为什么数学没有可证伪性而物理学却有？

Arcman

为什么数学没有可证伪性而物理学却有？

2015-06-14 知乎问题 [url=]超级数学建模[/url]


问题：我觉得数学的不可证伪性不仅仅因为数学的定理是从几个确定的命题中推导出来的，因为在不考虑逻辑的情况下，我们在直观上也无法证伪数学。

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（文/匿名）在我国，因为强调数学对于自然科学的工具性运用，所以将数学划给理科，这本不当多做非议，问题是有人会据此脑补：我中学和大学都学过一些物理和数学，感觉它们关系挺大的，而两者又都算理科，所以它们就应该本质相通吧。

非也！

数学是一门形式科学。（在知乎上也可以看出来数学话题的父话题是形式科学）
物理是一门自然科学。

自然科学研究物质世界，形式科学研究概念本身。

（一）自然科学是如何运作的

所有的自然科学家（包括物理学家）说（至少希望是）自己的理论就是对客观的物质世界的描述，他们全部都在做一件事情：还原上帝的宇宙（当然也包括宇宙内各类物质形态，大到天体系统，小到原子夸克）设计图纸。

为了造出来这张巨型图纸，自然科学的每一条定律的最终解释权被交给了上帝。

可惜上帝不会主动告诉你到底对还是不对，当自然科学家把自己的作品呈上殿前时，上帝陛下要么不管不顾，要么摇头“说不”。所以可证伪性（被上帝“说”不的话柄）成了被入选自然科学定律的一项必要条件。

自然科学家就这样靠跟上帝玩猜心思的游戏，发展自己的理论。

（二）数学到底是怎样的一种存在

数学是什么，也许我说上三天三夜都说不清楚。但是我可以说数学不是什么。

1.数学不是假定

你可以假定你的手机剩余电量是90%，你可以假定你是美国总统，你甚至可以假定你会飞，但是你不能假定违反逻辑的东西。
有人说，不，虽然我做不到，但是万能的上帝可以让逻辑不成立。

罗马教皇对罗素说：为什么不能让1+1等于1呢？
罗素说：因为这样会让任何两个不同的东西成为同一个东西。
罗马教皇说：我不信，你举个例子看！
罗素答道：罗马教皇是1，罗素是1，1+1等于1，所以教皇与罗素是一个人，罗素就是教皇，教皇就是罗素。

没错，数学的起点也可以是假定的，比如说欧式几何的平行公理。

但是，千万别说什么“”平行公理可能是错的”或者“平行公理我们认为它对它就对，认为它错它就错”这样的蠢话。
而是应该说“此处有平行公理存在”或者“我们在这个研究对象当中看到了平行公理的存在”。（请仔细体会这两种说法的区别）

我们知道“能”／“不能”有两个不同的意思：
（1）“可以，被允许”／“不可以，不被允许”
（2）“有能力或者潜能，可能性”／“不可能，潜在上也无法实现”

第一种用法统统可以表述成“被律法和规律允许”，比如父母亲告诉自己的孩子读高中的时候“不能谈恋爱”，这是家庭律法对孩子的行为限制。但是，如果我们说这个孩子“不能”飞起来则是说“能”／“不能”的第二种意思。

但是，换一个角度看，第二种意思也可以写成形式上与第一种意思一样，比如这个孩子作为一个人，他的生理机能律法规定他不能飞起来。这样，我们就把能不能的说法转化成了律法规定性的问题。

此外，各种不同的律法之间存在层次关系，下级的律法不可能违背上级的律法。在宇宙世界中，人类律法对于人的生理机能律法就是下级，生理律法对于化学和物理学律法又是下级，而物理律法对于数学律法又是下级。

数学不但不是假定，还是最高的律法，连上帝都要遵守的律法。

2.数学不存在于时间与空间之中

为此开个小课题：论为什么1+1≠2都是耍流氓

有人是这样反对1+1=2的，他说：我把一块泥巴和另外一块泥巴揉到一起成了一块更大的泥巴而不是两块泥巴，所以，1+1未必等于2，也可以等于1。

类似的，还有两滴水融合，两个粒子化合反应，甚至让雌雄配子融合发育称一个细胞多的数不清的生物个体。

我可以简单的回答，你们这样做是在无视加号君+的存在，你们把自己奇葩的想法强加在加号君纯洁的肉体上，让它怀上你们这些死变态的怪胎。但是这样做就是吵架了，无助于理解什么是数学。

