撰文：神龙见首不见
Peter Scholze（彼得·舒尔茨）， 1987年12月11日生于德国德累斯顿。中学时代曾代表德国队四次出战国际数学奥林匹克竞赛，获得三金一银，之后进入德国波恩大学学习，在三学期里完成本科学业，两学期获得硕士学位，随后师从数学家 Michael Rapoport 进行博士研究并于2012年毕业。
○ Peter Scholze。| 图片来源：Nyani Quarmyne
波恩大学在其博士毕业之后立即聘其为正教授，使得Peter Scholze成为德国史上最年轻的正教授。迄今为止，他所获的奖项包括克雷研究奖、欧洲数学学会奖、费马奖、奥斯特洛斯基奖和拉马努金奖等等，不出意外他也将获得即将公布的数学界最高荣誉——菲尔兹奖。
Peter Scholze的履历足以使人惊艳，但这仍不能反映他的工作的杰出。他早已是那种用自己名字装饰奖项的人，而不是反之。头衔不能反映他的价值，唯一了解他的方法就是通过他的工作。
算术与几何的统一
Peter Scholze工作的领域我们称其为算术几何，这是一个用几何方法研究数论问题的领域。数字1、2、3、4............作为数学最基本的对象早已渗透进每个人的生活，但却并非每个人都意识到其背后隐藏着神秘的宝藏。数字背后那精致无比的结构，在我看来其壮丽不亚于宇宙中最恢宏的景象，而其部分展现出的与物理最深刻的相似性，那种联接两个截然不同的世界的神秘纽带，刺激着人类想象力的极限。
算术几何作为一个分支旨在探索数字背后隐藏的几何结构，进而理解几何与数字本身。19世纪的学者们已经注意到数字与几何之间的非凡联系，他们梦想能找到统一两者的方法。这一梦想在20世纪中叶逐步成为现实，奠基于德国哥廷根学派发展的代数，以及意大利学派发展的几何，André Weil（安德烈·韦伊）、Oscar Zariski（奥斯卡·扎里斯基）以及后来的Alexander Grothendieck（亚历山大·格罗滕迪克，详见：《云端的背影——格罗滕迪克的故事》）建立了现代代数几何的基础，其将许多算术问题包含进了几何的框架，为我们提供了新的强大的洞察力。
一个人们很早就意识到的联系源于整数和一元多项式，它们具有非常相似的性质，比如它们都能做质数分解。一元多项式有很明显的几何解释，它是一条曲线（代数维度为1，如果我们试图画出它的图形，则其为维数2的曲面，因为复数的维数是2）。这让我们猜测整数应当在某种意义上是一条曲线，Grothendieck的几何框架给出了这样一种解释，这条曲线上的每一点对应于一个素数。这一解释在很多方面很成功，结合Grothendieck发展的代数几何及代数拓扑工具，它给出了强有力的新方法去处理算术上的问题。
然而，一些基本的问题在Grothendieck的框架里仍然得不到解决。一个非常根本的问题在于曲线上每一点都是相似的，它们都起源于同一种代数对象（曲线定义其中的域），而整数上不同的点，即不同的素数却并不相同。换句话说，不同素数应该起源于同一种结构，有时我们称其为“一个元素的域”，然而这一对象却并不能被满意地构造。
“钻石”
Peter Scholze的工作很大程度上可以看作局部构造这条想象中的曲线。对曲线上的每一点，即每一个素数，Scholze给出了它在曲线上的任意小领域的严格构造。为此Scholze必须发展一套全新的几何学，他称其为“钻石”（diamond）。在一次会议中，Scholze解释其命名为钻石的理由，这些对象无法直接观测到，我们只能通过无数不同的侧面去观察，但当我们把所有侧面放在一起，他组成了一个完整的结构，就像钻石的每一个切面共同构成了钻石本身。
“钻石”的发展深深根植于Scholze之前于其博士论文中发展出的一套几何学，他称其为状似完备几何学（perfectoid geometry），在这里他把另一位杰出的德国数学家，菲尔兹奖得主Gerd Faltings的工作系统组织成一套理论体系，新的框架结构澄清了许多过去模糊不清的对象，并成功被Scholze及其合作者应用于解决许多悬而未决的猜想。
