Arcman 发表于 2018-12-21 14:12

欧拉公式，复数域的成人礼

欧拉公式，复数域的成人礼

马同学
中科院物理所
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复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。
大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp76l9k0tTlWqO6PmiajyCYhIy3nvaFe5gwH8vsic2QtGHNlpy7Dzl7bicw/640?wx_fmt=png 、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpvysymwXVHFKYY5CrFkw615oqFjiacbTW4Fc6Qo4JPXfBn4oUXEVYLOg/640?wx_fmt=png 两个任意实数，外加虚数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpPCtHLNdcXMXcSx7n7qqf7Wv3Biaibhib5w5Fu3uLeN75eU02VCYJK3ib4A/640?wx_fmt=png ，把它们结合在一起，就完成了：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpI3C2n2aINvGwlJ3KNQHtvlacQscpfFwia6A8lKHXxBmGjDbiaapbl3XQ/640?wx_fmt=png
但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp40caUKichIKc1rOjVDuOkicjsjCf3pmRIylFW1PGBrjTL2IEREpI0KMA/640?wx_fmt=jpeg
复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：
我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。
----约翰·伯努利
这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpCDmmyV2eIDDolGSXxxP1EmJXMN9OQWexIMhwLHxIhjJLeLDVicTs8kw/640?wx_fmt=png
1 数域扩张的历史来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_gif/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpMEQDyaofgPHpn8msVxQGpwOBKgpgdK9ZiaMm6Iwenz7fCOmTDKXD0OA/640?wx_fmt=gif
1.1 自然数到整数数学刚开始也是一片空白：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpqKSaicsDsAtzChaG9owDlfSdSk5xOQbV4CjnDYWothnqibCNkJ57rdDw/640?wx_fmt=png
0的出现就是数学的奇点：



根据皮亚诺定理“爆炸”出了自然数域：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWvKicDrpibCiamIaCM8H1EyLQfpv99XIyZTMEIf2evgXYQB7iapMzbIdmMmUQIM2DpNGu0t9Fiba8MQTBQ/640?wx_fmt=png
很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWvKicDrpibCiamIaCM8H1EyLQfuNFmiaZK2K8vXpDFv4Q8d3Gv0a6hYsUic0JgqLrOdjgQEibibWlCQ1lORw/640?wx_fmt=png
添加负数之后，有一个问题就出现了：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpylv96MGLQ1STuDwTtp0WpWWxU1hciaMsyjUzWOe46iaqCAiaeicH5RVk3Q/640?wx_fmt=png
我们知道 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp61ib1J47IIZpLdLl3fx2ecFCZnvts7nAQDb8AVibKsML7TibB0pRKicCDA/640?wx_fmt=png 是对 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpLn2PWUXzXicCYTnEVWeltIEUiapahQaQmPPnpwJAhg1ucHibYGLBmbAPQ/640?wx_fmt=png 的缩写，并且容易推出如下计算规则：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjWm5QSavUtCXZhDBRnpibre0nCicfNMpQcXvicD5icGwu4prNGiaWY9dqWA/640?wx_fmt=png
我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpNlmHOicppF7icOHrbHebWGPegI2EicnaoYJZ3PeXDfUIxgJp1bB3V8Q3A/640?wx_fmt=png
更一般的有：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpKcEZkBjLSVlADsa3yhvwslxb9DAY9yuujiaxsOayuZ6QFpD7WPCjxDw/640?wx_fmt=png
并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpyecKQ8VYYjEI8GGicQ7JicbTDG65YA6f2Ivk23g1KO4FPTC3UjblyQpw/640?wx_fmt=png
1.2 整数到实数很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpxzsjSAt0Wpy8EYU37ht1diaQv65oWyRFlYesmOQBOHkEoNeU5OTlxGg/640?wx_fmt=png
来填满这些空隙（示意图）：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWvKicDrpibCiamIaCM8H1EyLQf2VSINPReTgtbgicvMdh7OIYoyuk4x6hIfEkHqzOEVJt51KIicia2UBKgg/640?wx_fmt=png
