虚数 i 是真实存在的吗？
虚数 i 是真实存在的吗？超级数学建模
2018-05-11
作者 马同学
虚数不存在？？不存在的！！
存在是一个哲学问题，自然数1、2、3、4是否存在？它们没有现实对应物，但是会在一个香蕉、两个苹果中被探测到，那么到底算是存在还是不存在呢？虚数呢？
虚数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Y34GgYHicnyAn9jEoFibsr9ZdZiaGEpgx2SEEQ90lcKfeK0DoibFs7jEIQ/640?wx_fmt=png 是不是真实存在的，这真的不是一个显而易见的问题，而且按照中国教材的编写顺序，数学教育中第一次出现和现实脱离的概念大概就是虚数，这应该是教育中一次很好阐述数学思想的时间和机会。
1 数系的扩展
数系的扩展过程直观上来说就是给数轴“填坑”的过程。
1.1 整数
自然数出现是挺自然的，小孩自然就知道了一个苹果、两个香蕉，去掉苹果香蕉，剩下1、2，就是数学的初步抽象。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO54IyGTPia1BspSmQOP6HAQFlbMdqvW6NiaspAPzpkbiclhntOPiavguv0mgZ450hPNYJmIfZTBwGiaOg/?wx_fmt=png
这个时候数轴上有没有坑啊？当然有了。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO54IyGTPia1BspSmQOP6HAQzzhzG8Z9nnKy4dMCnoY9xHvIPF3IJKEhic4ITcADpCUUiaXOk07XtC9Q/?wx_fmt=png
1.2 有理数
数轴上还有坑吗？当然有
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO54IyGTPia1BspSmQOP6HAQTt8aLzg4USse5fQkDljiaEd6zRGSfktSMlmibrtfhvibgDaJ2GGRzzW5g/?wx_fmt=png
整数与整数的比就是有理数。有理数这个名字翻译的有点意思，英文是rational number，明明是可以翻译为”比例数“（就是整数和整数的比），让我以前一直觉得后面出现的无理数好粗鲁。
1.3 无理数
有了整数和有理数之后，数轴还有没有坑？这个问题真的不那么显然了。任何两个有理数，比如说0.5和0.7，平均值 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7oPtsoVjxadVmuYQmVWPhHIMJ4ibgWqX2gYaX4CBMlu0cfnNkPZDTXMA/640?wx_fmt=png 还是有理数，不论这两个有理数之间隔得有多近。就是说任何两个有理数之间不可能相邻，他们之间必定还有有理数。看起来就仿佛在数轴上连绵不断。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO54IyGTPia1BspSmQOP6HAQ8icpDLSErUcEarw5yOLT8JM1amNZQncjHL8kt5EjPOFDauDb1lLxqQg/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7EeCicBm3M2h8rq2ZntBOibUBzHVJJ90KJVk7OFJmSmV9Pcd9Gic87gMvQ/640?wx_fmt=png 是第一个发现的无理数，因此还引发了第一次数学危机。
我们回头来看看 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7EeCicBm3M2h8rq2ZntBOibUBzHVJJ90KJVk7OFJmSmV9Pcd9Gic87gMvQ/640?wx_fmt=png ，不通过证明我们还真没有办法说明它不是有理数，实际上大多数时候，无理数都需要证明，比如 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ibm6ENOicibRgtRTwKuwpOoxFn1DiaQS0ibiapE1YMNWHsThngutZCQBU8Gw/640?wx_fmt=png ， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS79u4fmFYiazVaG89QYF2knQ5u0LGzbibrawNtFN24BY0XxiavYianQ1h52A/640?wx_fmt=png 这样有名的无理数，在证明之前我们并不知道它是有理数还是无理数，而且证明难度还不小。
这里稍微提一下，其实无理数的数目要比有理数多得多。我们知道，有理数是无限循环小数，无理数是无限不循环小数。我们直观的来想象一下，我们面前有10个球，上面标着0到9的数字，我们闭着眼睛随机抓取一个球，球上标注的数字就作为小数点后面的第一个数字，把球放回去再抓，就作为第二个数字，无限的抓下去，生成有理数的概率为0（概率学里面，概率为0不并意味着事件完全不可能发生，而是说几乎不可能）。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ago90S4OehHYAkXFr4U5FvictYyLLBCITLuwwYEPiauJuM9FHleAArvQ/640?wx_fmt=png
其实无理数才是常态，有理数才是没有道理的数。
1.4 实数的连续性
现在，数轴上有了整数、有理数、无理数了，数轴上还有坑吗？没有了。
怎么证明？呃，这个证明虽然不复杂，但是有点烧脑，跳过吧，不妨碍后面的讲解。
整数、有理数、无理数统称为实数，实数是连续的。
直观理解连续，就是数轴上没有坑了，再也不可能有别的数了。
实数的连续性是非常重要而且基础的性质，没有实数连续性，函数就不连续，函数不连续，可微可导微积分都没有了，真不知道世界会是什么样子。
再比如，我们想想，有理数是一个个的点，长度为0，就算无数多个有理数加起来，长度还是为0，那么长度是哪里来的？连续的实数才有长度，怎么证明？也无法证明，这是关于连续性的一种性质。
至此，我们把实数称为”完备“。
