数学之美｜欧拉传奇｜π之旅
2017-09-24
Surein
Aziz/善科 天文物理
数学之美Surein Aziz作者简介
Surein Aziz, 他写这篇文章时17岁，是高中学生。他认为数学有意思并很美妙，很多难以置信的结果可以从一系列的逻辑推理中和寻找规律中得到。他喜欢花很多时间考虑有趣的数学问题，并且希望读完中学后可以去大学读数学。他第一次接触到欧拉等式是从电视节目上看到的；这激发了他的钻研兴趣。
1人物名言虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。 因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情。
2人物速读欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。
[size=1em]通常，当阅读一本不错的数学书时，作者将一个特别复杂的证明、定理或想法解释得很透彻，并提到数学所涉及到的“美”。我一直想知道，这究竟意味着什么。我错过了一个特别利落的示意图吗？难道那些被深藏不露的数学美真的需要拿一个博士学位才能欣赏？
我曾认为后者在起作用------也许有一天，经过多年最高水平数学的学习，我突然窥见到一些不可思议的深刻真理，并从看起来枯燥琐碎的公式里体验到那令人难以置信的美。
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数学就像浓密的丛林——很难去参透。 [size=1em]
但实际上，我认为你不必花太多的精力就可以一瞥数学家关于美的深层含义。这就是下文我所要试图说服你的。数学有点像一个密集的、永无止境的丛林，可以让你觉得不时会远离它，很难到达你想去的地方。但如果你停下来看看四周，你经常会看到令人难以置信的、充满异国情调的植物和动物。
下面我试图介绍我认为很美丽的一件特别事情，这是我在一个电视节目中看到的。当时我几乎不知道是什么意思，当然也不知道它是怎么来的，但我有兴趣去了解更多的信息。
我说的是欧拉等式
现在你可能认为我疯了。它有什么美？那么，我应该提醒你，不只是我------《数学信使》读者的投票把它选为“数学中最美丽的定理”。物理学家理查德·费恩曼认为该公式“是所有数学中最卓越的、最惊人的公式之一”。
但是，它到底有什么特别之处呢？首先，我应该解释符号的真正含义是什么。
你可能很熟悉π，它是圆的周长与直径之比。数e也是一个常数，你可能不是很熟悉它，它是自然对数之底。e的前20位小数为e=2.71828182845904523536 [size=1em]e和π均是无理数------它们有无限多个小数位，你不能把它们写成一个整数除以另一个整数。
这三个数中可能最奇特的是i。它是−1的平方根，即i2=−1，称为虚数。你不能在通常数轴的任何地方找到它，因为没有实数的平方为负数。
欧拉是最伟大且最多产的数学家之一 [size=1em]
你开始得到欧拉等式之美的念头吗？如果你把常数e取π乘上i的次方，然后拿走1，你会得到0。三个非常奇怪的数字，它们没有任何明显的方式联系在一起，一结合却给出这样一个普通而熟悉的结果，是不是有点古怪？
那么，为什么会出现这种情况呢？最奇怪的问题是：我们怎样取一个数的i次方？但实际上，得到欧拉等式并不困难，这也是它美妙的一个方面！但首先你必须看看导出这个美丽等式的一般的欧拉公式：
这个看上去也一样整洁漂亮，不是吗？但是，要理解这个公式是如何来的，我们需要一样东西，叫做泰勒级数。确有一种方法能将像sin(x)或cos(x)这样的函数表达为无穷和的形式。他们由数学家布鲁克·泰勒发现（他也是裁定牛顿和莱布尼兹是谁先发明微积分的委员会成员）。
函数ex的泰勒级数是
[size=1em]其中n!(读做n的阶乘)表示乘积
你可以用计算器来验证这个泰勒级数：选取一个数x，看看计算器给ex什么样的值。再然后使用计算器算出和
的值，如果n比较大的话，你会发现结果几乎等于你得到的数ex，且添加的求和项数越多，两个结果越靠近。在某些时候，计算器上的两个结果是一样的，因为计算器无法检测它们之间的微小区别。当你对无穷多项求和时，两个结果是一模一样的。
出现在欧拉公式的其他两个函数的泰勒级数为
同样，你可以用计算器检验，请记住角度x是用弧度，而不是度数。
现在，让我们将泰勒级数中的变量x换成ix，得到
但是，某些i的次方可以简化，例如，由定义i2=−1，所以i3=−i及i4=1，等等。因此，上式可简化为
我们可以将涉及i的项合并在一起，给出
注意到这两个级数与上面的sin(x)和cos(x)的对应级数一样，所以我们将它们代入而得到
这就是欧拉公式。
我们现在要做的是让x=π。由于sin(π)=0及cos(π)=−1，我们得到
故
所以你看，在一系列不算太复杂的数学运算后，我们回到了我们开始的地方：欧拉等式。我认为这个等式很美：它将非常奇怪的数与很基本的数联系在一起。理解了为什么工作，感觉上有点像通过数学丛林，踩在一条鲜为人知的路径上，到达厚厚灌木丛中的某个秘密目的地。
转自善科网 作 者:Surein Aziz
翻 译:丁玖，密执安州立大学博士，南密西西比大学数学教授
校 对:汤涛，香港浸会大学数学讲座教授
（原文有改动） [size=1em]刊发-微信公众号：博科园 [size=1em]微信号：Bky-natural-sciences
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发表于 2017-10-8 16:49
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