还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWvKicDrpibCiamIaCM8H1EyLQfkcqc3ud7ax9XicQj67yjyqxicCpfgfxROROYO0ibLEvq6GdIiaicsTYW7fw/640?wx_fmt=png
自然会有这么一个问题：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp7akaw7E0ibFhx4QqtibBwtedTeKzy7dM3BQX2BC6rQicNZXicQvRxBGVnA/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp7LXQMPX8SZfgzkAuzQSEQPfQNzzfljmEoGT5H6L0szsg8NFRDEFibmg/640?wx_fmt=png 是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。
2 复数基础往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。

2.1 复数的运算规则复数的运算规则并非凭空捏造的。形如：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp5r88AgyIWOCc0dOXwYiaF6xlaOug6Fol27lup3HYWjk24qm6oCIRXbw/640?wx_fmt=png
的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpVGgA7ibaRJq4dWl6q8qicwAATv7tH2HrcaXKqYRCtScHTsoxQhGVUhZg/640?wx_fmt=png
如果 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzphZOibOdnMCDCuq4iaOZUjqAUGViaeLvKxSF8sr5fULsLM9gUibp1nSgSKQ/640?wx_fmt=png 、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp2JJ4jbVlHmfS0UZhwhkIGNEg0v07LRTVmJ9e2M4sf24FM4jdv7jnsQ/640?wx_fmt=png ，可以得到方程：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpSKIhHAM1c6k8SnFuU3bHANniakxJFRHLNjSfEBz6mofWyXvLtXO694Q/640?wx_fmt=png
从图像上看， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp6FovIOVY3YTcibz8YpwKNd4B4wWleMRmlAwZS90KtPVhrHc1muGVp5w/640?wx_fmt=png 与 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpq0GYfh8YjPPsjWT0dDDEibbXlVJCd1oibSJPy3cI2lRQDBicnmL4Sia8Sw/640?wx_fmt=png 有三个交点的：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpPIViahqwRibv87Cia5Q18Vic6gxLdpOckTQ4FDLzFpMcFO04eHhzElkXjw/640?wx_fmt=png
套用通解会得到：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpwgrhiaMEJogg5q3qTrSERGLmLqCufu2fnpbjTxjphmHxPqZTpgbLibiaw/640?wx_fmt=png
这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibXaHn8VicHRbcsp89q1ElLBgQrEicWVib7jrYibQOZyf2W9EWlembPM4Bg/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpyF75RUWWpTn9D8wz3w0G4W35Z0CAXkRu01bWjuH9ftZfC2tCzCDnDQ/640?wx_fmt=png
那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。
2.2 复数加法、减法的几何意义为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpmV5ZnNruAakzFFjK5Huib9JAe2LZEfZzQYs4JiaYe6oRKdibp3OX0sDPg/640?wx_fmt=png 有：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpTSXx4Zp7UNfKw4weFSXylIqovp3BpudT7CP0FNkFncBvhL0E86HWFg/640?wx_fmt=png
复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（ https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpvec4quRLlVDlYTbhzGibdveqGNeZlB9VOMkRhX8PVxxUQXw966UWJEw/640?wx_fmt=png ），纵坐标是虚轴（ https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpaYFk6CYqDTFKPGx0uiawPlqNv7In12LPRiaBIatmpOLJa47lEFZaJohw/640?wx_fmt=png ），下图还把刚才的符号给标了出来：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp0zTbGajahgZcHDBxYKtYiaZzDgoOQzGiaPzFia21XoK2HTYJicCQpGNf8Q/640?wx_fmt=png
加法的几何意义和向量也一样：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpOIPuEUicRSRYLYrLhAYibsbUqHcfKn2KGwzEYYoM1SDB6VicBqB5D7CCA/640?wx_fmt=png
但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。
