例如对于罗伦兹方程而言,当u从u=1(次临界分歧点)增加到u=470/19的过程中,方程的几个解会同时多次发生霍普夫分歧产生极限环,随后极限环又消失。这个三维系统的周期性反反复复,于是就产生了第二部分中的奇特景象。关于具体的理论分析,文献[3]给出了非常精彩而详细的证明(文献[3]是小编见过的最全面的一本偏微分方程专著,前面五章都需要极强的数学基础。若只想了解罗伦兹奇异吸引子的产生原因,可以直接跳至第六章)。文献[9]是相对早期的推导,但不及文献[3]深刻。
值得注意的是,罗伦兹的方程是从流体力学中的纳维・斯托克斯方程(Navier Stokes Equation)的一个变种简化出来的。原方程如下所示:
看似复杂的方程实际上就是动量、能量和质量三个守恒定律
罗伦兹方程中的x,y,z分量,其实是把上面方程化成极坐标以后,根据大气环流周期性而确定的一种振幅[3]。如此简单的罗伦兹方程已经展现出了内在的复杂性,而原来纳维・斯托克斯方程的复杂性则更是可见一斑。这就是为什么纳维・斯托克斯方程在工科和数学领域都如此受关注的原因。
化混沌为清流
本文介绍的罗伦兹方程只是混沌理论的一个简单例子。很多很多其他例子,例如chua电路[11]、SEIR传染病模型(例如麻疹)[12]和破坏熵增原理的Belousov–Zhabotinskii化学反应[13]等等,在数学模型上和罗伦兹系统非常相似,都是三元非线性方程,这些内容会在以后继续介绍。另外,如果方程只是二元的,那么著名的庞加莱-本迪克松定理(Poincare-Bendixson Theorem)保证此时不会有混沌现象的发生。这就是为什么三体系统会产生混沌,但二元系统则不会。
通过哈密顿动力学得到的三体问题的方程描述
混沌理论是研究复杂性的学科,这名字看起来似乎就容易让人敬而远之。但通过本文的介绍,希望读者们都对混沌理论的核心思想有了大概的认识。一言以蔽之,混沌理论的基础是分歧理论,而分歧理论的研究中心是方程解的稳定性是如何发生改变的,其数学本质是方程参数变化诱使矩阵特征值的符号发生变化。
科学发展到今天,一方面新的分支在不断出现,另一方面不同分支之间交流之间相互交融,这一点像极了罗伦兹混沌的产生过程——霍普夫分歧不断出现与交互赋予了它蝴蝶般的神秘色彩。不过万物皆有根,就好比混沌理论的“根”栖息于矩阵特征值中一样,如果我们能找到不同分支的共同“根”,这将非常有助于对现代科学的全面理解。
作为结尾,送大家诗一首:
混沌寻根
雨蝶挥翅踏春去,三月扶摇围城来。
青草翠竹君莫笑,等闲山岭千里开。
参数反复初心乱,周期无常混沌灾。
古木参天枝虽密,犹有独根土中埋。
参考文献:
[1] EN. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, Journal of the atmospheric sciences, 1963.
[3] 马天,偏微分方程理论与方法,科学出版社,2011。
[4] Tian Ma and Shouhong Wang, Phase Transition Dynamics, Springer, 2014.
[5] V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer GTM.
[6] Martin Golubitsky et. al, Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Springer, 2000.
[7] Hansjörg Kielhöfer, Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to Partial Differential Equations, Springer, 2012.
[9] John Guckenheimer, A Strange, Strange Attractor, 1972.
[11] Takashi Matsumoto, A Chaotic Attractor from Chua's Circuit, 1984.
[12] B. M. Bolker and B. T. Grenfell, Chaos and Biological Complexity in Measles Dynamics, JSTOR, 1992.
[13] A. Wolf et. al, Determining Lyapunov exponents from a time series, 1981.