复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。
大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是 、 两个任意实数，外加虚数 ，把它们结合在一起，就完成了：
但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：
复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：
我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。
----约翰·伯努利
这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：
1 数域扩张的历史来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：
1.1 自然数到整数
数学刚开始也是一片空白：
0的出现就是数学的奇点：
根据皮亚诺定理[2]“爆炸”出了自然数域[3]：
很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：
添加负数之后，有一个问题就出现了：
我们知道 是对 的缩写，并且容易推出如下计算规则：
我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：
更一般的有：
并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：
1.2 整数到实数
很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：
来填满这些空隙（示意图）：
还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：
自然会有这么一个问题：
是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。
2 复数基础往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。
2.1 复数的运算规则
复数的运算规则并非凭空捏造的。形如：
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
套用通解会得到：
这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：
那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。
2.2 复数加法、减法的几何意义
为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量 有：
复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（ ），纵坐标是虚轴（ ），下图还把刚才的符号给标了出来：
加法的几何意义和向量也一样：
但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。
根据刚才的乘法规则，计算可得：
画出来发现，两者是正交的：
还可以从另外一个角度来理解这一点， 在复平面上是这样的：
好了，知道这些差不多了，开始正题。
3 复数域的扩张好了，轮到复数域了，复数定义为：
那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：
这个问题可以用欧拉公式：
画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：
更一般的，欧拉公式说明， 是单位圆上幅角为 的点：
但是，欧拉公式 凭什么长这个样子！
欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。
从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。
3.1.1 极限的方式
因为：
我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为 对应的是单位圆上幅角为1的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为1：
根据复数的乘法规则，可以看出：
可以证明当 时， 为单位圆上幅角为 的点，也就是得到了欧拉公式：
这里是理解欧拉公式的 关键 ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义 。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？
打个比方吧，在实数中“除以 ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：
欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。
3.1.2 泰勒公式的方式
实数域下，有这些泰勒公式：
这是三个复数相加，加出来就是：
随着 ，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为1 的点。对于更一般的 也是类似的螺旋：
3.1.3 导数的方式
实数域有：
直接套用：
假设 是时间，那么 是运动在复平面上的点的位移函数， 时位置为 ：
的运动速度，也就是导数 。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于 （根据乘法规则，乘以 表示旋转 ）：
并且不论 等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：
而速度的大小就是速度的模长 。之前说了，对于两个复数 ，它们的模长为 ，那么：
肯定等于1了， 在单位圆上运动，所以其模长也为1，所以速度的大小为：
速度大小为1意味着 时刻走了 长度的路程。而 在单位圆上运动，那么 时刻运动了 弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为 ：
4 总结
有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：
其中：
个人觉得 只是复数的初始形态，而 才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：
那么有：
几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：
到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。
这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的 、 、 、 、 ，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。
来源：马同学高等数学编辑：井上菌
发表于 2018-12-21 14:12
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