当然，还有人说，我可以不破坏实数的各种性质，但是可以在实数的缝隙里面加上无穷小量（在上面的实数理论中，无穷小量不是确确实实的数，只是一个概念），就这么创造了新的实数，这种实数自有它的用处，不过目前不是主流。
1.5 数学并非科学什么是科学？科学很重要的一点是，可以被证伪。比如说我们说水的沸点是100摄氏度，那到底是不是呢？用温度计量了就知道。科学的研究需要用事实来证明或者证伪。
从实数理论来看，我们可以认识到一点，数学并非科学。比如上面说的无穷小量到底是不是数，就可以被随意的定义了，在这个基础上，没有逻辑矛盾的推出了各种理论理论，自然也没有办法证明和证伪。
所以数学会从各种公理出发建立很多分支，不过如果和科学研究脱钩的话，这个分支也不会有很多人去研究它，慢慢也就失去了活力。当然也有很多分支本来也只是少数数学家的玩具，后来被发现可以作为工具进行各种数学研究。现在可能最纯粹的数学只有”数论“了。
想起一个爱因斯坦的公案，爱因斯坦作为一个理论物理学家，工作方式很像是一个数学家，从光速不变这个假设出发，推出了”相对论“，学术界都说，你好牛哦，说的好有道理哦，但是，诺贝尔物理学奖没有办法颁给他，因为证明不了也证伪不了！颁奖委员会当时的心态是”我好想给爱因斯坦颁奖哦“，就在爱因斯坦的研究中找个靠谱的”光电效应“颁奖。
2 虚数是否真是存在？
虚数这个名字，指出了一点，虚数在现实中没有对应物的，是一个人工数。
似乎是人工数就必然不真实，让我们来看看是不是？
2.1 虚数开始是数学家的玩具
古代的数学家也和我们一样，也玩24点，意大利米兰有个数学家叫做卡当，出了一个题，能否把10分成两部分，让它的乘积为40？他给出的答案是，https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7FMdMPopEq9WSIzJ3HZibLHHuRZgGETM3HrD4iavL4KjGSTYTasgvdZrw/640?wx_fmt=png ，这里负数第一次出现在了根式里，不过就好像几何题划的辅助线一样，虽然参与运算，但是并没有意义。数学家也不可能给辅助线专门定义一个概念。
2.2 虚数似乎没有充分存在的理由
虚数 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7bwhgvvQ6ic7d4ONFBZic9JIf6xWZaYuW9iaK1icuCgJZOib6PMticPv5IU0Q/640?wx_fmt=png ，这个就是 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Y34GgYHicnyAn9jEoFibsr9ZdZiaGEpgx2SEEQ90lcKfeK0DoibFs7jEIQ/640?wx_fmt=png 的定义。
听它的名字就感觉它是“虚”的：
[*]从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”
[*]从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”
[*]从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度√2 ”
[*]从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。
看起来我们没有必要去理会 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7og8h6lzLMCCPD5hibFjnZMiaIfnyckPfCW45bhIxJAGiaovecgIvIEVYA/640?wx_fmt=png 到底等于多少，我们规定 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7og8h6lzLMCCPD5hibFjnZMiaIfnyckPfCW45bhIxJAGiaovecgIvIEVYA/640?wx_fmt=png 没有意义就可以了嘛，就好像 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7cOAzrdpTTIeDZiccDf7VbYeE85mM55AfNdGkgzWCUIShuODpOpGKsWA/640?wx_fmt=png 一样。
我们来看一下，一元二次方程https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7sB1v6X5zaNkWsy0v8fARp4mfNaCXNich5eXPib2H5p9qguh2iaCdxLXQw/640?wx_fmt=png 的万能公式：其根可以表示为： https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7D949EsdjgpDTicebEc3etD2d4FeoMSg1ibv1ol3cWA6EoMPyvxa0riaqg/640?wx_fmt=png ，其判别式 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7mgcT7Kv30fgofsUCZgcjvlibcSpfth7E78OqjD9FoRprBAS5YJvO7zQ/640?wx_fmt=png 。
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Imhvv7Xfk18KgRBEkjtQ83vA75ttVQKvGUpNuxf7lk5Zxj1xD9X7MQ/640?wx_fmt=png ：有两个不等的实数根
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7jg24UIicS8GpAwtePFCD3bjJOjkFZBz42lA4TCiaSdBnxvAFZZUDiaia8A/640?wx_fmt=png ：有两个相等的实数根
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7DbGse7P2EDycGARHibLoenFcaqSBLcmg0hv7cVibsAMlyqm5kwL9YrFQ/640?wx_fmt=png ：有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？
