当空间对称性的晶格维度（或秩）之间建立了确定的关系。一般来说，他们证明了晶格的秩越高，一个空间就需要越高的维度来适应它。即使在如何变换空间方面有相当大的灵活性，高阶晶格变换仍然仅限于高维空间。
锦穆尔猜想只是一个更大纲领的第一步。通过解答这个猜想，这项新研究的合作者对高阶晶格能够作用的空间进行了粗略的限制。接下来更有野心的阶段是专注于晶格确实出现的那些空间，然后，对那些晶格变换空间的所有不同方式进行分类。
锦穆尔说：”最终，这个纲领应能够对所有的方式进行分类。你所看到的是晶格在某些特定的地方不能作用，但有趣的问题却远远超出了这些。“
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/a-proof-about-where-symmetries-cant-exist-20181023/
发表于 2018-10-25 08:04
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