选自《从一到无穷大》
乔治·伽莫夫
张卜天译
三、弯曲空间和重力之谜
看完前面这几十页关于四维坐标系的讨论，读者们必定感到头晕脑胀，对此我深表歉意。现在，我邀请读者到弯曲空间中散个步。人人都知道曲线和曲面是什么，但“弯曲空间”又是什么意思呢？这种现象之所以难以想象，与其说在于这个概念的不同寻常，不如说在于我们能从外部观察曲线和曲面，却只能从内部来观察三维空间的曲率，因为我们本身就在三维空间之中。为了理解一个三维的人如何来构想他所处的空间的曲率，我们先来考虑生活在表面上的假想的二维影子生物的状况。图39a和39b中有一些影子科学家，他们在“平面世界”和“曲面（球面）世界”上研究自己二维空间的几何学。可供研究的最简单的几何图形当然是三角形，即由连接三个几何点的三条直线所组成的图形。大家在中学几何学里都学过，平面上画的任何平面三角形的三个内角之和都是180°。但很容易看到，上述定理并不适用于在球面上画的三角形。的确，由两条经线和一条纬线所形成的球面三角形就有两个直角的底角，顶角的值则可介于0°与360°之间。以图39b中那两个影子科学家所研究的三角形为例，三个角之和等于210°。于是我们看到，通过测量其二维世界中的几何图形，影子科学家们无须从外面观察便可发现那个世界的曲率。
将上述观察运用于又多了一维的世界，我们自然能够得出结论说，生活在三维空间中的人类科学家无须跃入第四维，只要测量连接其空间中三点的三条直线之间的夹角便可确定那个空间的曲率。如果三个角之和等于180°，那么空间就是平坦的，否则就是弯曲的。
不过在作进一步讨论之前，我们先要弄清楚“直线”一词是什么意思。看到图39a和图39b所示的两个三角形，读者们也许会说，平面三角形（图39a）的各边是真正的直线，而球面上的各边（图39b）则是球面上大圆[1]的弧，其实是弯曲的。
图39 “平面世界”和“曲面世界”上的二维科学家们正在检查关于三角形内角和的欧几里得定理。
这种基于我们常识几何学观念的说法会使影子科学家们根本不可能发展出他们二维空间的几何学。直线概念需要一种更一般的数学定义，使它不仅能在欧几里得几何中获得一席之地，还能把表面和空间中更复杂的线包括进来。要想作这样一种推广，可以把直线定义为某个表面或空间中描绘两点之间最短距离的线。在平面几何中，上述定义当然符合我们常见的直线概念；而在更复杂的曲面的情况下，它会引出一族定义明确的线，在这里所起的作用就如同普通“直线”在欧几里得几何中所起的作用。为了避免误解，我们常常把描绘曲面上最短距离的线称为测地线，因为这种观念最早是在测地学——即测量地球表面的科学——中被引入的。事实上，当我们谈起纽约与旧金山的直线距离时，我们是指“笔直地”沿着地球表面的曲线走，而不是像一台巨型钻机那样笔直地钻透地球。
这种把“广义直线”或“测地线”看成两点之间最短距离的定义暗示，作这种线有一种简单的物理方法，那就是在两点之间拉紧一根绳子。如果在平面上做，你会得到一条普通的直线；如果在球面上做，你会发现这根绳子沿着一个大圆的弧张紧，它对应于球面上的测地线。
通过类似的办法，我们也可以查明我们所身处的三维空间是平坦的还是弯曲的。我们只需在空间中的三个点之间拉紧绳子，看看由此形成的三个角之和是否等于180°。不过，在设计这样一个实验时必须记住两点：一是实验必须在非常大的尺度上进行，因为曲面或弯曲空间的一个微小部分对我们来说可能显得很平坦，我们显然不能通过在后院里测量出来的结果来确定地球表面的曲率；二是此表面或空间也许在某些区域是平坦的，而在另一些区域是弯曲的，因此可能需要作完整的测量。
