震惊！计算器里竟然藏着这样一个秘密！
震惊！计算器里竟然藏着这样一个秘密！酱紫君
超级数学建模
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真男人从不回头看数值验证只有娘们才喜欢用特殊函数
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MCwjrh9eLtmNS3lPDm5Rq5ZEbwyDIGSm5ZKR83Yia4bics8O2B7elE8Gw/640?wx_fmt=png玩计算器的发现大家都玩过计算器吧，不知注意到没有。输入任意数，然后不断按 cos ANS 最后总会输出0.739085。什么，你说明明记得是：0.999847哦，因为你用了角度制。这一系列操作等价于求解方程x=cosx，角度制下就是https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVARgWLlh7CNyBJ4Fl4LxIYyZcicCy5oLGaNcL5yylzAXhjicVeaQfqDrdQ/640?wx_fmt=png当然对于现在的你来说求数值解没啥意思了，要求就求解析解是吧。不过这两个方程其实是一样的，我们先变个形：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVA7UamhhnUVicEyrHPY6k315tPkxIod0B79g7iaFRSay5XHGFudevCpziaw/640?wx_fmt=png也就是说：于是我们现在只要解决Ax-B=sin(x)这一个方程了。最早研究这个问题的是天文学家，毕竟那时候也没什么计算器给你玩，一切要从实际出发...https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MANWeM6aNA8dQzxrIhZncHG3YViaQmNRkZTCmVcHXOp5BYZA9HjvxMmg/640?wx_fmt=png开普勒方程你可能听说过，三体问题很困难，直到一百多年前的庞加莱时代才被搞定。而二体问题则简单的多，400年前开普勒时代就研究的差不多了。你至少知道这个成果，两个天体以一个为焦点，另一个必定在圆锥曲线上运动。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVA5GjS40skAFa4NSKGlMhy7we2FE3zJiaq2pxlR8PeuCepczCicbSFA7Jw/640?wx_fmt=jpeg
一般天体遵循椭圆轨道，如图椭圆是实际运行的轨道，与椭圆相切的是一个以半长轴为半径的辅助圆。在一定的时间t内，椭圆轨道上的质点运行到了p点，而辅助圆上的假想质点运行到了y点。
[*]椭圆轨道上所转过的角度∠T被称为真近点角(True Anomaly)
[*]辅助圆轨道上假想质点所转过的角度∠M被称为平近点角(Mean Anomaly)
[*]将椭圆上的质点向上作延长线，交辅助圆于x点所形成的角∠E被称为偏近点角(Eccentric Anomaly)
天文学家发现，它们满足如下关系式：
Kepler Equation：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAqMhAmRtaiarnexrjePVPl8tia8mwAOUXHhI4icUXdJMdbFxa0JHPadrGg/640?wx_fmt=png抛物线就是https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAibVWYTOS3ordIhzokjFanUbJsuKIvGrIEibCzYWTUUOGwVFKxOGpB0EA/640?wx_fmt=png的特殊情况，双曲线有所不同。Hyperbolic Kepler Equation：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAH5Mib4KqTrSB4vZkqWIKguRnrJEcbLa76oawawfavTpvFFwIZLLzRHQ/640?wx_fmt=png但从数学上讲，这个式子其实就是：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAjWvrzs40icopklJk8SyQO8oLulz0XsG2R8bib9dpbW1K36wY9bVtHO1w/640?wx_fmt=png也就是说不考虑物理意义其实是一样的。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MibHz6CbTyBvhfGccbmsDuMBOTibZuBXrKXF7YPJwjHqjYNmUaqEvhM1w/640?wx_fmt=png开普勒方程的解析解有了方程当然接下来就是求解了咯，古代计算力比较值钱，毕竟没有计算机，所以大家对解析解都有一种病态的追求。怎么着推一天公式要比算一整天的牛顿迭代有趣吧?https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAoBCv28MicXOYX7Rf1Ooa0jBtcgibr0NxdYvSXn28rhD9UDKvYlA3cVbQ/640?wx_fmt=png作一下等价性检验：In [] = FindRoot x-Pi/2/.FindRoot FindRoot,{x,0}] 180x/Pi-90/.FindRootOut[] = 0.7390851332151605` {x -> 0.7390851332151607`} 0.9998477415310987` {x -> 0.9998477415310881`} https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MIjQbibxNa0ia7NO3Rs8O4ve8Ra6N7ejxqglN5eRFakXlTJwNy7iaJEiaJw/640?wx_fmt=png拉格朗日反演E不能分离但M，展开M(E)，然后直接用级数反演即可。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAMQx0k5mrCygYHh0SicNpPDNVThSiasdYcvtTzas9LyJXx4wjBuK5dibCw/640?wx_fmt=pngMathematica 可以很方便的执行级数反演。