阿拉伯数字和马可·波罗的旅行
Original
2017-05-02
蔡天新 赛先生
阿拉伯人所建立的，不仅是一个帝国，而且也是一种文化。
——（美国）希提
撰文 蔡天新（浙江大学数学学院教授） 编辑 丁家琦
一、零号与印度数码
1、2、3、4、5、6、7、8、9和0，这十个简洁美观的字符，是我们从幼儿园甚或学龄前便熟知的。由它们及其组合形成的十进制数系，是我们经常所说的阿拉伯数字。小朋友们还会拿它们做加、减、乘、除四则运算，如果只是1～7这七个数字，我们还可以用它们指代每周的日期，或用作音乐简谱。可是，它们真是阿拉伯人的发明吗？
1881年夏天，在今天巴基斯坦（当时和古代大部分时间属于印度）西北部距离白沙瓦市（唐代高僧玄奘赴印度取经曾路过此地，赞其为花果繁茂的天府之地）约80公里的一座叫巴克沙利的村庄里，一个佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”，上面记载了公元前后数个世纪的印度数学。
手稿内容十分丰富，涉及到分数、平方数、比例、数列、收支与利润计算、级数求和与代数方程等等。此外，还用到减号，状如今天的加号，不过写在减数的右边，而加号、乘除和等号则用文字表示。最有意义的是，手稿中出现了完整的10进制数码，其中零号用实心的点表示。
表示零的点号后来逐渐演变成圆圈，即现在通用的“0”，它至晚9世纪就已在印度出现。在876年瓜廖尔刻制的一块石碑上，清晰地出现了数“0”。瓜廖尔是印度北方城市，属于恒河流域人口最为密集的中央邦。石碑坐落在一座花园里，上面刻着宽和长，预备每天供给当地庙宇的花环或花冠数，其中两个“0”字虽然不大，却写得非常清晰。
用圆圈符号“0”表示零，这是印度人的一大发明。它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，它也是数的一个基本单位，可以与其他数一起计算。而无论苏美尔人发明的楔形文书，还是宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。采用60进制的巴比伦人和采用20进制的玛雅人虽说也引进了零号（玛雅人用贝壳或眼睛），但仅仅表示空位而没有把它当作一个独立的数。
至于1～9这九个阿拉伯数字的雏形，它们也是印度人首先发明的，年代却难以考证了。只是由于近代考古学的进展，在印度的一些古老的石柱和窑洞的墙壁上才发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年至公元后200年之间。那时以及后来的几个世纪里，字母文字中既没有表示未知数的符号，也没有数字符号，这样阿拉伯数字才有它的用武之地。
印度-阿拉伯数码的演变（图片来源：公有领域）
与巴比伦、埃及和中国这三个文明古国一样，印度也对数学做出了巨大贡献。不同的是，印度数学的源泉来自宗教。这是一个神秘和宗教的国度，诞生了诸如吠陀教、耆那教、佛教、锡克教和印度教等著名的宗教。其中，历史最为悠久的吠陀教因其唯一主要的圣典《吠陀》得名。
《吠陀》最初由祭司口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。虽然大部分已失传，残留部分也有论及庙宇、祭坛的设计与测量的部分，即《绳法经》。这是印度最早的数学文献，成书年代大约为公元前8世纪至前2世纪，不晚于印度两大古典史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》。
