数学里的自然底数为什么用e表示？

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数学里的自然底数为什么用e表示？

Original
2017-03-28
余小鲁
赛先生

这是赛先生2017科普创作协同行动的第9篇文章。

撰文：余小鲁

责编：李娟 韩琨

e是什么？

让我们先尝试回答一个看似简单的问题：e是什么？

这个问题也许有一百个答案，笔者无法判断哪个答案最为美妙、自然、深刻，但可以确信，最直接最乏味的答案是：

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……（小数点后五十位）

一个调皮神秘的记号e，变成了一堆数字的堆砌，这大概不会是读者们投票选题所要的答案。那么，笔者尝试给出第二个答案：e是所有数学常数中，跟我们口袋里的“银子”关系最大的一个。

e与金钱的关系可以追溯到1683年。当时，雅各布•伯努利（在数学领域，称呼伯努利要特别小心，因为伯努利家族至少有八位著名的数学家，对我们来说，他们都叫伯努利）思考了这样一个问题：你的账户里面有一块钱，假设一年银行给你的利息是100%。如果利息在年终一次性结算，过了一年你的帐户里面就有两块钱啦。但如果把这个利息拆散，多发几次会如何？

举个例子，一年发两次，也就是六个月发一次50%的利息，一年后你将有(1+0.5)^2=2.25块钱。如果每个月发一次1/12的利息，那么一年之后你将有(1+1/12)^12=2.61块钱。伯努利非常开心地发现，这么算会让自己更富有，就开始认真研究：如果一年发无数次利息的话，自己一块钱的帐户将会变成：(1+1/n)^n=? （当n趋于正无穷大）

伯努利首先注意到，当n趋于正无穷大，这个式子的极限是存在的，而且他用二项式展开证明了极限值在2和3之间。也就是说，你不会因此变成世界上最富的人。如果大家有兴致自己去算这个式子的值（比如说n等于一万），那么将会回到文章开头最乏味的答案的一小部分。

如果大家不是太贪心，只是想让自己口袋里的钱翻倍而已，笔者可以教大家一个有趣的口算办法。举一个最熟悉的例子，你买了只股票天天涨停（一天10%），七天就翻倍了。如果天天涨6%，几天翻倍呢？大约12天。口算的公式特别简单：xy=72。

每天涨x％，那么翻倍需要的天数大约为y天。比如说，每天赚一个点，x＝1，那么y＝72。72天之后，你的钱有(1+1%)^72=2.04。学会了xy=72这个公式，大家可以在家里掐指算一下自己发财的时间（图1）。这条公式，其实无非说的就是中文里面利滚利的“滚”字，非常生动。

说回伯努利发现了跟金钱关系最大的复利，极限居然就是我们文章的主题e=(1+1/n)^n（当n趋于正无穷大），但伯努利并没有称呼这个东西叫做“e”。

                               
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图1.  “复利是世界上最伟大的力量”——爱因斯坦（图片来源：pinterest）

欧拉与e

第一个用e来表示上面复利公式的极限的，是另一位大数学家——欧拉。事实上，欧拉有无数得意之作，跟e相关的工作可称为他的代表作，必须用自己的名字Euler的首字母来表示。（这个猜测可能是小人之心，也许e就是指数expotential的首字母而已，大家姑且听之。）e在数学上称为欧拉数（Euler’s Number）。注意，这不是欧拉常数（Euler’s Constant），欧拉常数是用另外一个美丽的记号r来表示。其实，这个区分是一种繁文缛节。叫欧拉数的还有很多，流体力学里面的欧拉数、拓扑学里面的欧拉数……每一个都代表了欧拉在其领域的重要贡献。世人艳称的最美数学公式

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