Series, {M, 0, 10}]//InverseSeriesSeries, {M, 0, 10}]//InverseSeries早期解这个方程使用了关于离心率https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAeWhteArxoQZNgo7K9YQWM8aGDDtqk04pq9sk1lbrAiciae0CrLiarFXZw/640?wx_fmt=png的麦克劳林展开。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAYic0ySDlicdianuA6VzIT1G6OmoQURL1CnUwhibIOia5MUL1NyajHKH015w/640?wx_fmt=png这不是个整函数，所以引入了所谓的拉普拉斯极限。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVA7iaKafcL2C668GqIic0UgLfnWHTrOyCQibMawI8qyoR3Y8E71yW020tDw/640?wx_fmt=png超出收敛域的部分级数失效，级数反演则很好的解决了这个问题。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8M0jKYxpibyycN86ASFnZhhLgQD35gK9qrTRF6yuUia1M9BNqtqzFbE4aA/640?wx_fmt=png贝塞尔函数解当然无穷级数不利于计算，能否使用微积分表达是我们接下来的探索重点。我们来考虑函数方程：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVASkxZFOclg5LRD2dk67eECUBgqmIBXheGaH6XsB8Xia0zjGKlDP0uRQA/640?wx_fmt=png我们假设它可以展开为傅里叶级数，分析原函数方程性态可以期望这是个正弦级数。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAmycXUdPGibQwBAYbJlYhgXHyeS8NASmcU2QibEFzuhRAoJB8ehSvT2gA/640?wx_fmt=png那么系数可以表达为：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVALxf2JeJ6jjGIB8wwao4LOwLJfXBcjp2tlNfXIHANX3S6QT41Uic0o2Q/640?wx_fmt=png我们来尝试计算，嗯？没思路怎么办...无脑分部积分展开到能搞定为止呗。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAaJX903p5uUKRBnAibIA7rVbv5aBFlwoaXpwj2CIicrPw9m7hfOpfhQRQ/640?wx_fmt=png而这正好是贝塞尔函数的定义式之一：Bessel Function of the First Kind：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAaicMUyZmtpup7Yj53vCgVEibJxAtgfRwn9bRKCRuLG3oicNN77xp0Gd0Q/640?wx_fmt=png于是原式可以写成https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAV15q6kiaH64aq22P3icqh2IdzVslCKWsia7Kblnp5QgdRpAXymKDx271w/640?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MGwic2icRQicFLJfb5ppotAAjQnQsNPD5ibjTibwYjnEjEPYoQkR3xhiaHWmg/640?wx_fmt=png赫维茨-勒奇超越函数解Stack Exchange上有个用反三角函数和三角函数表示的解析解，这个解比较有难度。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAnOackq1bjJo3ceEyPXH6ELhWnulpq9RXZWiakwrHlpHBBA0Q9w4fhSg/640?wx_fmt=png
特殊函数论中将以下级数称为赫维茨-勒奇超越函数(Lerch Transcendent Function)https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVA3hh0WLWdkgcp5OjmxiaBicIf9YsRicAc6icsT7GnWZCnfYmUfwLFOpydqQ/640?wx_fmt=png我们从上面的贝塞尔函数解开始，还原掉贝塞尔函数：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVASdchDx26jPZ82Aic9l2LIVu7HN0h1WF0BBxibrNrOSdorHj43DricnQZg/640?wx_fmt=png然后交换积分求和顺序。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAr1pe9qUeJuBUsHTAmYSDxmTciaWNqibd62KBuTt9IGBF3nhDfQ0FXTgw/640?wx_fmt=png里面的部分圈起来叫F(M)，用欧拉公式展开。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVA4nOv7PvzHKktF2fyoOhYoWA98iaia8T7jFeUia3YcGhHx8gbUibZibqMibLg/640?wx_fmt=png其中：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAzkdicpJAJITACBUicf3GjoKFsdu7eErcuuDsatEbgCF9gmcGH9Irj9XQ/640?wx_fmt=png可以发现其实都是https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAEPhbS9TdticPEibVVn9EXTU1mxVWq9ia4PwypFYmZO1fd0iauPiaMaakE5Q/640?wx_fmt=png的结构。