电路中 “电压” 的概念,是物理理论中具有冗余变量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流电是危险的,接触到便会置人于死地,几万伏特的高压线就更不用说了。但是,你可能也注意到立于高压线上的鸟儿,却似乎一点危险也没有感到,仍然能够自由自在地活蹦乱跳,那是什么原因呢?
这是因为用“绝对的电压值”来描述电力系统具有某种冗余性。因为电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。绝对电压V0并不是真正起作用的物理量,鸟儿两个脚的V1和V2之间的“电压差”V(V=V1-V2)才具有实在的物理效应。也就是说,用两个数值(V1、V2)来表示系统的危险性是多余的,只需要一个数值V就足够了。这也就是为什么在电路中(包括电子线路),“接地”的概念是很重要的原因。
用物理语言解释以上例子,可以说成是“电压具有平移规范对称性”。
重力场也具有与上述电力系统类似的平移规范对称性。就像父母不在乎孩子从五楼房间的床上跳到地板上,但绝对不允许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这儿的物理效应也是这样,不管“绝对高度”,只取决于高度的相对差距而已。
同样类似的“规范”概念可以搬到经典电磁场中,只不过比上述的“平移规范”具有更为复杂的形式。平移规范对称性是整体规范变换的实例,可以用电路接地,即定义一个整体的零点“地”来解决。电磁场规范变换则是局部时空场的变换,即随着时空点的不同而不同。
根据麦克斯韦电磁理论,电磁场可以用电场E和磁场H来描述,也可以用考虑相对论效应的4维电磁势A来更为方便地描述。但是,根据经典电磁理论,只有电场和磁场才与物理效应有关,电磁势与物理效应不是一一对应的,它具有一定冗余性,就像“绝对电压”很高的值并不能电死鸟儿一样,电磁势的值不完全等效于物理作用。经典电磁理论中,对于同样的电场和磁场,电磁势A不是唯一的,如果四维电磁势A作如下规范变换时,电场E和磁场H保持不变:
A → A − ∂ θ(x)(1)
其中θ是一个任意函数,这说明对于描述同样的电磁场,四维矢量势A不唯一。上文的规范变换一词,便反映了电磁系统用4维矢量势来表述电磁场时的冗余性。
外尔认为可以“利用”电磁势的这个冗余性。他的做法是:当四维电磁势A作如(1)的规范变换时,给广义相对论的时空黎曼度规乘上一个尺度(规范)因子λ(x) = eθ(x) :
gij→ eθ(x) gij(2)
如此得来的“新度规”,在形式上可以包容电磁场,数学上看起来非常美妙,闪耀着新思想的火花。然而,当外尔兴致勃勃地将他的文章寄给爱因斯坦后,得到的反馈却不咋地。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”,一方面又从物理的角度,强烈批评了这篇文章脱离了物理的真实性。
因为从物理上讲,外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x),即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位,也就是有任意不同标度的钟与尺,好比我在家里的卧室里测量结果是“高2米、年龄20岁”,但到了厨房就被测量成了“高4米、年龄10岁”,这在物理上是不可能被接受的。
因此,外尔企图统一电磁和引力的模型失败了,尽管它具有数学之美,却失去了物理之真。
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电磁场——第一个规范场