我们要重点提一下Scholze关于朗兰兹纲领的工作，在这里他用他的状似完备几何学提供了一种全新的方法去看待一类深刻根植于朗兰兹纲领的几何对象——志村族，并与其他9位合作者共同推广了Wiles关于费马大定理的工作。另一个不同但相关的工作在于局部推广志村族的定义，并将其应用于局部朗兰兹纲领，这是Scholze发展“钻石”理论的初衷。法国数学家Laurent Lafforgue（洛朗·拉福格）于一元多项式的情形证明了朗兰兹纲领从而获得了2002年的菲尔兹奖，近年来他的弟弟Vincent Lafforgue（文森特·拉福格）用新的几何方法推广了他的证明，Scholze的目标在于局部推广这一方法到整数情形。Lafforgue兄弟的方法都能在Grothendieck几何的框架下完成，然而整数情形却不能被置于其中，这是Scholze发展他的新理论的初衷。这一计划由Scholze于14年在伯克利宣布，迄今为止还未完成，然而由其发展出的数学已经蔚为壮观，并深刻渗透到了其他领域。
○ 罗伯特·朗兰兹因在“提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领，称为”朗兰兹纲领“，被授予2018年的阿贝尔奖。详见《数学中的大统一理论》。| 图片来源：Dan Komoda/Institute for Advanced Study
代数几何的拓扑理论
Scholze工作的另一个不同的方向在于代数几何的拓扑理论，我们称之为上同调理论，这里的核心问题在于不同上同调理论的联系，Grothendieck称之为motive理论。这里称其为motive梦想更为准确，因为大量极为困难的猜想阻碍了其实现，百万问题之一的霍奇猜想就是其中之一。Scholze对局部数域的深入洞察使其能够在这一特殊情形绕开Grothendieck的道路，用一种崭新的方式看待motive理论。他发现所有上同调理论共同组成了一个几何对象，而其可以被放进他所开辟的框架下研究，而其亦是与其关于朗兰兹的工作有机结合在一起的。这正是Scholze工作的特点，他总是能抓住最本质的东西，找到最合适的角度，使得不同现象间的深刻联系浮出水面。
日本数学家望月新一在一篇评论中写过，算术几何过去的发展可以归结为两个大的方向：朗兰兹和Motive，而他所开创的远阿贝尔几何（anabelian geometry）的新理论开辟了第三个不同的走向。第三点是否成立也许有争论，但前两点毫无疑问是算术几何这一领域的最核心问题，而Scholze在两者都做出了革命性的贡献，并且推进了两者的融合。
○ 望月新一提出了著名的“ABC猜想”的证明，但几何没有人能看懂他的论文。
详见：《被雪藏五年的ABC猜想论文将发表？》。| 图片来源：Jacob Aron/NewScientist
对比Scholze和望月新一是很有意思的，两者都做出了革命性的贡献，开辟了新的框架并解决了大的问题。不同的是，Scholze的工作被数学界很快吸收，全世界这一领域的学者学生都争先恐后地学习，去年在美国亚利桑那关于Scholze理论的冬季学校创纪录地吸引了近四百人，以年轻的博士生和博后为主，同时也包括了一批成名的学者，而望月新一的理论至今都没有被主流数学界完全理解并承认。这并非因为望月新一的理论更深刻难以接近，Scholze的理论无论深度广度都毫不逊色。
○ Peter Scholze参与玻恩大学举办的一场关于几何的研讨会上。| 图片来源：Nyani Quarmyne
斯坦福大学的Brian Conrad曾评论说Scholze的工作以一种最清晰最服务的态度传达最深刻的思想，同时Scholze本人的平易近人亦极大帮助了其思想被吸收，而望月新一的论文晦涩难懂及他本人对旅行的抗拒阻碍了其思想的传播。另一个原因在于，Scholze的理论非常根本，很明显它补足了我们理解世界的拼图中长期缺少的一块，它能够立刻应用到许多不同的问题中，而望月新一理论的前景并不明朗，数学家们对花时间学习它感到疑虑。
数学也许是个人英雄主义最后的舞台之一，而Peter Scholze毫无疑问站在舞台的最中央，能站在历史的前排欣赏也许已经是一种荣幸。
发表于 2018-8-10 00:33
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