我们引入多对数函数：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAtWKiaxc6K91JcZl3UniawuuonL9r72diawojiaIE4P2nfON3sl6FULb8Jg/640?wx_fmt=png也就是说：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVARYFCXEqp2woRbfUOE2C3ohFgqYbgS3ic8b3hMcVLRz5kO3nLsCVliatg/640?wx_fmt=png用这个函数化简等式：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAZ3cXdLrofM0fvaunqsj5oke8SEGibicLBTv5sxmXZKfrZR15kg4IicJag/640?wx_fmt=png同样的整理一下：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAhQagaFvqxQgsnEWCrGhia0aum6LQiaL1dXPDSvd8YDxp8O7BkQ96ykaA/640?wx_fmt=png可以合并成两组，然后再次展开，运算量有点大。化简的时候注意恒等式：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAicLFK8cdhqb1DRCdZLcxe5ibCXZ0hVw56j23XsYrAPMvPqgpug5dWfxw/640?wx_fmt=png。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAoOicmgU5YtqRnsp2unpkYRnfbQLBcNQIBibkNicfeZ4jXfuS2FicnK2VFQ/640?wx_fmt=png注意到第二部分：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVABDkyzaicONWKvz1mhsa6VogR3MONptsRBTNAUvroPwibcfBoQX1Pblbg/640?wx_fmt=png最后代回去大功告成！https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAyXKgicCA9vRNVzO9g605kWtEUibWSjiaMIicduD1GOzcLzE0a02CB20fqQ/640?wx_fmt=png代入数据就得到了 Stack Exchange 一样的结果。
我对arctan(tan(x))这种写法感到很不爽。这个当然不能直接抵消，由于arctan(tan(x))≠x，我们作复展开。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAkLW7jqIzS0XGAwqJSbKaHepRmfiaOaibKYWRN7rrVx8WksvTyz6xnjGg/640?wx_fmt=png严格来说这两者不是完全相等的，因为这样一来消掉了奇点。不过积分的时候完全可以划等号，因为区间开闭完全不影响积分值。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAlQSrcjU34RvhAvEwsagSrFzrwia9a3kMRnRVF6weiaiaEjGLCeXdQE33Q/640?wx_fmt=png综上所述，最后代入值，我们得到了：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAHYl7WBUIMJEbvEI1vibGL3vsJrIJic0UGPaLq3GiaW1061JbxslS2ibq9g/640?wx_fmt=png
(*真男人从不回头看数值验证*)(2 + I Integrate))], {t, 0, Pi}])/(2*Pi)//N(Pi + 90I Integrate)], {t, 0, Pi}])/Pi^2//N> 0.7390851332151609` > 0.9998477415310951` https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MBiaUpNZiao4wjnRuqIMYaPQJsqSkmERXP0LB7kMa4iaRm6THc5IiaJQ0ow/640?wx_fmt=png只有娘们才喜欢用特殊函数最后一个是百度贴吧上的，这个答案就非常魔幻了，它和上面两个方法不是一个系列的，和第一个方法有关。暴力求解拉格朗日反演的解析形式，场面非常的少儿不宜...我一时半会儿也没看懂，详情看参考书目(3)。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMejAVLeRIdS6iaOKl3C9cVAQqyRibQhU13MCl8z8LjmtJ4XRN3FG3tGBQJCuFLIWOnXYUFHOpN0kAA/640?wx_fmt=png从这个结果上也能看出这个方法有多残暴...(*怎么可以这么暴力的说*)\/2 Exp x) ArcTan[((\ x+2)Log[(Sqrt+1)/x]x)/(x^2Log[(Sqrt+1)/x]^2-\ x-1)],{x,0,1},WorkingPrecision->50]]ArcCot ) NIntegrateArcTanh+x)^2)/((1-x^2)Pi^2+4(SqrtArcTanh-x)^2)],{x,0,1},WorkingPrecision->50]]> 0.73908513321516064165531208767387340401341175890075746496567242428255184768807`50.12267193056545> 0.73908513321516064165531208767387340401341175890075746496567993239614795659229`51.22422170141253
参考书目1.On Taylor series and Kapteyn series of the first and second type2.Kepler's equation, radiation problems and Meissel's expansion3.An exact analytical solution of Kepler's Equation
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