在数学世界中，如何成为一名侦探？
在数学世界中，如何成为一名侦探？Patrick Farrell
原理
要预测地震如何通过地壳传播，必须知道地下岩石的物质性质。要预测中午的天气，必须给出黎明时分天气作为初始条件。要预测飞机的阻力系数，必须指定飞机的形状。所有的数学模型都需要信息才能进行预测。要输出结果，就先得输入。
然而，在许多情况下，我们面临着相反的问题：给定关于一个物理过程结果的信息，它是如何产生的？与前面给出的正问题相反，这种问题被称为逆问题，因为它颠倒了编码在描述物理过程的方程中的因果关系。将解答逆问题的过程想象成侦探数学谜题——先看到犯罪现场，然后寻找罪犯。
无处不在的逆问题
选择一组数字，让它们加起来等于27，这简直是轻而易举。但是反过来，如果知道一组数字的和是27，却没有额外信息，那么要准确知道这组数字是什么，则是难如登天。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPeZEP50kE9InX5WhTaYicogp7tG4N2NFvVzRoRsdiazzicicNBlEHohEOU8Uic7TFMQkglWia2IVnPDDiaQ/640?wx_fmt=jpeg○ 逆问题比正向问题困难得多。| 图片来源：Pany@NPI
如果空间中有一个已知电场的扰动，怎么知道引起电场的物体在哪里，它的阻抗是多少呢？一些种类的鱼为了在浑浊的水中寻觅到食物和恋人，进化出了非凡的聪明才智，能够求解出电场定位这一逆向问题。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/tqOuxs8dsHPeZEP50kE9InX5WhTaYicogq5BCuiaO7xUUHbj1TF3gGsdYA8JHwZxMvz7FHleuGBia8w5SMlmENsHg/640?wx_fmt=png○ (A) 鲟能感知浮游动物（水蚤）释放出的电场；(B) 电鳗通过尾巴上的带电器官释放出电场，如果物体的导电性与周围水的导电性不同，就会让电鳗自身产生的电场发生扭曲。浮游生物的导电性比周围水的导电性大，因而会增强局部电场。| 图片来源：scholarpedia
知道一颗恒星发出的光谱，如何知道它的化学成分是什么？知道地震波的表面观测，如何知道它经过的岩石的性质是什么？如今，人们求解逆问题以监测核反应堆的完整性，或许有一天，我们也可以求解逆问题来确定遥远系外行星的化学成分。
逆问题非常有趣，而且无处不在。蝙蝠和潜艇船员解决了在黑暗中导航的逆问题——让信号反弹回来的障碍物在哪里？他们的解决方案支撑着许多现代技术，从地下石油勘探，到医学成像和日常天气预报。人类很难下潜到海底，更无法进入到火热的太阳内部，但是，这些技术提供了一种有效的方法，从这些我们无法轻易进行实验的地方获取信息。
如何求解逆问题？
然而，求解逆问题在数学上非常困难。现实中出现的正向问题往往是适定性问题，也就是说，对于合理的输入数据，有着合理的唯一解决方案。不幸的是，逆问题却几乎总是非适定性问题，通常有许多可能的输入与观察到的输出相匹配。即使对于完美的数据存在唯一的解决方案，如果观察到的输出有所波动，这个解决方案通常也是不稳定的；而现实生活中的观察结果往往是片面的，并被环境噪声干扰破坏。
1966年，马克·卡克（Marc Kac）就提出了一个逆问题解具有非唯一性的著名例子：一个人能听到鼓的形状吗？
根据理想化的数学模型，鼓的声音是通过由曲线Γ限定的区域上拉普拉斯算子的主要本征值描述的。如果给定关于一个未知区域上拉普拉斯算子本征值的全部知识，有可能重建曲线Γ的形状吗？
Carolyn Gordon等人给出了一个具有里程碑意义的结果，他们用反例证明答案是否定的：两个非平凡的不同形状会给出完全相同的本征值。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/tqOuxs8dsHPeZEP50kE9InX5WhTaYicogwic9QJPg5vNGIoFAibyaVFS6Jc5XeNZZY6o3BQ0NJca5C1kmo3yNicQYg/640?wx_fmt=png○ 这两种不同边界形状的“鼓”会发出相同的谐音。| 图片来源：
对于非适定性这一基本特征，有两种回应：确定性方法和贝叶斯方法。
确定性方法说的是，问题应该被正则化：引入额外的信息，将问题转化为一个近似的适定性问题。例如，可以修改问题，寻找最小数量的输入，或最平滑的输入，或与当前猜测最接近的输入，以匹配已知的观察结果。
然而，确定性方法在很多方面都难以令人满意。首先，正则化总是涉及任意的选择而非主观的选择：在所有与观测数据一致的可能输入中，为什么认为这个输入是问题的唯一解决方案呢？此外，改变添加的正则项的强度通常会完全改变解的特性，而且在实践中经常不清楚应该如何选择正则项的强度。
贝叶斯方法则将逆问题的解看作是输入空间的概率分布，而不是单个输入。这个分布给任何在实验误差范围内与观测数据匹配的输入都赋予一定的概率。然后，根据观察结果反向求解的过程基本上就是一个贝叶斯过程，代表我们当前知识的先验概率分布，随着新获取的信息更新为后验概率分布。（进一步阅读《用贝叶斯的眼光看待世界》）
贝叶斯方法在哲学上更令人满意，但它的计算量大得可怕：描述一个典型问题的后验概率分布，可能需要求解数十万、甚至数百万个正向问题。对于大多数物理问题，如此巨大的成本使得这种方法完全不具有可行性。逆问题的高效贝叶斯解法是数值分析和统计研究领域的前沿问题，有许多最新的进展和重要的发现等着我们。
参考来源：https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/i-inverse-problems http://scholarpedia.org/article/Electrolocation
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