数学家很吝啬的，不会为这点微不足道的好处去增加概念。虚数如果只是让开方可以封闭，运算出来的结果还是虚数，这个理由不充分。
对于数学而言，概念、公理越少越好，越少数学的根基就越稳固。欧式几何的五个公设，两千年来数学家都在企图去证明第五公设，只为了减少一条公设。
2.3 虚数是解一元三次方程的必须工具
我们再看一下，一元三次方程 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Nq0foy8kutkkNxNRFVRtpHM2ShL7vnloMAZJEoI9icKribfzYu1fxDUA/640?wx_fmt=png ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考维基百科，但愿大家能够打开。
我们讨论一下 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7R0H6S4vTcvwfppIqD770fVqbKqQZ7FNAh4dF06Ahl6ibqOe3GevCylQ/640?wx_fmt=png ，此时，一元三次方程可以化为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7XbMcgDT5Xk2lsWn7rJV8OBYjJBKfvkGrIuNy8XzAQt1vPgzGxy7vUg/640?wx_fmt=png ，其根可以表示为：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7FuB0Xwtvh5A0If7icLdTBibVdMK5Sk6tticOHgia4nzKgNZQBfxD9t9pfQ/640?wx_fmt=png
其中 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7erZXfwT0r8gLOmRWkMwkibneFsJsH7SiaVmLWaN6iasIe84k6ia94Pa5tw/640?wx_fmt=png 。
判别式为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7rsoZwDz2xDHwzAHqTsUicLJpNH9qNZwntk6xD1HEYRO7lR5WajezBgA/640?wx_fmt=png ，注意观察解的形式， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7xJTd4AywQdLicF9wjAKiapUfGlxVq15ViaWicZJdasuDUMWHwr7SVPehwg/640?wx_fmt=png 是被包含在根式里面的。
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Imhvv7Xfk18KgRBEkjtQ83vA75ttVQKvGUpNuxf7lk5Zxj1xD9X7MQ/640?wx_fmt=png ：有一个实数根和两个复数根
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7jg24UIicS8GpAwtePFCD3bjJOjkFZBz42lA4TCiaSdBnxvAFZZUDiaia8A/640?wx_fmt=png ：有三个实数根，当 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7stB9gpoOdhHHBmicxMezLPbbEh88qJicUAToJPsibjugDCslshtciaAp2g/640?wx_fmt=png ，根为0，当 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7sRM8PRhV7A1uQYYuLLmciaTdAg4tS89ichTjpTX9e9ptBcQUqLy4Qy6g/640?wx_fmt=png ，三个根里面有两个相等
[*]https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7DbGse7P2EDycGARHibLoenFcaqSBLcmg0hv7cVibsAMlyqm5kwL9YrFQ/640?wx_fmt=png ：有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS70Byomhule8NDodvMIwI2micjqZUjZvEcZu3u8nLS3KFlXib0AMopib0Vw/640?wx_fmt=png
要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？会不会这只是求根的方法之一？这个也被证明了，确实需要通过复数来求解实数根。
求解方程组，确实让人觉得虚数是一个必要的数学工具，但是还是没有揭开它的本质，还不足以让其登堂入室。
2.4 虚数真实存在的理由
这个必须从泰勒公式的收敛性说起：
泰勒公式的收敛性直观来说就是泰勒级数（即泰勒公式展开后的级数）的函数图像是否能够贴合原函数，这个和泰勒级数本身的收敛性有关。
2.4.1 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7u4AfBzthhibjorbuReS3gGmsia87sjcQzoVWhoqaqOly5rmKDwsR5EPQ/640?wx_fmt=png 的收敛性
