小编之前发表过一篇题为《大数据时代，参数怎么降维？》[1]的文章，看到了很多有趣的评论，其中一位读者提出了一个问题——“为什么微观上的不确定构成了宏观上的确定性？”这是一个很耐人寻味的问题，它使我想到《周易》中的一句话：
易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦（八卦生绯闻）。
我国哲学认为，八卦生六十四爻，这六十四卦爻里编码了世界的全部信息。从现代观点看来，《周易》的这一思想颇为超前，可看做计算机二进制系统的鼻祖。《周易》的美中不足之处在于，用简单普适的观点（也就是小编推崇的代数思想）去解释整个世界，出发点固然很好，但这一哲学体系只假设了初始条件的随机性（宇宙始于混沌） ，却忽视了微观世界的随机性。不过也难怪，毕竟爱因斯坦也犯过这样的错误。“八卦生绯闻”实际上是一个不错的替换，因为“绯闻”本身就带有不确定性。
既然微观世界是不确定的，那为什么我们生活的宏观世界是确定的呢？也许没人能真正回答这个问题。但小编将从不确定性的两个层次入手，从三个不同角度来进行解释，大致总结如下：
也许看了这一总结后多数读者还是一头雾水，没有关系，且听小编娓娓道来。小编再次强调一下，经典物理和量子物理的哲学观有很大不同，要真正理解这个世界必须改变许多传统观念。
第一部分 经典物理的层次
一、统计的角度
或许大家最熟悉的随机现象就是布朗运动（Brownian Motion）了。例如著名的“花粉泡热水”实验——由于花粉是旱鸭子，把花粉加入热水（在冷水中也能观察到布朗运动，但是要慢一些）中它会对水中环境感到好奇，便会无规则地在水中四处探索游荡。单个花粉的运动可以用郎之万方程（Langevin Equation）来描述：
因此郎之万方程其实只是牛顿第二定律的一个特例，特殊之处无非在于随机项的引入，因而以上方程变成了随机微分方程。随机微分方程的强大之处在于，它能准确地描述并预测单个物理事件的变化规律，这也是为什么在研究单支股票的K线图时，人们往往使用随机微分方程作为工具。
布朗运动
光盯着一支股票看是不够的，我们还要掌握整个股市的变化情况，因为这会影响到外汇及大宗商品（石油、钢铁、黄金等）的走向。同样的道理，如果我们观察所有花粉的运动情况，我们会发现花粉最终会均匀地分布在水中。毕竟新鲜感一旦被时间冲淡，大家就都想安居下来了，这个原理同样适用于微观世界。
但是为什么随机的出发点会导致确定性的结果呢？统计学家会很兴奋地告诉你：“这是大数定律（Law of Large Numbers）的结果！”所谓大数定律，是指当独立随机变量（可以理解为花粉）的个数很大时，它们的“平均表现”将是一个常数！用数学语言表述（不熟悉的读者可以跳过）：
这里不关心是强收敛还是弱收敛，只关心定理的形式
所以观察大量花粉的平均表现时，得到的结果都是一样的——稳定分布。随机总和未知相依相伴，在做预测时往往使人感到恐惧，能扔掉就扔掉。这就是为什么在研究宏观经济或金融形势时，人们往往使用确定性的工具（如方程和图论）而不喜欢使用随机模型。
值得一提的是，统计学中还有另一个著名的结论，叫做中心极限定理（Central Limit Theorm），初学者常常把它和大数定律混淆。事实上中心极限定理比大数定律要求更严格（要求方差存在），但结论更美妙。用中心极限定理可以解释为什么布朗运动会和正态分布联系起来，甚至提供了一种通过随机微分方程求解偏微分方程的途径，不过这已经超出了本文的范围，有兴趣的读者可以搜索“Feynman-Kac公式”或文献[1]第八和九章。
二、方程的角度（上）
事实上统计角度只解释了随机事件为何能产生确定性事件。需要注意的是，我们这个世界是在不断变化的（依赖于时间），而大数定律只是一个静态（和时间无关）的数学结论！要想加上这个动态过程，必须使用微分方程作为工具。
当花粉数量很大时，我们可以用u(x,t)表示花粉在位置x和时间t处的密度（单位数量），那么花粉的宏观运动可以描述为：
也就几个数学符号而已，似乎比一元二次方程还简单，那解它还不容易！但观察敏锐的读者可能会注意到，花粉的运动状态应该和初始状态有关——如果一开始花粉就分布均匀，那根本就不需要继续运动；但如果直接把花粉撒到水面上，花粉就会开始它们的探索行动。此外，运动状态还和盛水容器的大小、形状、材料有关——如果直接把花粉撒到海里，如果要达到均匀分布，“爱你一万年”都远远不够。在数学上，初始状态和容器的形态分别被称作初值条件和边值条件，它们能很大程度上决定一个方程解的表现。上面的方程被称作扩散方程（Diffusion Equation）。