我不去照抄特仑苏桃的《实分析》按照皮亚诺公理来回答，因为太多的逻辑语言让人感觉缺乏直观把握，没有恍然大悟的感觉。
让我编个段子吧。

话说，从前有一个物理学“家”、一个化学“家”、一个生物学“家”（加引号是因为三人的“家”字头衔是他们自封的）三人忍受不了数学家固执的认定一加一就是二的刻板说法，物理学“家”带上泥巴、化学“家”带上两粒（请不要在意这些细节）氢原子，生物学“家”带上雌雄配子一起结伴而行，嚷嚷着要用实验的铁证教训那个自以为是的家伙。

可是，等他们经过长途跋涉，刚刚到了数学家的茅屋向数学家说明了他们的意图的时候，还没等他们掏出实验材料开始实验，数学家冷冷的说到：你们已经输了！

为啥！实验明明还没有开始做呢！

数学家说：图样！你以为加法说的是你们所谓的那些物理的、化学的或者生物的过程吗？把两个苹果放在一起说是有两个苹果，你以为把它们分开就不是两个苹果吗？难道非得放到一起才叫加起来吗？难道相爱的两个人不造爱就算是路人吗？潘多拉星上面的一块石头和地球上的一块石头，不需要劳您去挪动它们，就可以“加起来”，等于二。所以说，加法和空间距离是没有关系的（就像真爱一样）！

此外，如果你们还是对那些“过程”执迷不悟，说我说的加法不过是加法的其中一个意思，说自己的“过程”也可以代表加法另外的意思，那么我就来告诉你：数学上的加法不发生在时间之中！

啥意思？

比如说，有一天上帝突然不想干了，懒得去指挥宇宙里面那些物质该怎么去运动变化了，看小伙子你不错，就把指挥权交给你手里。你刚上任，还挺高兴的，可是你又要去管行星怎样围绕太阳去转，为了知道行星下一步的运动，你用完美无瑕的运动公式计算，可是问题就在这里，还没等你算出来行星下一步怎么走，时间已经流逝了一截了，那些没有得到指令的星星们全都傻站在原地踏步呢！把地球上的人类全都吓尿了。

与其说用泥巴、化学反应、生物发育反对一加一等于二的人是给出了加法的新的含义，不如说他们根本就不懂得数学上的加法发生在时间流逝过程里哪一步。

啥哪一步，根本就没步！根本就是瞬间发生的，1+1不是要劳您的大脑转一圈算出来等于2才等于2的，而是本来就是2，等你动脑去发现它，1+1不是要把两个什么东西放在一起（不管有没有后续反应），而是，在这两个东西还是这两个的时候就已经完成了加法运算！

否则，我们的宇宙就会像一张磨损的光盘播放出来的视频一样，或者像网速太烂延迟飙红的网游一样，全他妈的卡成狗了。

数学的全部内容都是脱离于时间和空间的“绝对完成时态”，数学的全貌早已在那里存在，而且处于一种永恒的、绝对的刚性的、绝对正确的存在着。

就像匈牙利数学奇才erdos说的那样，数学被写在天书（The book）里面，等着人们去发现它。

有人说，你说的数学这么超脱，那么数学到底研究什么呢？

答：纯粹形式。举个例子：一个圆形可以用圆规在纸上画出来，也可以用刻刀在石头或者木材上雕刻出来，也可以在电脑屏幕上显示出来。但是，圆形的意义在于他的形式规定性，它不是纸上的墨迹，也不是木材和石头上的划痕，也不是电脑屏幕上的那些发光的液晶，只是那个满足于定义“（欧几里得平面内）到同一个定点距离相等的点的集合所代表的曲线，这般的纯粹形式。更为重要的是，除了圆形的这种共通的意义之外，圆形这个概念并不包含其他任何内容，不像那些指称物质形式的概念需要不断的用经验检验的方式确定已经被表述出来的部分到底是不是真实的描述了那个它所指向的物质形式。所以，圆形就是这样一个内涵完全处于处在明处的的纯形式的东西。