《绳法经》中包含了修筑祭坛的法则，最常见的三种形状是正方形、圆和半圆，但不管哪种形状，祭坛的面积必须等于一个或几个特定的值。因此，印度人要学会作出与正方形等面积的圆，那样的话圆周率必须得精确。祭坛还有一种形状是等腰梯形，这就提出新的几何问题。至于印度数码和零号，也有可能是在《绳法经》的基础上滋生演变出来的。
二、游历阿拉伯的旅行家
离开印度不远的地方便是阿拉伯世界，即使在后者发轫地阿拉伯半岛，与印度也只隔着阿拉伯海，其距离大致相当于东海两侧的中国与日本。阿拉伯人把自己所在的半岛叫岛，因为它三面环海，一面靠着沙漠。后来，情况又有所变化，印度与阿拉伯在地理上越来越接近了，这是伊斯兰的势力范围扩大的结果。
阿拉伯帝国的兴盛被认为是人类历史上最精彩的插曲之一。公元622年，52岁的穆罕默德率领大约70名门徒被迫离开故乡麦加，他们来到两百公里以外的麦地那，信徒人数迅速增加。在默罕默德62岁去世后的10年里，他的两任哈里发继承人兼岳父率领军队击败了波斯大军，占领了美索不达米亚、叙利亚和巴勒斯坦，并从拜占廷手中夺取了埃及。
大约在650年，依据穆罕默德和他的信徒的启示辑录而成的《古兰经》问世，成为伊斯兰教“四项基本原则”之首（其余三项分别是圣训、公议和类比）。公元711年，他们扫平北非，直指大西洋。接着又向北穿越直布罗陀海峡，占领西班牙，构成迄今为止人类历史上最大的帝国。
穆斯林军队每到一处，就在那里不遗余力地传播伊斯兰教。公元755年，由于哈里发的权力之争，阿拉伯帝国分裂成了东西两个独立王国，宛如从前的罗马帝国。西边的定都西班牙的科尔多瓦，东边的定都叙利亚的大马士革。后者在阿拔斯家族掌权之后，重心逐渐东移到今天伊拉克的首都巴格达，在那里创建了“一座举世无双的城市”，阿拔斯王朝也成为伊斯兰历史上最驰名和最长久的朝代（750-1258）。
巴格达位于底格里斯河畔距离幼发拉底河最接近处，四周是一片平坦的冲积平原。巴格达一词在波斯语里的意思是“神赐的礼物”，自从被选定为首都之后，这座城市开始兴旺发达，到8世纪后期和9世纪前半叶，巴格达经济繁荣，成为继长安之后世界上最富庶的城市。
公元771年，即巴格达建都的第九年，有一位印度旅行家来到巴格达，他带来了两篇科学论文，其中一篇是天文学的。国王命人把这篇论文译成阿拉伯文，结果那个人就成了伊斯兰世界的第一个天文学家。由此可见，那时的阿拉伯世界，科学还是一片空白。
早在阿拉伯人还在沙漠里生活的年代，他们就对星辰的位置很感兴趣。他们信奉伊斯兰教后，增加了对天文学研究的动力，因为无论处身何地，每天需要五次向麦加方向祈祷朝拜，这个方向必须要判断准确。我在阿拉伯人的航班和长途汽车上亲眼所见，他们非常守时，甚至寸土寸金的机舱里也辟有祈祷室。
另外一篇是印度数学家婆罗摩笈多（约598-约660）的论文，我们熟知的阿拉伯数字，阿拉伯人所谓的印度数码，就是由这篇文章传入穆斯林世界的。印度数码通过阿拉伯人的改造演变成了阿拉伯数字，再通过他们的远征，又流传到了欧洲。13世纪初，意大利人斐波那契的《算盘书》里已有包括零号在内的完整的印度数码介绍。
印度数码和10进制记数法被欧洲人消化、接受和修润之后，在近代科学的进步中扮演了重要角色。值得一提的是，比起未经欧洲人改造的“阿拉伯文的数字”来，印度瓜廖尔石碑上所刻数字似乎更接近于今天全世界通用的“阿拉伯数字”。事实上，阿拉伯数字的学名就叫“印度数码”，或“印度-阿拉伯数系”。但是，印度数码只是外在，要被欧洲人看中并吸收，还得有它的内涵，古代印度人和阿拉伯人的数学成就成全了此事。
三、翻译时代与拜占庭
不过，印度人的数学和文化输出十分有限。在阿拉伯人的学术和生活中，希腊文化最后成为影响最大的外国文化。事实上，在阿拉伯人征服了叙利亚和埃及以后，他们接触到的希腊文化遗产便成为他们眼里最宝贵的财富。之后，他们四处搜寻希腊人的著作，包括欧几里德的《几何原本》、托勒密的《地理志》和柏拉图的著作在内的书便陆续被译成了阿拉伯语。