爱因斯坦在创立关于弯曲空间的广义理论时包含了一个了不起的想法，那就是假定物理空间在巨大的质量附近会变弯曲；质量越大，曲率就越大。为了用实验来验证这个假说，我们可以环绕一座大山钉三个木桩，在木桩之间拉紧绳子（图40a），然后测量绳子在三个木桩处形成的夹角。即使选择了最大的山，哪怕是喜马拉雅山，你也会发现，考虑到可能的测量误差，三个角之和将正好等于180°。但这个结果并不必然意味着爱因斯坦是错的，并不表明大质量的存在不会使其周围的空间发生弯曲，因为即使是喜马拉雅山，可能也不会使周围的空间弯曲到能用我们最精密的测量仪器记录下来。大家还记得伽利略试图用遮光灯测量光速时的惨败吧！（图31）
图40
因此不要灰心，找个更大的质量再试一次，比如太阳。
如果你在地球上某个点拴根绳子扯到一颗恒星上去，再从这颗恒星扯到另一颗恒星上，然后再回到地球上原来那个点，并让太阳围在绳子组成的三角形内。你瞧，这下要成功了！你会看到，这三个角之和将与180°有显著不同。如果你没有足够长的绳子来作这项实验，可以把绳子换成一束光线，因为光学告诉我们，光总是走所有可能路线中最短的。
图40b是这项测量光线夹角的实验的示意图。位于太阳两侧的恒星SI和SII发出的光线会聚到经纬仪中，这样便测出了它们的夹角。然后等太阳离开时再重复进行实验，并把两个角度加以比较。如果有所不同，就证明太阳的质量改变了其周围空间的曲率，使光线偏离了原路。这个实验最初是爱因斯坦为了检验自己的理论而提出来的。将它与图41所示的二维类比相比较，读者们可以获得更好的理解。
图41
在通常条件下做爱因斯坦的这项实验显然有一个实际障碍：耀眼的太阳光使我们看不到它周围的星星。不过在日全食期间，星星在白天也是清晰可见的。1919 年，一支英国天文远征队前往西非的普林西比群岛进行实际检验，那里是当年日全食的最佳观测地点。结果发现，两颗恒星的角距离在有太阳和没有太阳介于其间的情况下相差1.61"±0.30"。而爱因斯坦的理论预言这个值为1.75"。后来所做的各种远征也得到了类似的观测结果。
当然，1.5角秒并不大，但已足以证明，太阳的质量的确迫使它周围的空间发生了弯曲。
如果能用其他某个大得多的星体来代替太阳，关于三角形内角和的欧几里得定理就会出现若干分甚至若干度的误差。
一个内部的观察者需要一定的时间和丰富的想象力，才能习惯于弯曲三维空间的观念，不过一旦被正确理解，它就会和我们所熟知的其他任何古典几何学概念一样清晰明确。
我们还需要再前进一步，才能完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个基本问题的关系。我们不要忘了，刚才一直在讨论的三维空间只是充当着所有物理现象背景的四维时空世界的一部分。因此，空间的弯曲本身仅仅反映了更一般的四维时空世界的弯曲，而表示这个世界中光线运动和物体运动的四维世界线必须被看成超空间中的曲线。
从这种观点来考察问题，爱因斯坦得出了一个著名结论：重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应。事实上，太阳施加某个力直接作用于行星，使之围绕太阳沿圆形轨道运动，这种旧的说法现在可以被视为不当而加以抛弃。更准确的说法则是：太阳的质量使它周围的时空世界发生了弯曲，图30中行星的世界线之所以是那个样子，仅仅因为它们是穿过弯曲空间的测地线。
这样一来，作为一种独立的力的重力概念就从我们的思想中彻底消失了。取而代之的则是纯粹的空间几何学概念，在这个空间中，所有物体都按照其他大质量所造成的弯曲沿着“最直的线”或测地线运动。
[1]大圆是一个穿过球心的平面切割球面所得到的圆。赤道和子午线均为这样的大圆。