根据刚才的乘法规则，计算可得：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpbA3AyQiaXzOmBA3JHSLT0mSez0dIVbEiafAFdczaWOZ5PZhG9O67ZqTw/640?wx_fmt=png
画出来发现，两者是正交的：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpdYq26BZgcicXRjX5LofxpK4rWsOicLEnFjCNU6ibgMVXzTBC4qvDDPTkQ/640?wx_fmt=png
还可以从另外一个角度来理解这一点， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibQ1kxKgrV5P7g947jYCo8jiaKQnQZj1TKrNag3zFxof4KPT1OLwssOg/640?wx_fmt=png 在复平面上是这样的：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpYnPF3RHjpxqPrOWfFqpPgC8jmadCXFMJmmx43FsU6Sc0EVPF1QUibuA/640?wx_fmt=png
那么， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp9r0gr5xJ717eJdic6FekpznQCggfrz9BtYOJQN7YXRzwAErWoJhcaAQ/640?wx_fmt=png 乘以虚数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibQ1kxKgrV5P7g947jYCo8jiaKQnQZj1TKrNag3zFxof4KPT1OLwssOg/640?wx_fmt=png ，就是：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpibib9T6jcCcWP0Hibr7tBzJqBZeLwAobmjQWWwngn1QibqoAskMKXwlz1Q/640?wx_fmt=png
对于一般的向量 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpLNpkhNpcK9I9yKlSYqRujeibs7jiaXxDUexpLLwibQnz4GoX5kIWia09mw/640?wx_fmt=png ，也符合这个规律：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpOsicsibpVQc7v09J49aJxgQX0ORicvUicuE1xRicV6aRyrpkd0IfhLGbkOA/640?wx_fmt=png
好了，知道这些差不多了，开始正题。


3 复数域的扩张好了，轮到复数域了，复数定义为：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpI3C2n2aINvGwlJ3KNQHtvlacQscpfFwia6A8lKHXxBmGjDbiaapbl3XQ/640?wx_fmt=png
那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzptctklgQvfNh6hv0HwOT9icicFvLaGv9ll0laBXPKZ6crHTqVzYEvnqKQ/640?wx_fmt=png
这个问题可以用欧拉公式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpCDmmyV2eIDDolGSXxxP1EmJXMN9OQWexIMhwLHxIhjJLeLDVicTs8kw/640?wx_fmt=png
来回答，取 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpZCkShO14rz3HIw8Pk5EIib5qA805YrAE731xcRKlzqEWh6KCw4utW6g/640?wx_fmt=png ，可得：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpmw2BRFLhKcriaj0zKPjIGkNtbicIQOqIT2Fa2O9VMPYAPdzicYjUYaX5g/640?wx_fmt=png
画出来就是复平面上模长为1，幅角也为1的点：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpdguFoyG2SESSicVQh9mxtAUEqXn9sVm04xjW42ZgTTteZyr9k1Tiadug/640?wx_fmt=png
更一般的，欧拉公式说明， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpb8pyrc2BjdEqkFZeSXmAHVcVm380UCYwicibSpqZZpPCG4aBt6y2wwsQ/640?wx_fmt=png 是单位圆上幅角为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpGAkR1LStRocicj3kQt1MI62yMeCKuF7tcrPaBHkAyRJJ8MdzgYmWf4A/640?wx_fmt=png 的点：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_gif/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp50b0picibQ0iar4cHI8qMVOsBwGA2albSiaPus82goTxls6vnYDe86e7DA/640?wx_fmt=gif
但是，欧拉公式 凭什么长这个样子！
3.1 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFPIUZvpXFpnhWd5paibXGzFs3pgc8Wv02YEKP4upydH5ZpG2RC8ZLIQ/640?wx_fmt=png 的定义欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。
实数域中的 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFPIUZvpXFpnhWd5paibXGzFs3pgc8Wv02YEKP4upydH5ZpG2RC8ZLIQ/640?wx_fmt=png 函数，起码有三种定义方式：
[*]极限的方式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp27ViaPjWArjEYt4dnQ5kn8ZiciasL8QdkCY7e61MiaHWKoyJOc5qp5odZw/640?wx_fmt=png