在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71jr9icNv4wN6JIRpttzibvKTeuo1nyOWEw8QOvmDPnfM9WXIRDPeMV7Q/640?wx_fmt=png 点泰勒展开， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7wBpdcjM41lURvJicFibiaPRXufIbia6lBsTjSHPE5Zat3mnicgMUQwgcYHA/640?wx_fmt=png ，级数的收敛范围是https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7nhphSpKeyxfb63r60rah2Y7jeGOHAGyhVvUiasicTAPjQgxRP4cWk88Q/640?wx_fmt=png ，如图，用 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ptMKAeJToNXibXSs8IHFibKa8PrpJm9ERlib860LiaXJou5vZPpjvStP8Q/640?wx_fmt=png 来表示展开的阶数（阶数即泰勒级数里面求导的次数，或者可以理解为级数多项式的最高次数)：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS70j7a8yPreOcTP9GEgYVXcCgSicicHxhkoUPDWCyZqYiaCFqFFw3ERyLoQ/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7kU8C8q9ia2TLDzDzAQ8AWRCczs924iaXxZDRkHWATRibLjZnu2GpMe8nw/640?wx_fmt=png 的泰勒级数在整个实数范围收敛，展开的阶数越多，对原函数的贴合就越好。
2.4.2https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7xpopViattxoib8a8pEsWU5AqF0lYvCVoU0uuf7YlEn6iceT55PR4aO2icw/640?wx_fmt=png 的收敛性
在https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71jr9icNv4wN6JIRpttzibvKTeuo1nyOWEw8QOvmDPnfM9WXIRDPeMV7Q/640?wx_fmt=png 点泰勒展开，https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ud7GibHU995micGibrgOibz7a80gW2xibib3F2wyiaPibQ37aj1f8jQ1wZxicSQ/640?wx_fmt=png ，级数的收敛范围 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71Klzy4bpwZaib3sRTj73HFA5efyWWMZKyQszUDs3YMkOFGzMVPE4XKw/640?wx_fmt=png ：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7GrbKJavcXAImHEYL8swgoYCFeMzS8PmtJxs0cgevQvRJ1ialLPbLsUA/640?wx_fmt=png
从图中可以看到，泰勒级数在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71Klzy4bpwZaib3sRTj73HFA5efyWWMZKyQszUDs3YMkOFGzMVPE4XKw/640?wx_fmt=png 收敛。超出这个范围，泰勒级数的图像就远离原函数的图像。
在https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS77bS2sTUsWkoutAs9r5PvibicZkuiaoyDYbrnLg9D7GBzJ0o0OumZJlcsQ/640?wx_fmt=png 点泰勒展开，https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Xibyrv80MP5ILrYBusA0vz6jou9rdn7PKNmPyvfSykKG4ElGmnaXlyg/640?wx_fmt=png，级数的收敛范围 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7mEMWxqFIaeosmZ8gJ9UkicNufZxJMhgCeTaU6W61kyjiaVMMzicuzpZNw/640?wx_fmt=png：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7t14C3aO6zuS1KXyVIEExZNBLEibNpc76q9BnSKSHZH25nNwknxunNEQ/640?wx_fmt=png
从图中可以看到，泰勒级数在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7mEMWxqFIaeosmZ8gJ9UkicNufZxJMhgCeTaU6W61kyjiaVMMzicuzpZNw/640?wx_fmt=png 之间收敛。超出这个范围，泰勒级数的图像就远离原函数的图像。
对比这两个展开的收敛区间，我们看不出什么特点出来，我们以收敛范围作为直径，展开点作为圆心来画下圆（这个圆被成为泰勒级数的收敛圆）看看：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Yia34LasHEiaaic363ZnjmTnvia1DLSgnYoziaDAIibKJKUjX0icE1G3HefUA/640?wx_fmt=png
在不同位置展开的泰勒级数的收敛圆都相切于 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7QQibO3GkrwGiccOTU8Fiax3yt4YXwk3Asz0UibSqrzygQviaf04ghlXg4CQ/640?wx_fmt=png 这根直线。
