假如有一个只包含0和1的无穷序列，其中可能包含0，也可能不包括；同样，它或许包含1，也或许没有。但是，这个序列存在最大的数吗？
“是的。”数学家的答案会是——当然存在。因为如果这个序列中只要有一个1，那最大数字自然就是1；否则，这个序列就完全由0组成，那最大数字就是0.
但是这种情况非常奇怪，因为这一串推理根本无法找出最大值究竟是什么。如果这个序列有确定的长度，比如说有100个数值，那么我们只需一一过目就能轻易地找出最大值。但这是一个无穷序列，我们没有办法遍历一个无穷序列。除非你的大脑可以轻轻一“瞥”就看遍这个无穷序列。
所以当我们以困惑亦不完美的大脑来面对这个难题时，事实上只有三种选择：
总体而言，构成主义为数学证明树立了更高的标准。因为在标准数学中，要证明一个对象的存在并不需要明确的“找到”这么一个数学对象，只需假设不存在这么一个对象，然后推导出违背这种假设的结论即可。但构成主义则认为，若要证明一个数学对象存在，就必须找到或者“构建”这么一个对象。
例如，若要证明某些东西存在，就必须给出一个例子，这个例子可以是一个取决于你曾使用过的一些给定的数学数据的描述。这与理解哪些是允许的，哪些不被允许有些关联。这在布劳威尔（LEJ Brouwer）、海廷（Arend Heyting）和毕肖普（Errett Bishop）时期就已经被非常成功地分析过了。
构成主义如何影响经典数学？
构成主义并非是一项消极的活动，它只是反对一切照旧。毕肖普就曾是这样一位大师，他能在普通的“经典”数学中指出他认为的“缺陷”，然后通过对这些内容进行重建来消除缺陷。最后，这些陈述就会发生创造性的改变。总体而言，它需要一些新的、有趣的想法来对最初有“缺陷”的材料做出更微妙的、更富有启发性的处理。
然而，在数学中有许多重要部分的证明显然是非构成性的，而且真正想要的构成性证明根本无处寻觅。即使是对那些非构成主义的数学家而言，如何找到构成性的证明被认为是一个能引发极大兴趣的重大开放性问题。
例如罗斯定理和法尔廷斯定理（罗斯定理证明了西格尔的一个猜想，法尔廷斯定理证明了莫德尔的一个猜想），这两个定理都断言，具有一个（或多个）未知数的某些等式（或不等式）最多具有有限多的有理数解。构成主义者希望有一个能够列出这些解的程序。但是对于罗斯定理和法尔廷斯定理，没有人知道该如何做到这一点。
不过情况并不像可能的那样令人不安。对于两个定理，我们都可以证明存在这样一个整数，使得给定的等式或不等式的所有解，都能用比这个整数更小的数来表示。但是我们没有关于这个整数是否存在的构成主义的证明。
我们已经知道关于这两个定理的解的数量上限，但是要找到这些解则超出了我们的能力范围。构成主义阐述的正是找到这些解的问题。
构成主义如何影响实用目的的数学
那些并非从事逻辑和基础数学领域工作的数学家，通常对构成主义采取一种实用主义的态度：他们关注的是那些计算的最终结果，这些结果具有独立于任何哲学或逻辑系统的意义。
这种方法通常涉及到对理论数学对象的实际计算例子或近似。这基本上是一种实际的“有限主义”（finitism）的态度，有限主义只接受能够经过有限步构造出来的数学对象，比构成主义更激进，构成主义容许可列举的无限步。
然而，一般来说，为了能用计算机领域现成的术语来分析一个数学定理，就必须按照等同于构成主义的观点来分析这个定理，然后从那里继续前行。
文：Harvey Friedman（俄亥俄州立大学数学与哲学教授）
原文链接：
https://plus.maths.org/content/constructivists-expert
发表于 2018-9-19 01:03
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