[*]泰勒公式的方式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpk2xWoib3BEaiaNjPuCibpVowMvJhZJ0xeLTn3A9bHyE9W7qdpkLmd3Idg/640?wx_fmt=png

[*]导数的方式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjQ2ACeHDxP1CXU7PGibkHfoCMeFkQz7AvUcDkmMwBfnBVGUoNDbibRfg/640?wx_fmt=png

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式因为：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp27ViaPjWArjEYt4dnQ5kn8ZiciasL8QdkCY7e61MiaHWKoyJOc5qp5odZw/640?wx_fmt=png
我们可以大胆地令 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpLG3X29vTBPBsmqPbJL7xV61TUibicBcfwOwQopicJTjMWAFGLEHia8yQibg/640?wx_fmt=png：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpltlyHeCDKh7HItcXrckubYNK8n5nCyaHMbsGrqaeicfA9nj03hzPBfQ/640?wx_fmt=png
那么之前的 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp1EaW6Wy48RPMumcu57MCtYZZcVwtq8dz7RBZZGcFWPgzfKMv3j1ia9Q/640?wx_fmt=png 就等于：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpx6RewrfuyEhUXRTcoRkRibLgZGicFtCIv2eGEUPWicXOE7Ql8fJR1IPpQ/640?wx_fmt=png
我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp1EaW6Wy48RPMumcu57MCtYZZcVwtq8dz7RBZZGcFWPgzfKMv3j1ia9Q/640?wx_fmt=png 对应的是单位圆上幅角为1的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为1：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpiapeRTH0KFqbPYF5siaAUS4N34PcIQHqht9UkqFKtkMtXez8f51ciaibOw/640?wx_fmt=png
然后取 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpnJVkgnpgaHLLmAeTGEWWhpKmDYpUhP6YSzEMrdp1Lg9wKZPiaia7GtBA/640?wx_fmt=png ，可以得到：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp5DyekKyQicQgKjcrzUuPSJEoYEgia8Fib2IbXWwmEv8JUxM5KYiaNBm29A/640?wx_fmt=png
根据复数的乘法规则，可以看出：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpF7flojicqmZ7reYIdJx4nDzPhyNdr9lgCG9IcFM1HlmAH7RE16tevPQ/640?wx_fmt=png
取 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpvXhLIHEFvopOz3nBFPbzO3iaNwBwdxdqBDwBribN0cOC19zENfXZib4fQ/640?wx_fmt=png ：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpXD3MwsNQtznG1zWckbvp9paWr1ezjuw4zEWPMOlChrnTDkNeCXnSsg/640?wx_fmt=png
取 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpUk1tiaPyApibO62UCs3E7OSXCicFohiaiafsxeicdx9JzXhYAaQtEIyq2nJg/640?wx_fmt=png ，已经很接近单位圆上幅角为1的点了：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpwcicZNay1fmIzmVfQhAgP59oIoh1KZwjkdRYQLgXDzAs2FiauPFZKvUA/640?wx_fmt=png
对于更一般的 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpb8pyrc2BjdEqkFZeSXmAHVcVm380UCYwicibSpqZZpPCG4aBt6y2wwsQ/640?wx_fmt=png 也是同样的：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibyuGv7kMA3LcJ20libhIjepanR1DBcEMC8icJgiby6ItLdtT8klibT25nQ/640?wx_fmt=png
当 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzptuAkCmcPnnibzKbHicjLqQhr4RKKLoXicDYbuGxwnwvW8NYPbh4IQqSdA/640?wx_fmt=png 时，就很接近单位圆上幅角为的点了：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzplFwUk42jnorBSGntoeSskPoUhSvoQMdEX7mPWicgkk15zCQNe2PH8Fw/640?wx_fmt=png
