探索纯数学的新奇方式
探索纯数学的新奇方式Original 佐佑
原理 2021-12-03 20:30
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一个多世纪前，传奇的印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以其无与伦比的数学天赋震惊了整个数学界，他有着人类史上最伟大的数学直觉，能够看到其他人无法看到的数学模式。在他的梦境中，常常出现这些具有抽象之美的数学模式。
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自上世纪60年代以来，数学家开始用计算机生成的数据来寻找数学模式和公式，这种被称为实验数学的研究方法已经为我们带来了许多可喜的成果。比如位列千禧年大奖难题之一的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，就是其中最著名的一个例子。
其实，寻找模式在数学领域正变得越来越重要。现在，计算机能生产的数据比任何数学家一生所能研究的都要多；再加上存在一些数学家们想要研究，但又由于太过于高深莫测而导致推演无法直接进行的数学对象，使得数学的发展受到了制约。
许多研究人员寄希望于人工智能，希望它能以全新的方式增强数学家的直觉判断。近年来，人工智能技术已经在涉及人类深层直觉的领域取得了突破，甚至在科学领域中的一些最难问题上也作出了进展。然而，它们在数学领域却收效甚微，想要从计算机生成的数据中识别并发现模式，仍主要需依赖于数学家的洞察力。
现在，开发了包括AlphaGo等一系列人工智能系统的DeepMind团队与几位数学家一起，将人工智能应用在了两个数学领域——拓扑学和表示论上。在一篇新发表于《自然》杂志上的论文中，研究人员描述了他们如何通过研究机器学习识别数学结构和模式的潜能，为纽结理论和对称性研究带来重大突破。
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在数学领域，人工智能可以作为一种有价值的工具，为已有的猜想找到反例、加速计算、检测存在于数学对象的结构等等。现在，新发表的这项工作通过探索两种基本的数学概念——拓扑学中的纽结以及排列，首次证明了人工智能也可以应用于发现数学研究最前沿的定理和猜想上。
纽结不仅可以告诉我们一根绳子能有多少种缠绕方式，而且还与量子场论、非欧几里得几何等有着惊人的联系。代数、几何和量子理论都对纽结都有其各自独特的视角，而一个长期存在的迷思是，这些不同分支是如何联系的？比如从纽结的几何中，我们可以获得哪些与代数有关的信息？
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在新的研究中，研究人员认为一个纽结的双曲不变量和代数不变量之间存在着某种未被发现的关系。为了寻找这种关联，他们训练了一个深度学习模型，惊讶地发现了一种与纽结的几何形状直接相关的特殊代数量——符号差（σ，signature）。在此之前，数学家已知这个量与纽结的一个重要信息有关，但不知道它与双曲几何有关。
通过使用机器学习的归因技术，他们还发现了一个新的概念——自然坡度（natural slope），它与一个一直以来都被忽视了的关于结构的重要信息有关。现在，研究人员通过研究纽结的结构，证实了这种意想不到关系确实存在于不同的数学领域之间，首次在这些不同的数学分支之间建立起了一些关联。https://mmbiz.qpic.cn/sz_mmbiz_png/tqOuxs8dsHOk1utZwP9EZRCfTAQsxYfQ2e4gjywvN2X4dmibVAaCBcgaMq0lXOpul2jaic2ZutmMKRDCAhQvXdfw/640?wx_fmt=png 排列是对有序对象列表的重新排列，排列“32415”就将第1个元素放在了第3个位置，第2个元素仍保留在第2个位置，以此类推。| 图片来源：DeepMind
在和排列有关的研究中，他们发现了一个与排列有关的猜想的新公式。这是表示论中的组合不变性猜想，它说的是在某些有向图形和多项式之间，应该存在某种关系。这个猜想已经困扰数学家们数十年之久。
通过使用深度学习技术，研究人员确信了这种关系的存在，并确定了它可能与被称为破碎二面体区间和极值反射的结构有关。有了这些知识，研究团队中的数学家就能推演出一个算法来解决组合不变性猜想。现在，他们已经在300多万个实例中对新的算法进行了计算验证。
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这是机器学习首次作出的重大数学发现，它们表明机器学习是可以通过监督式学习来检测模式的存在，再通过机器学习的归因技术来洞察这些模式，激发对问题的直觉判断，从而对数学研究产生助益的。
机器学习技术和人工智能系统的使用，为数学模式的识别和发现带来了巨大的希望。即使深度学习仍然无法探测到某些类型的模式，但这些新的突破也为其他研究人员将人工智能用作为研究数学的工具带来启发。
在回忆拉马努金时，数学家George Frederick James Temple曾感慨道：“数学的伟大进步不是靠逻辑，而是来自创造性的想象力。”我们期待看到，人工智能与数学家的合作，能够进一步将人类对数学的直觉提升到新的高度。
#创作团队：
文：佐佑
#参考来源：
https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-wayshttps://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1https://www.ox.ac.uk/news/2021-12-01-machine-learning-helps-mathematicians-make-new-connections#图片来源：
封面图：xresch / Pixabay
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