文艺复兴时期,神秘的几何立方体常常萦绕在人们心头,向人们展现了第三维最纯粹的精髓。诺姆·安德鲁斯(Noam Andrews)研究了多面体如何从数学领域进入艺术领域,又如何从抽象的思维凝结成看得见摸得着的实物。
阿基米德神色迟疑,凝视着下边立着的一个小斜方截半立方体,似乎这个奇怪的物体从未在自然界中出现过。他的身体通过多块印板以明暗对照法呈现出来,呈现出一种动态的感觉,又在半空中停下,陷入沉思。
在这幅复刻拉斐尔的作品中,乌戈·达·卡尔皮(Ugo da Carpi,1480-1532年)采用对比手法表现人物和几何体,令人赞叹。
小斜方截半立方体象征着理性、有序、非无限,似乎不是这个世界之物。它既代表自身,又代表自身的所有内涵,卡普里便用焦点内外的明暗对比来呈现,仿佛它超脱于真实世界之外。
阿基米德的衣服皱巴巴、乱糟糟,沉浸在这个物件蕴含的深奥知识之中。他左手握着一块白板,犹豫要不要彻底正过身来,好好端详这个多面体。或许,阿基米德觉得,要是真那么做了,它以及它所代表的一切都可能从他的想象中消失。
多面体在西方文化史中是一个神秘的存在,但却又随处可见。它是基本元素的象征,近代早期时主要分为两大类:柏拉图立体,又叫正多面体(规则体,corpor regulata),以及阿基米德立体,又叫半正多面体(不规则体,corpor irregulata),后者可以通过将前者截顶,削角或修裁得出。
世界上只存在五个完全规则和对称的正多面体,分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,一个不多,一个也不少。在16世纪初的艺术家、数学家和哲学家看来,它们对称、规则、完美,散发着神性的诱人气息,蕴含了从物质基本组成到人体比例再到宇宙结构的一切真理。
透视几何的成熟,使人们更加迫切渴望能够逼真地描绘立方体。根据乔尔乔·瓦萨里(Giorgio Vasari,1511–1574)等人的理论,只有多年严格的艺术训练,才能从事绘画或设计工作,才能充分把“脑海中的想法和概念”体现在纸面上。类似地,要想成功表现出三维形式的柏拉图多面体,就一定要大胆揭开横亘在外在世界与本质世界之间的那层面纱,带着这些可以具象化的杰作凯旋。
柏拉图立体(正六面体和正二十面体)的变形,摘自文策尔·雅姆尼策(Wenzel Jamnitzer)《透视法》(Perspectiva Corporum Regularium,1568年)。© wikimedia
星形十二面体(大十二面体),摘自文策尔·雅姆尼策《透视法》(1568年)。© wikimedia
正在绘制透视图的文策尔·雅姆尼策。© wikimedia
虽然通常来说,文艺复兴在艺术史和建筑史上成就非凡,闪烁着天才的火花,但在科学史和数学史中,文艺复兴将这个世界中原本隐匿的概念、理念冲突推到了前台。在这一时期,人们在黑暗传统中挣扎,才刚刚开始探索和测量新大陆,交流怪异的外来存在,疲于验证最新印刷典籍中的数据集,纠正翻译错误。
早期绘制立方体的尝试打破了先前的历史旧识和学科领域。16世纪最开始的几十年里,一种披着基督教和人文主义外衣的柏拉图主义以其前所未有的复杂性和矛盾性与透视法迎头相撞,由此产生的力量把立方体从欧几里德划时代的几何专著《几何原本》(Elements)中剥离出来,加以重构,成为第三维纯粹而朴素的基元。
中世纪最受欢迎一版《几何原本》出自数学家诺瓦拉的坎帕努斯(Campanus of Novara,约1220-1296年),他重新编写了《几何原本》的早期手稿,其中一些手稿在12世纪时从阿拉伯文翻译成了拉丁文。
1250年左右,坎帕努斯完成了《几何原本》的重写和编撰,并于1482年由德意志人埃尔哈特·罗多德(Erhard Ratdolt ,约1442–1528年)在威尼斯出版,该书首次在欧几里德的数学语言旁配有解释性图表,开创印刷数学书籍先河,因而闻名于世。
《建筑十书》中达·芬奇绘制的维特鲁威的人体比例,这幅由钢笔和墨水绘制的手稿,描绘了一个男人在同一位置上的“十”字型和“火”字型的姿态,并同时被分别嵌入到一个矩形和一个圆形当中。1490年左右。© ResearchGate
维特鲁威(Vitruvius)的《建筑十书》(De architectura)在15世纪被重新发现时也是一份没有插图的手稿,出版商们配上插图后大卖。同他们一样,罗多德肯定也清楚地知道给经典作品加上插图之后的巨大商机。不过,《几何原本》与《建筑十书》又有很大不同,后者对建筑的细致描述本就给后续艺术加工留下了足够的空间,而要想精确构筑《几何原本》中提到的图形,就必需完全正确地理解其中的所有数学术语和相关说明。这个过程无疑相当痛苦。
欧几里德《几何原本》首页,埃尔哈特·罗多德版本(1482)的副本,现藏于多伦多大学托马斯·费希尔图书馆。©