可以证明当 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp2u0HujHAyRkfUZbrAHhl0bfoolNib5eySDibias24XZIpMedDibvbd3pgw/640?wx_fmt=png 时， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpb8pyrc2BjdEqkFZeSXmAHVcVm380UCYwicibSpqZZpPCG4aBt6y2wwsQ/640?wx_fmt=png 为单位圆上幅角为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpGAkR1LStRocicj3kQt1MI62yMeCKuF7tcrPaBHkAyRJJ8MdzgYmWf4A/640?wx_fmt=png 的点，也就是得到了欧拉公式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpCDmmyV2eIDDolGSXxxP1EmJXMN9OQWexIMhwLHxIhjJLeLDVicTs8kw/640?wx_fmt=png
可能你还会问，直接替换 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpYE6uQaXeXhdYkjNCpH6ZmqicFVoloMTwia8y2dcwa9Uf6QnibINf3dhiaw/640?wx_fmt=png 为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpHKPCVibOaPMRnoE3wOfJ1ruCIeIFGfURdz4ibtGe5QZGxM4kEhlDPAIw/640?wx_fmt=png ，合理吗：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpDa6RTaPiakP4l1rn4iaXqiasrOpcGibZTVHCZoVXWFVhrhm7BrbVqODiclg/640?wx_fmt=png
这里是理解欧拉公式的 关键 ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpb8pyrc2BjdEqkFZeSXmAHVcVm380UCYwicibSpqZZpPCG4aBt6y2wwsQ/640?wx_fmt=png 。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？
打个比方吧，在实数中“除以 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpycBZcunFpRJAr7iaLjPPrYj6BWS8X918VkmYvtkuSoeia1QWvgpfnxJQ/640?wx_fmt=png ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpG8pY3Bib9a4T2byRcKk1jicjGMfa2YlMSd8936KuAic6s4TMibfsVicOiaWg/640?wx_fmt=png
欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。
3.1.2 泰勒公式的方式实数域下，有这些泰勒公式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpk2xWoib3BEaiaNjPuCibpVowMvJhZJ0xeLTn3A9bHyE9W7qdpkLmd3Idg/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpUAAfbZdTV4kaCqic1gXR1GbhJqahRHjxNxh0ib1176oru3cAicO9tCJiaA/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpREuYKoSiaCFuyzwNyuP59HW8iazttiaIdxzRzIHWJCkUaHjM2MGMkYAEA/640?wx_fmt=png
也是直接替换 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFPIUZvpXFpnhWd5paibXGzFs3pgc8Wv02YEKP4upydH5ZpG2RC8ZLIQ/640?wx_fmt=png ，令 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpLG3X29vTBPBsmqPbJL7xV61TUibicBcfwOwQopicJTjMWAFGLEHia8yQibg/640?wx_fmt=png 有：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpiagiaTXaVem33F8bA5vedmibkpekMufe4a1V4X90mv2ISZspmpobECxicA/640?wx_fmt=png
这也有漂亮的几何意义，看看 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp1EaW6Wy48RPMumcu57MCtYZZcVwtq8dz7RBZZGcFWPgzfKMv3j1ia9Q/640?wx_fmt=png 的前三项：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFgurSJHL6XOIpLoX1Fubcj6r6gLJw4z1JrckNUqDUckFTJMhuJ8IUg/640?wx_fmt=png
这是三个复数相加，加出来就是：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp1ulnXYmDvUDUdCzTccwrjU2fEAnSbUWUysicEdpEv6Gq9aCWWY1YVhw/640?wx_fmt=png
再增加第四项 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpG6LQiaCP9sE8mtwU4xhRrcOLAgyOYp9xoXgUK0fgUxDHxOqN4v02jrw/640?wx_fmt=png：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpVV4hdhxdKmiacuc3q1jvTN3lRMfa3a2iaiaRHSayNn4fxr98UpmNSsMDQ/640?wx_fmt=png