这个方程的解具体是什么样的呢？在二维的情况下，小编写过一个程序来模拟两种类似粒子的自由扩散，我们可以把这两个粒子看作花粉，分别满足上面所说的扩散方程（MT是神经细胞中的微管结构，和细胞分裂、化学信号运输有关；NF可以绑在MT上，其表现和某些疾病相关）。给初始条件一个随机扰动，并假设边值条件呈周期性：
下面变化的数字表示两种粒子的密度变化
可见两种粒子最终都趋向于稳定分布。从随机扰动出发，我们得到了均匀分布。这是确定性的！
有的读者可能还并不满足：“世界何其之大，一方水土一方人，这个世界显然不是均匀分布的。但为什么每个地方的自然景观景色、文化习俗也都是稳定存在的呢？”显然要回答这个问题，纯粹的扩散方程就不管用了，因为这是由扩散方程中的非线性项决定的。如果令u(x,t)和v(x,t)分别为两个例子的密度，我们把扩散方程加两项：
同样假设随机的初值条件和周期性边界条件，那么两种粒子的分布情况将变成：
出现了一个稳定的“波峰”（注意我们假设边界呈周期性，因此出现的“波峰”只有一个）。同样产生于随机，得到的结果仍然是确定性的，真是出淤泥而不染！说不定用这个模型可以解释珠穆朗玛峰的形成过程。
值得一提的是，小编所取的非线性项只是一个特例（主要是积分项，用以表示施加在粒子上的非局部作用力）。取不同的非线性项可以得到全然不同的结果，举几个著名的“小”例子：
也许对读者来说这些例子并不“小”，但在复杂且丰富多变的非线性型面前，再看似遥不可及的个例也退化成了琐碎的特例。因为困难重重且已有成果（尤其是数学上的成果）太少，非线性科学这个领域还只是处于襁褓期。今后小编会花很多笔墨来介绍非线性科学中的不同成果。
现在大家先稍作休息，我们即将进入第二部分。这个话题和第一部分全然不同。
第二部分 量子物理的层次
一、哥本哈根学派眼中的量子力学[2-3]
很多科普性质的文章中都提到：“爱因斯坦不承认量子力学。”这种说法并不准确，因为爱因斯坦其实是量子力学的奠基人之一！他获得诺贝尔奖是因为他在光电效应中的贡献，而非相对论。准确的说法是，爱因斯坦不承认哥本哈根学派的量子力学。这边是现代物理史中著名的玻尔-爱因斯坦论战（Bohr-Einstein Debate）。下面是对阵双方的大致情况及在量子力学领域（1930年之前）的主要贡献：
这幅图包含了的量子力学的大部分奠基人
看完这张图，读者是不是有一种君临天下的感觉？
哥本哈根学派对量子力学的解释之所以显得高深，是因为它的出发点也是随机，但这种随机和第一部分中的布朗运动不同。在第一部分中，花粉的运动轨迹是随机的，没法预测的，但花粉就是百分之百就花粉。但哥本哈根学派直接把物质本身都看做随机的[4]，按照这一观点，我们看到的“花粉”只有99.99%是真正意义上的花粉，还有0.01%是别的东西。我们不会意识到花粉的状态变化，因为状态每一刻都在变化，我们的大脑反应不过来，毕竟人眼只能识别1/24秒以上的画面变化。
视觉暂留的典型例子
“花粉肯定就是花粉嘛，怎么还有别的可能性？”爱因斯坦等人无法接受这一点。薛定谔提出了“薛定谔的猫”的情景，以讽刺哥本哈根学派的“荒谬”观点。小编用一首诗来描述这一情景：
破鬼门之奇猫
白猫踌躇入黑匣，内外隔绝冰火天。
黑匣渺渺二重态，生死茫茫一线间。
玻尔欲求意窥看，薛翁摇首破蛊言。
决谋断略本易事，既生又死何缠绵？
怎么有猫能够跨越生死呢？幸好薛定谔找的是猫而不是猴子，否则当他看过《西游记》里孙悟空各种违背物理理论的表演之后，必当后悔不已。但到底该如何解释“薛定谔猫”这一情景，至今还并无定论（现已有平行宇宙、坍塌理论等五花八门的解释）[5]。接下来小编将继续从方程的角度来指出其中的问题。
二、方程的角度（下）
薛定谔方程并没有传说中那么神秘。它的出发点是物质波假设（所有物质都是波），然后通过平面波（需要用复平面来描述）的数学表达式，倒过来推导方程。对于一维情况，“推导”过程如下所示（不熟悉方程的读者不必拘泥于它的具体表达式，看这张图最后一行即可）：