www.maa.org
罗多德所设想的立方体绘图类似于任何近代数学教科书中都能看到那种图解,但操作中却在三维上面犯了难。立方体具象化主要遇到了三大阻碍,首先,欧几里德的终版著作晦涩难懂,其次,木版印刷的机械制作基于的是一种新兴技术,最后,三维几何将如何在二维纸张上呈现。
欧几里德《几何原本》,埃尔哈特·罗多德版本(1482),该特别副本来自慕尼黑,1484年由罗多德捐赠给奥格斯堡的加尔默尔修道会,藏于巴伐利亚州立图书馆。该页内容试图描述三维图形。©
www.loc.gov
此前也曾有人尝试过用透视法来描绘多面体,最著名的是保罗·乌切洛(Paolo Uccello,约1397-1475年),他在威尼斯圣马可大教堂的大理石地板上创作了(小)星形十二面体。
位于威尼斯圣马可大教堂的(小)星形十二面体,保罗·乌切洛。© Pinterest
不过,第一本讲述利用透视原理创作多面体的出版作品是卢卡·帕乔利(Luca Pacioli)的《神圣比例》(De divina proportione,1509)。虽然这本书中的图画还有很大进步空间,但它的出版的的确确激发了人们对如何将几何图形可视化的兴趣。
《神圣比例》中的八面体。© onb.digital
同时,《神圣比例》也反映了应用透视法绘制多面体时面临的困难。埃尔哈特·罗多德《几何原本》的前两个版本因为列奥纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)等人的生动彩色插画而夺人眼球,但木版印刷出来的多面体相当粗糙,有很多杂乱无章的实线和不知所谓的阴影。
以其中具有代表性的一个图案为例(如上图),虚线代表了正八面体最左面上的侧光,它和正八面体两块深色面上不均匀分布的阴影差异明显,深色阴影没有达到艺术家预期的三维效果。同样,在“Octaedron elevatum solidum(直译为‘凸起的八面体’,如下图)”中,(为了描绘出投影)实线表达的投影与表达侧光的虚线出现在同一个面上。
© onb.digital
创作者采用了有限的纹理(虚线,实线和空白)绘制了这些早期图案,显然还不够成熟,他试图赋予每个立方体生命,但却没能够掌握阴影投射在物体上的技巧。在几何学和几何图形之间,图像描述的不可靠性已经暴露出它们对数学知识传播的普遍影响。
列奥纳多·达·芬奇或其团队为卢卡·帕乔利著作《神圣比例》所作插图,截面二十面体(ycocedron abscisus vacuus)和七十二边球体(eptvaginta dvarvm basivm vacvvm),完稿于米兰,约1496-1498年。© archive.org
意大利文艺复兴时期,透视艺术占据重要地位,人们越来越渴望描绘真实世界。虽然要读懂欧几里德关于三维构造的解释需要破解卷帙浩繁的极具专业性的拉丁文,但在视觉这一理解几何知识的全新领域中,艺术家和几何学家可以大有作为。
随着《神圣比例》的流行,柏拉图立体的实物模型在文艺复兴时期的书房中随处可见,特别是应用于几何透视学教学中。虽然那个时期的实物模型很少留存下来,但在有关文艺复兴时期学者和艺术家的文字记载和各种视觉作品中,偶尔能看到这些模型,因此也就能让今人一探究竟。
维托雷·卡尔帕乔(Vittore Carpaccio,1460–1520年)一张学者速写中就出现了几个挂在工作区上方绳子上的多面体,有可能是星盘、天体仪,或者就是柏拉图立体的模型。学者左手拿着一本书,右手拿着一个圆规,或许正在透过开着的窗户观察他正在测量的天象。
维托雷·卡尔帕乔,《一位在书房里进行几何测量的哲学家》,1502年。© wikimedia
勒内·笛卡尔的同事、来自德国乌尔姆的数学家约翰内斯·福尔哈贝(Johannes Faulhaber,1580–1635年),在其《新几何论》(Newe geometrische vnd perspektiuische Inuentiones,1610年)中也出现了类似的图案,画中清晰地显示出书房门上方用钩子悬挂着几个柏拉图立方体,下方一位男子正在绘制一个立方体的透视图。福尔哈贝将这些立方体和直尺、星盘和圆规一样视作测量工具必不可少的一部分,以丢勒画风将它们定格,用阴影突出了表面;桌上的参考书打开着,其中一页画着一个透视四面体,另一页是一个普通的建筑图形。约翰内斯·福尔哈贝,《新几何论》,1610年,几个柏拉图立方体悬挂在书房上方。© digitalcollections.nypl.org
在绘画中出现参考书并不罕见,但乔万尼·雅各布·卡拉格里奥(Giovanni Jacopo Caraglio,约1500/1505-1565年)复刻的帕尔米贾尼诺(Parmigianino,1503–1540年)的画作《第欧根尼》(Diogenes)中加入了更深层的学术质疑——这种做法可能会引发讨论。