随着 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp2u0HujHAyRkfUZbrAHhl0bfoolNib5eySDibias24XZIpMedDibvbd3pgw/640?wx_fmt=png ，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为1 的点。对于更一般的 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpb8pyrc2BjdEqkFZeSXmAHVcVm380UCYwicibSpqZZpPCG4aBt6y2wwsQ/640?wx_fmt=png 也是类似的螺旋：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpiaKPw2WXQibSTibBt5oIpxkI15oVrEd4trPcfn42T2zs5hMzdu79Itflw/640?wx_fmt=png
3.1.3 导数的方式实数域有：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp7dohaQvvRuzGkbibZuewhlMnFI8rJc1FFsO9mYG6HKuQRaiaxd0N6C1g/640?wx_fmt=png
直接套用：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpicN5pJOFJdFNURH7o4tfiawFXgPzxul5GTvcsmCGQdcSUPMabX4R5X5w/640?wx_fmt=png
假设 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 是时间，那么 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFnZN4icf4m6gSI2CrvKX2JOAkd5eic6ibUPNCLAW6FtmsMN3Bib52Vhj5Q/640?wx_fmt=png 是运动在复平面上的点的位移函数， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpiaY4wdk7ZOibIsXBAfVP1pnkq7pNpsPDnyIicBib9kORe3ngBQYzjoF0Xw/640?wx_fmt=png 时位置为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpSTo7Oxvj2icCRJkMdpQtWAXKTR5hHXPeoxiaYzticjicOGCrvicvFOuUqSA/640?wx_fmt=png ：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpJUdGqIgQCZWxLYEKUic11xA1f6pyAicwEgRP4Uyn0ghtzwWeMVq69IrA/640?wx_fmt=png https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFnZN4icf4m6gSI2CrvKX2JOAkd5eic6ibUPNCLAW6FtmsMN3Bib52Vhj5Q/640?wx_fmt=png 的运动速度，也就是导数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzphBOLCics0Vb5TQ6Z7xaEic2hibiabAcA5eZSCCgl6cACicvLrCyEfCOM9aA/640?wx_fmt=png 。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFnZN4icf4m6gSI2CrvKX2JOAkd5eic6ibUPNCLAW6FtmsMN3Bib52Vhj5Q/640?wx_fmt=png （根据乘法规则，乘以 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibQ1kxKgrV5P7g947jYCo8jiaKQnQZj1TKrNag3zFxof4KPT1OLwssOg/640?wx_fmt=png 表示旋转 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpia7WQ6H2aASe2B2ibhRqFBO67JXhOmMGPeSkNJ4AlxB3NEFNSVUh9uyQ/640?wx_fmt=png ）：

https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpib13sVqHtibFVpY76obycDIcfT8rtEf2u1dJRBCaqsRZTz2PRrHamonA/640?wx_fmt=png
并且不论 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_gif/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpNytDRuwVribWYhqZMtTyOb1K0nRIQSwXVbKrXicMt9icJ3pF7Qw8RfOIQ/640?wx_fmt=gif
而速度的大小就是速度的模长 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp7KJmCoUibq9gwhEOhic2OoibaBbGxPkEmNB2SppPcj9fvP44ogGMyo4mQ/640?wx_fmt=png 。之前说了，对于两个复数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpbwApT9rLpz99d3VF1r1Ea9N6xSgkxgl3m4qvib3UlJqmueC7xGdZdng/640?wx_fmt=png ，它们的模长为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzptpFdaZOR60fdCuSwVPibicd07Sku6A0YOjnqg6TS8mEIbicXhibyCjvdAQ/640?wx_fmt=png ，那么：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpy4KQaHyQDL28QDlccZo7uicx5NSLwMtzY2c15dOn1ayIbUmXunlIW1g/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpJD67llhW8cS1scz1jMv94ibmZdYeRG0lEbXSSibe8RO9SbMZfSxoKAjA/640?wx_fmt=png 肯定等于1了，https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFnZN4icf4m6gSI2CrvKX2JOAkd5eic6ibUPNCLAW6FtmsMN3Bib52Vhj5Q/640?wx_fmt=png 在单位圆上运动，所以其模长也为1，所以速度的大小为：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpqFzqISFsXInasvqUXt6MobWic4GRhMcnlickYVPxRjLnYseSFjjXvVjA/640?wx_fmt=png