解释一下原因， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7xpopViattxoib8a8pEsWU5AqF0lYvCVoU0uuf7YlEn6iceT55PR4aO2icw/640?wx_fmt=png 有一个奇点，即 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7QQibO3GkrwGiccOTU8Fiax3yt4YXwk3Asz0UibSqrzygQviaf04ghlXg4CQ/640?wx_fmt=png 的话，有 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7fNOjITMzB7o5bZuzwgibDt6jibBxCHTW4DMl7QQibeyCTzhejibBB49uRQ/640?wx_fmt=png 没有定义，而泰勒级数的图像会以展开点为中心对称（容易验证，级数不是奇函数就是偶函数），所以如果在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71jr9icNv4wN6JIRpttzibvKTeuo1nyOWEw8QOvmDPnfM9WXIRDPeMV7Q/640?wx_fmt=png 点展开的话，因为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7QQibO3GkrwGiccOTU8Fiax3yt4YXwk3Asz0UibSqrzygQviaf04ghlXg4CQ/640?wx_fmt=png 有 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7qbMY9kTicfSicHTXxPwcibQ2LRxS4eib7HUyrpHov7K0WDh1267QGmrHQg/640?wx_fmt=png ，所以对称的位置 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7lSx59Z9tiaEEJlSdewuICrG6K9Lib990xrRBKcxHFTVUzaNZNpZEHPEQ/640?wx_fmt=png 有https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7e4icV6rpX83IicK5BALlH3z4P0WsBaJib7SkyGZxUMF5PlazjiclyVyTcQ/640?wx_fmt=png 。同理如果在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS77bS2sTUsWkoutAs9r5PvibicZkuiaoyDYbrnLg9D7GBzJ0o0OumZJlcsQ/640?wx_fmt=png 点展开的话，因为 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7QQibO3GkrwGiccOTU8Fiax3yt4YXwk3Asz0UibSqrzygQviaf04ghlXg4CQ/640?wx_fmt=png 有 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7qbMY9kTicfSicHTXxPwcibQ2LRxS4eib7HUyrpHov7K0WDh1267QGmrHQg/640?wx_fmt=png ，所以对称的位置 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71jr9icNv4wN6JIRpttzibvKTeuo1nyOWEw8QOvmDPnfM9WXIRDPeMV7Q/640?wx_fmt=png 有 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7e4icV6rpX83IicK5BALlH3z4P0WsBaJib7SkyGZxUMF5PlazjiclyVyTcQ/640?wx_fmt=png 。
数学总是有道理的对吗？
2.4.3 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7cWvtq9mkyGxgq1WKAzpEJZLIslTged9icXlatHLVmGA5kstiblc2RYzg/640?wx_fmt=png 的收敛性
在https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71jr9icNv4wN6JIRpttzibvKTeuo1nyOWEw8QOvmDPnfM9WXIRDPeMV7Q/640?wx_fmt=png 点泰勒展开，https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7o2F8Xr5AibmyWS6qW1sicsMqt50BytTzLNpg0IpufgRa6FzEhkNzHn9g/640?wx_fmt=png ，级数的收敛范围 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71Klzy4bpwZaib3sRTj73HFA5efyWWMZKyQszUDs3YMkOFGzMVPE4XKw/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS78nokJN2Dv75rvRFjIibe9jxyNLt2oMnfcGicD0DK9NXEFDJS39D0mvyQ/640?wx_fmt=png
可以看出， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7CcMMeibU7PwSk6DIq86CqRNNLZx4KJo6FreNepXUiaj1WQenktys0uDA/640?wx_fmt=png 很奇怪的在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS71Klzy4bpwZaib3sRTj73HFA5efyWWMZKyQszUDs3YMkOFGzMVPE4XKw/640?wx_fmt=png 收敛，可是 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7CcMMeibU7PwSk6DIq86CqRNNLZx4KJo6FreNepXUiaj1WQenktys0uDA/640?wx_fmt=png 本身并没有奇点啊？