所以薛定谔方程本质上就是平面波的能量表达式。关于这个方程，有三点需要特别注意：1、薛定谔方程的推导过程在数学上并不严格，它之所以能够被承认，是因为在一些情况下，它的解和实验数据相吻合；2、教科书在解释薛定谔方程时，把“ψ(x,t)”绝对值的平方解释为粒子的概率分布。这个解释最初来源于马克思·波恩，但薛定谔方程不是通过统计的角度推导出来的。3、薛定谔方程只能近似描述某些粒子，它没有考虑到粒子自旋和相对论效应，狄拉克方程（描述自旋为二分之一的粒子）和克莱因-戈登方程（描述）更符合实际[6-7]。
薛定谔方程的解到底是什么样的呢？我们从最简单的氢原子的电子开始，并假设总能量守恒（为常数）。氢原子只有一个电子，但是是三维方程，我们中的“ψ(r)”（r是电子和原子核的距离）描述这个电子的运动情况，而势能项就是来自于原子核的电势能。解得（解法可参考[8]）：
这是个指数分布！有概率论基础的读者一眼就能看出，电子出现的概率随着与原子核距离的增加，下降得非常快！这就解释了为什么虽然出现的位置是随机的，电子却总会像幼儿园小朋友一样，不会离原子核这位老妈太远。同样的道理，我们可以看到“薛定谔猫”中的隐含问题——生与死之间的“距离”实在太远，这两个状态间是很难任意转换的。
也许有人会质疑：“就算是指数分布，还是有可能会跑到无穷远去的呀。但宏观世界中怎么可能观察到某个物质跑到无穷远的情况！”这又是为什么呢？有三个原因可以解释这一点：
薛定谔方程没考虑电子自旋和相对论效应，所以这个解只是一个近似；
现实中单个电子感受到的势能极其复杂，上面的假设只是一个高度简化；
薛定谔方程不适用于宏观情形，因为宏观物质的波动性可以忽略不计。
以上三点既形成了微观世界和宏观世界之间的鸿沟，又表明了物理思维和数学思维的区别——数学追求绝对的完美，物理则更重视与生活的融合。所以大家一定要辩证地看待薛定谔方程，同时辩证看待物理学中所有其他方程。因为这些方程可能都会有局限性，只是当这些方程能符合实验结果时，大家就忽略了这种局限性。牛顿定律就是最好的例子。
值得一提的是，数学系出身的科研工作者往往都不太喜欢薛定谔方程。小编身在数学系，曾经请教过不少微分方程领域的专家：“薛定谔方程应该属于抛物、双曲和椭圆（数学中把偏微分方程分为这三类，每一类都有不同的处理方式）中的哪一类？”多数专家都支支吾吾答不上来，只有少数人明确表示三者都不属于。或许今后生物学进入小分子甚至原子时代时（现在是大分子和细胞生物学的时代），以薛定谔方程为代表的量子波方程会成为数学领域炙手可热的新分支，毕竟这一类方程值得研究的问题太多了。
第三部分 小结
我们再来回顾一下这篇文章中所涉及到的不同角度和不同层次：
当然，关于“世界确定性”的辩论也许会永远持续下去，毕竟这是一个哲学问题。小编在这篇文章中所做的，就是把这个抽象的哲学问题转化为了具体的数学和物理问题。从这个角度看来，这个问题似乎就不那么抽象了，尽管其中还是有很多未解之谜等待我们去解决。
下面这首诗总结了微观随机性和宏观确定性之间的关系。或许一切都没有想象中那么难以捉摸：
随机与现实
苍穹黯淡本随意，日落夜宁明月刻佳期。
万物俯首原无居，冬去春来清风汇生机。
微迹飘摇似难觅，量子力学疑无期。
蝼蚁安得越太行，驭鹏直上九万里。
参考文献：
[1] B Øksendal, Stochastic differential equations.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Copenhagen_interpretation.
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Bohr%E2%80%93Einstein_debates.
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Complementarity_(physics).
[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger's_cat.
[6] S. Esposito, Searching for an equation: Dirac, Majorana and the others.
[7] 马天，从数学观点看物理世界：基本粒子与统一场理论。
[8] D. Griffith, Introduction to quantum mechanics.
发表于 2018-2-24 22:33
收藏
分享