积分的意义
远远不止算面积那么简单
小天在课堂上学习了定积分。老师告诉她，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。
小天很失望：定积分就只能算个面积？而且还只是这种特殊的形状。
她把这个疑问告诉了超模君，超模君笑着说：“明天旅行的时候跟你讲吧！”。
带着这个问题和对旅行的憧憬，小天进入了梦乡。
小天兴高采烈地和朋友们坐上了大巴车，几个小时之后，他们到了目的地。
这时超模君问小天：“你知道我们的汽车行驶了多远吗？”
“知道啊，我记得西安到青海是XX公里……”
“不对！那是直线距离。我问你怎么计算汽车行驶的路程。”
“……不知道。”
“哈哈，当然是定积分了。”超模君得意地说，“不妨设我们是A时刻出发，B时刻到达，A到B之间汽车每一时刻的速度记为一个函数，这个函数在A到B上的定积分就是路程啊!”
下了车，小天拉着旅行箱跟着大部队往宾馆走去，这时超模君又说话了：“你知道你拉箱子做多少功吗？”
“看我晚饭吃多少呗。晚饭吃得多，说明我做的功多。”小天疲惫地说。
“你这孩子！”超模君气乐了。“你在每个位置拉箱子都有一个力，这个力和底面还有一个夹角。我们假设车站到宾馆近似为直线，车站的位置为a，宾馆的位置为b，那么你做的功就是在a到b上的定积分。”
“哦哦。”小天附和了两声，就回去睡觉了，因为他确实做了不少功。
大部队早早地出发，去参观青海湖。这时有一个年龄比较小的孩子问了一句：“哥哥姐姐们，你们知道青海湖有多大啊？”
“4500多平方千米。”一个学地质的学生脱口而出。
“好厉害！”小孩和几个女生都发出了惊呼，这时一个戴眼镜的男生又发问了：“那是你知道。我问你，随便在地上画一个湖的图形，你会算它的面积吗？”
“我会算，定积分！”小天抢着说道。
“定积分算的是曲边梯形的面积，我这样的图形你怎么算？”男生很快随手画了一个不是曲边梯形的图形。
“这个这个这个这个这个……”小天结巴了。好在这时，超模君走出来替小天解围了。
“这个当然可以用定积分做，只是不是一般直角坐标系的定积分，而是极坐标系的定积分。”数模君耐心地解释道，“我们建立一个极坐标系，极点就是这个红色的点，极轴就是极点向右的这条射线。这样这个图形与原点连线和极轴的夹角范围就是，而每个角度对应的图形上的点到极点的距离就是……”
“我知道了！”小天做出一副恍然大悟的样子，“开始的角度是0，结束的角度是2π，所以这个面积就是在这个区间上的定积分，对不对？”
“对你大爷。”一个瘦高的男生走了出来，“这是利用极坐标计算面积，要对在整个角度范围内积分才行。”
“soga”小天为自己又长了姿势而高兴。
旅行结束后，在回来的路上，小天问超模君：“定积分确实不止可以算面积，它好像还可以干很多事。可是它到底能解决什么问题呢？”
超模君想了一下说：“你记着定积分的定义是什么吗？”
“曲边梯形的面积……啊不是。老师好像说了个四部曲：分割、取点、求和和取极限。”
“对，定积分就是无限细分和无限求和。把区间等分为n份，认为每一个小区间都是不变的，这样每一个区间内的面积就可以看成一个矩形了。用矩形的面积和来近似曲边梯形，再让最大区间长度的极限为0，就可以准确地计算面积了。”
“说来说去还是算面积啊？”小天扣着鼻子问。
“这是从函数图像上说的面积，但事实未必是面积。比如说你画一个速度和时间的图像，那么所谓的面积就是路程；你画一个力和位置的图像，如果力和运动方向一致的话，面积就是做的功；你画一个线密度和位置的图像，面积就是质量……”
“好厉害啊！可是如何知道定积分表达的意义呢？”赞叹之余，小天又抛出了一个问题。
“刚才说的又忘了。”超模君无奈地说，“定积分其实就是无限细分和无限求和，它求的还是一个乘积。比如说初中时候学的，匀速直线运动的路程等于时间乘速度，那么速度与时间的函数对时间做积分，本质上是把时间分成非常多的区间，认为每一段上都是匀速直线运动，然后套公式，最后把每一段的路程加起来。其他你能想到的乘积有关的公式，定积分都有类似的意义。”
“我懂了！”小天的思路也打开了，“比如说我喜欢小西。我每时每刻对他的好如果用一个函数表示，那么我喜欢他以来对他的好的总和就是这个函数在这段时间上的定积分，对吧？”
“对。”虽然对这个例子有些无语，但是超模君还是点了点头。
“还有我被胖虎打，他对我的伤害和时间的关系用一个函数表示，那么他对我的伤害就是这个函数在打我的时候的定积分……”
“停停停！”数模君怕她举出更奇葩的例子，赶紧转移话题：“你好像知道二重积分可以算体积，那我问你三重积分算啥？”
“算质量啊！”
“哦？那为啥二重积分不能算质量？”
“也可以算，”小天说，“如果你把函数值看成高度，就是面积；看成面密度，就是质量。”
“挺聪明啊，你都回答俩问题了！”超模君赞道，“可是三重积分就只能看成密度，不能看成高度吗？”
“别逗了，空间满共三维，到哪还有个高度？”
“2333333。。。”超模君笑惨了，“三维是我们生存的空间，对于数学来说，几维空间都是可以的，三重积分完全可以得到一个『四维体』的体积。”
“原来如此。”小天瞪大了眼睛。“看来积分很厉害啊，数学也很奇妙。”
“是啊，”超模君开始总结了，“数学是抽象的，不受我们所在空间的局限。而积分的意义无论是在工程实践还是在纯数学领域都有非常大的作用，要讲的话三天三夜也讲不了十分之一。总之你只要知道，积分的意义远远远远远远远不止算面积那么简单就是了。你跟我说了我可以耐心地跟你讲，你要放到知乎上去问估计会被鄙视的。”
“是是是，我知道了。”小天赶紧说。
本文由超级数学建模编辑整理
资料来源于王希（知乎）
发表于 2017-6-22 13:59
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