在 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7QQibO3GkrwGiccOTU8Fiax3yt4YXwk3Asz0UibSqrzygQviaf04ghlXg4CQ/640?wx_fmt=png 点泰勒展开，级数的收敛范围 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7pgbRx7sC0xq4ia5a8ll8WxiaNyr3kPOibfNtbibia7hdyDlAic8fzWxf6zlA/640?wx_fmt=png ：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ErWxhWwK9kUE9Z50OSx1YGQm8YF4oNyMWOcic65zsJLdiaS2kRZ74BcQ/640?wx_fmt=png
可以看出， https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7CcMMeibU7PwSk6DIq86CqRNNLZx4KJo6FreNepXUiaj1WQenktys0uDA/640?wx_fmt=png 在https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7pgbRx7sC0xq4ia5a8ll8WxiaNyr3kPOibfNtbibia7hdyDlAic8fzWxf6zlA/640?wx_fmt=png收敛，仍然很奇怪。
对比这两个展开的收敛区间，看不出什么规律来，同样的画下收敛圆看看：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7pv2zxwsPyAArwVzicxX3icTZGEK8AOzpuKib0ib7hZ96E2PH8PU88N3J1Q/640?wx_fmt=png
注意两个圆的交点是 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7ADJlJnqTmNkG6PEZRykTWSxia2H6rRmbcmlDdOABTtO1yNKgwGVL7RQ/640?wx_fmt=png 或者放到复平面上去就是 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7xnC20ic7dS6oB3bC7DjcNgPbmA3x6b37lqSDWtWSD2ZceFRRhNaiaOMw/640?wx_fmt=png 。这并不是巧合，确实是和虚数有关。
很长时间数学家都不知道为什么 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7CcMMeibU7PwSk6DIq86CqRNNLZx4KJo6FreNepXUiaj1WQenktys0uDA/640?wx_fmt=png 收敛范围这么奇怪，直到虚数出现之后，大家才知道 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7kWO0Mvb5ibZjic0icX4ksy0EYu8xaO7FQSibropYk0CzCLvzuWnAcTWa8g/640?wx_fmt=png 的话，有 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7RtzYuj2YZ5Pp83AMxaDZ12Gl7Hv3Pxh5l57rjRuplTc4w8x23BPibRQ/640?wx_fmt=png 是个奇点！
整个推论过程从头到尾就没有出现过 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Y34GgYHicnyAn9jEoFibsr9ZdZiaGEpgx2SEEQ90lcKfeK0DoibFs7jEIQ/640?wx_fmt=png 的身影，最后却不得不考虑 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7Y34GgYHicnyAn9jEoFibsr9ZdZiaGEpgx2SEEQ90lcKfeK0DoibFs7jEIQ/640?wx_fmt=png 。泰勒公式也使得数学家不得不认真面对虚数这个问题。
数学还是很讲道理的对吗？
泰勒公式的收敛性不得不让我们这样去考虑问题，虚数是真实存在的。我们长期习惯了用实数去思考数学问题，直到我们发现实数只是真实存在的复数的一部分。把实数比作三维空间，复数就是四维空间，泰勒公式就是生存在四维空间的动物。当我们在实数范围内研究泰勒公式时，我们发现它的行为好奇怪，最后才发现原来这不过是它在三维空间的投影。
实数是复数的一部分，用实数去研究数学问题并不是说不正确，就好像用牛顿力学在微观领域没有建树，但是去研究宏观物体仍然适用一样。只是我们应该看到更大的一个世界。
3 结论
虚数是人工设立的一个概念，没有现实的对应物，但是我们不能认为它不存在，是虚构的。就好像每天我们要喝的水，我们知道他是由 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7fPCWMutntdtj31JGlQ04iaxnTRgJgnzJVQAkaicbJ10CF7SMxAm6FicLA/640?wx_fmt=png 组成，可是谁见过 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7IgXCfkOADXp4WMn4AgrPmzU0z8O8J0X2Zv22WjgH725dhQscWQxGwA/640?wx_fmt=png 究竟是什么？目前对原子的了解也只是停留在数学方程式上，到底是什么样子我们也不清楚，但是肯定不能说 https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/7ibFSuc91QWubT3M01uicx0YRMCqbg4RS7IgXCfkOADXp4WMn4AgrPmzU0z8O8J0X2Zv22WjgH725dhQscWQxGwA/640?wx_fmt=png 不存在。
本文由超级数学建模编辑整理本文来源于公众号：马同学高等数学原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/LeHvQHH01xMj3OLeaB638Q
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