在第七任哈里发麦蒙继位以后，希腊的影响达到了极点。麦蒙本人对理性十分痴迷，据说他曾梦见亚里士多德向他保证，理性和伊斯兰教的教义之间没有真正的分歧。公元830年，麦蒙下令在巴格达建造了智慧宫，开启了所谓的“百年翻译运动”。那是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，无论从哪个方面来看，它都是公元前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。
很快，巴格达智慧宫成了全世界的学术中心，研究内容包括哲学、医学、动物学、植物学、天文学、数学、机械、建筑、伊斯兰教教义和阿拉伯语语法学。在阿拔斯王朝早期这个漫长而有成效的翻译时代后半时期，巴格达迎来了一个对于科学具有独创性的年代。这其中，最重要、最有影响力的人物便是数学家、天文学家花拉子密（约783-约850）。
从花拉子密信仰曾经的波斯国教拜火教来看，他很可能不是纯粹的阿拉伯人，而是波斯人的后裔，或至少在精神上倾向于波斯。可以说，阿拉伯人的智慧存在波斯人的头脑里。据说529年东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭柏拉图学园时，不少希腊学者跑到了波斯，播下了种子。但花拉子密无疑精通阿拉伯文，智慧宫建成后，他便是主要的领导人。
花拉子密在数学方面留下了两部传世之作，其中《代数学》又名《还原与对消计算概要》，还原（al-jabr）一词有移项之意。这部书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响，al-jabr 被译成algebra，这正是今天包括英文在内的西方文字中的“代数学”。 可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。
花拉子密的著作在欧洲作为教科书使用了数个世纪，这对东方学者来说十分罕见。其时欧洲漫长的黑暗时代（中世纪）即将结束，大约就在热尔贝担任罗马教皇的时代，希腊数学和科学的经典著作开始传入西欧。希腊人的学术精华在被阿拉伯人保存了数个世纪以后，几乎完好无损地归还给了欧洲。
如果说从希腊语译成阿拉伯语，主要是在巴格达的智慧宫完成的话，那么从阿拉伯语到拉丁语的路径就比较复杂，包括西班牙的古城托莱多（穆斯林败于基督徒后该城涌入了大量欧洲学者），西西里岛（曾经是阿拉伯人的殖民地），还有巴格达和君士坦丁堡的外交官。
这里我们不得不提及以君士坦丁堡（今土耳其伊斯坦布尔）为首都的拜占庭帝国（395年-1453年），即从罗马帝国分裂出来的东罗马帝国，居民信奉东正教。这是欧洲历史最悠久的君主制国家，涵盖了整个阿拔斯王朝。核心区域位于欧洲东南部的巴尔干半岛，领土曾包括亚洲西部和非洲北部，极盛时还包括意大利、西班牙、北非和中东的部分地区。
拜占庭帝国的文化和宗教对于今日东欧各国仍有巨大影响，留存下来的古希腊和古罗马著作、史料和理性的哲学思想，引发了欧洲文艺复兴运动，并深远地影响了人类历史。举例来说，我们今天熟知的丛书和书评等形式，就是由9世纪的君士坦丁堡牧首（教皇）佛提乌斯亲自发明的。
佛提乌斯还派遣弟子西里尔兄弟去斯拉夫人中间传教，促使他们发明了西里尔字母，后者至今仍为俄语、乌克兰语等十多种语言使用，这是导致东西方分野的主要因素。因为地理位置的原因，拜占庭帝国又成为沟通东西方的桥梁。同时，这个庞然大物的存在和宗教上的分歧，也多少阻隔了欧洲人与阿拉伯人以及其他亚洲人之间的交往。
四、马可·波罗的旅行