数学概念和自然科学概念的最本质不同正在于此，在自然科学中，我们承认对于我们所关心的概念，比如“原子”，有所不知，“原子”到底是个怎样的存在只有上帝才知道，人类只能通过不断地经验它，了解关于它的更多意义。但是数学概念是被阐明了的纯粹形式，之所以还要研究这些完全明白的概念不是说还要解读它的更多内涵，而是研究它与其他纯粹形式的关系问题。

总而言之，数学更加在意我们头脑当中所想的到底是什么，而自然科学更加在意我们所说的指的是什么。

3.数学规律通常都不可还原成物质事件

还是接着说那个故事吧。这个三个自封的“家”已经知错了，但是他们病根在哪里呢？是什么让他们闹出了笑话呢？

数学家又发话了：你们呀，光是知道数学是抽象出来的，就以为可以给抽象物找回来一种非抽象的对应物了，真是愚蠢啊！抽象是可以看做从形象出发而来不错，但是我经过一次抽象之后，再来一次抽象不是也可以吗？经过二次抽象（或者更高次）之后的东西能去找到对应的物质的东西才叫奇怪呢！加法就是这样的二次抽象物。

其实啊，从事数学研究的人都知道，别说是把数学定律还原成物质事件，就是在数学内部抽象程度跨度太大举例子都很困难。
此外，不知道是该去哭还是去笑的是物理学家也越来越发现上帝真他娘的是个数学家，上帝总是爱用高度抽象的规律去给宇宙写律法，而不是用抽象程度低的条文。

高度抽象的物质运动规律保证了物质运动的极大自由性。假使我们的宇宙规定只有一些很表象的律法，比如……。但是，实际上，（在适用的范围内）真实的运动规律是牛顿第二定律F=ma这样抽象的东西，它不去规定力必须是什么，加速度与速度必须是什么，而是规定它们的关系，这样一来，加速度和力都获得了极大的自由发挥空间，而通过很表象的方式，比如统计各类物质形式的运动速度就会把握不到真正的宇宙法则。

其实，我们的人生何尝不是如此呢？我们总是被表象的东西所迷惑，当我们根据自己的经验认为某类事情必须如何如何处理，结果反被经验误导的时候，我们何尝不是犯了在浅层次的意义上寻找规律的错误呢？

在上文中所举的例子“1+1=2”中，即使是先前所认为代表支持“1+1=2”的实验事例，比如把两个距离较远的苹果放在一起也并非是对这个加法的数学过程的物质事件还原，而是通过让两个苹果靠近这个动作暗示我们“2”这个数字的存在性。假如我们坚持加法代表放在一起，那么试问两只苹果距离多么近或者距离多么远分别对应于“2”的存在与不存在？

4.题主最初的问题

经过这么长的讨论，已经知道数学的超脱于经验的特质了，所以经验无法证伪数学。

但是，假使数学的正确性由逻辑和语义所保障，那么为什么数学在直觉上也是的正确呢？相反的，物理似乎在直觉上很容易想象出来反面例子。

一言以蔽之，正确的理论只在并且一定在它所描述的的直观概念模型中成立。

比如，像题主提到的在他的直觉中很容易想象超光速事件，但是这不正好表明牛顿的绝对时空观念是有问题的吗？或者说牛顿的时空观即使正确也没有把全部的力学规律囊括在内。

而在欧几里得的几何学让常人无法想象出来违反的例子正好说明欧几里得几何学恰如其分的描述了常人的几何直觉。或者，也可以反过来说，研究通常的几何直觉正好可以得出欧式几何。

最后，附赠两句题外话：
1.你想要比别人看得更远就应该从别人停下脚步的地方出发（从别人的结论出发看看能够推论出来什么），想要看到更深刻就从别人起步的地方反向推进（解读别人理由背后的动机）。
2.在你好不容易想出来一个你自己觉不出来错的东西的时候，暂且别“太”信它，把它说给别人听，遇到反对者会迫使你想出来更牢靠的理由。

Via:知乎
End.