速度大小为1意味着 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 时刻走了 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 长度的路程。而 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpFnZN4icf4m6gSI2CrvKX2JOAkd5eic6ibUPNCLAW6FtmsMN3Bib52Vhj5Q/640?wx_fmt=png 在单位圆上运动，那么 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 时刻运动了 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png 弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpjpucjkBEDh0v6FsoQy7meWr2awCMWI5U0bhrjLmxzSic9KEqTzzTa7Q/640?wx_fmt=png ：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpaGMO79lGzHX0t0eicaT79ic5Bab31ulnibUpFu3bROpvxZP18H94OLSrw/640?wx_fmt=png
4 总结
有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp2ibic6GdS405qHJKAlcGSYtbGqTjg4jnzZuemoiaGLahKeukWPzUNMzPw/640?wx_fmt=png
其中：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpiam7qSf7qyZsjhFBeHpS3Ga83FSfMY1JPleKhQMarudtaQtzlbyAVzw/640?wx_fmt=png
个人觉得 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp4hy3YUHRNLtIopw6W4GEMu8aJQogqBT2KTIWnOAMrQ4lZ0vZCHAyUA/640?wx_fmt=png 只是复数的初始形态，而 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpBBKxXBFJ8ODM6e94nVn6MzC2BW3JGVO9vibpgURF8uZQnat1ozdNqag/640?wx_fmt=png 才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpaedbzjUINsTCToMCaoIa1MzJ0GHaTYQbx8hFQbWjohlUIbK7PzgN0w/640?wx_fmt=png
那么有：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp6zKIc8iaPUL4DXvDRibNkD2FibXkrWkmUqIMVDfUSMh3BL4kAKMSO4W7Q/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp75TTw7Evc9tatYEudfqWcECHkbuZEM8YGdI7iaia52ql54RicuyWRyo4A/640?wx_fmt=png
几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpUpgV9zmicc7bPejKn1qIx3eTEzUZwAAeZ0CyvzvDuSb13OZQZo0vu1g/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpBIic22xlXKsZQAaTGZAaOkqMANMjPBMicibiaDjuAZkmSbqpglYOt5iaN2A/640?wx_fmt=png
到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。
欧拉公式中，如果取 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpWTiampASqs4coicGoVoRCwBjKHUXiaBXibvz0m2nWpNdDoKLfpXa5jJoMA/640?wx_fmt=png ，就得到了欧拉恒等式：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzpwox4f6LwdlSF9icEdbdeyNgKY5fyCFTMKCoeIfNibibaibDnyk5Ob83spg/640?wx_fmt=png
这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpeQ7QkaXFiaViaSaPQ1KniaC6WlJWhPxQI3vuHItGLTyc0RWiaOicPH42nvg/640?wx_fmt=png 、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5Rlzp7LXQMPX8SZfgzkAuzQSEQPfQNzzfljmEoGT5H6L0szsg8NFRDEFibmg/640?wx_fmt=png 、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpibQ1kxKgrV5P7g947jYCo8jiaKQnQZj1TKrNag3zFxof4KPT1OLwssOg/640?wx_fmt=png 、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpBY34qQ4ibDMQ0Z60y9xFI6icWOLuYafJctsNuf2PtlYr78mx84AfO0lQ/640?wx_fmt=png、 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWswAZ6aFHvViapsXvxL5RlzpycBZcunFpRJAr7iaLjPPrYj6BWS8X918VkmYvtkuSoeia1QWvgpfnxJQ/640?wx_fmt=png ，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。
来源：马同学高等数学编辑：井上菌

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