在今天世界上存在着的数以千计的语言系统里，印度-阿拉伯数码或阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军事和体育等方面的交流将变得十分困难，有些甚至不可能进行。
阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非的，从埃及到摩洛哥，再跨过直布罗陀海峡抵达西班牙。据说一位叫莱奥纳多的意大利人曾留学西班牙，受教于穆斯林数学家。他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外欧洲的里程碑。这与同时期中国造纸术的传播路线几乎一致，两者都对稍后的意大利文艺复兴有积极的促进作用。
有意思的是，也是在13世纪，威尼斯商人马可·波罗实现了欧洲人对东方的探访，并有一部声名显赫且富有争议的游记传世。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡仍战乱纷争，马可·波罗一行也是绕着地中海经北非抵达中东。不过他是沿着逆时针方向，即与阿拉伯数字传播路线相反的方向进行。记住了这一点，也就不会混淆两者的旅行和传播路线。
马可·波罗的旅行图（图片来源：Wikimedia Commons/CC BY-SA 3.0）
依照一个相对完整的《马可·波罗游记》版本，1271年的一天，马可·波罗和他的父亲、叔父一起，乘船从故乡威尼斯出发。他们首先到达的是地中海东岸的以色列港市阿卡。虽说在英文维基百科中，这一航程只画出最后一段，而依照游记中的记叙，他们乘坐的船只曾经停靠北非的某个港口。
之后，波罗一家从陆路去了黑海东南隶属今天土耳其的特拉布宗，其时它是科穆宁王朝（1204-1461）的都城，再从那里转向东方，穿越伊朗高原和帕米尔高原进入中国。待到24年以后，他们从福建泉州出发，从海路返回，抵达波斯湾上岸后，仍经停特拉布宗。其时拜占廷帝国的局势已没有那么紧张，因此他们没再绕道中东和北非，而是渡过博斯普鲁斯博海峡，再穿越南欧，返回了故乡威尼斯。
有趣的是，虽说印度数码被误作阿拉伯数字，阿拉伯人却不买账。在全球范围最广泛使用的数字到了阿拉伯国家并不被老百姓待见，可以说街头难觅，那儿依旧是阿拉伯文的数字最为流行。这多少让初来乍到的异乡人感到陌生，对此阿拉伯人却不在意——看不懂是您的事儿，乖乖学着点吧！
可不，毕竟只有十个字符，当客人在阿拉伯国家生活一段时间后，会逐渐习惯阿拉伯文的数字。众所周知，每种文字里有对应于1234的数字词汇，如同中文里的“一二三四”，或英文里的“one、two、three、four”。阿拉伯人拥有一套自己的数字系统，这并不稀奇。只不过它们的使用率之高，即便汽车背后的车牌号码，也是阿拉伯文的数字更加显眼，成为独一无二的一道风景。
埃及汽车牌号，用两种数系书写（图片来源：公有领域）
最后值得一提的是，仅仅一个世纪以前，中国的状况与现在的阿拉伯国家并无二致，民间普遍使用数字“一二三四”或“壹贰叁肆”。阿拉伯数字虽早在13世纪前后就由回民传入内陆，17世纪又由欧洲传教士引入东部沿海，但真正被广泛使用却是在20世纪初，随着近代数学的兴起才获得推广。如今，阿拉伯数字已是我们生活中不可或缺的一部分。只是每每想起它与马可·波罗当年环绕地中海的旅行，仍是一桩意趣盎然的事情。
作者简介 蔡天新：浙江大学教授，诗人、随笔家，近作有《数学传奇》《数之书》《里约的诱惑：回忆拉丁美洲》《轻轻掐了她几下》等，主编《现代诗110首》（蓝、红、黄卷，三联书店）。 | 
发表于 2017-5-7 11:34
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