朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程
朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程2018-03-29
中国科学院数学与系统科学研究院
挪威科学与文学院决定将 2018 年的阿贝尔奖授予 Robert P. Langlands（来自美国普林斯顿高等研究院） 表彰其提出的关联表示伦和数论的前瞻性纲领。
Langlands 纲领预言了自守形式与伽罗瓦群之间紧密而繁复的联系。 类域论堪称二十世纪前三十年代代数数论取得的伟大成就。这项理论是对高斯二次互反律进行的大幅度推广。它提供了一系列强大工具，用于研究关于交换伽罗瓦群的诸多问题。非交换伽罗瓦群的相关理论被证实要深刻得多。1967 年，在写给 AndreWeil 的一封著名书信中，Langlands 提出了一项影响深远的纲领，彻底改变了人们对于这个问题的理解。 Langlands 关于联系伽罗瓦群表示与自守形式的认识涉及了一项出人意料的奠基性观点，这种观点现在被称为“Langlangs 函子性”。Langlands 函子性的首要观点是通过 L 函数联系约化群的自守表示与对偶群的伽罗瓦表示。Jacquet 和 Langlands 运用Selberg 的迹公式首先证明了 GL(2) 的函子性。Langlands 关于 GL(2) 基变换的工作证明了更多情形的函子性，为 Wiles 证明 Shimura-Taniyama-Weil猜测的重要特例起到了作用。GL(2) 是最简单的非交换约化群。为了进一步研究一般的非交换约化群，Langlands 认为需要建立一种稳定性迹公式，此公式现已被Arthur 建立。此稳定性迹公式和 Ngo 证明的“基本引理”（由 Langlands 提出猜想），导致了对典型群自守表示从一般线性群角度的内部分类。 函子性大幅统一了包括椭圆曲线模性和Sato-Tate 猜想证明在内的大量重要研究结果。另外，函子性还进一步促进了很多尚未解决的猜想的发展，如 Ramanujan-Peterson 和 Selberg 猜想，以及关于 Zeta 函数的 Hasse-Weil 猜想。
尽管目前仍未突破数域上约化群函子性的难题，但经过包括菲尔兹奖得主Drinfeld、Lafforgue 和 Ngo 在内的多名专家的共同努力，这项工作已经取得了重大进展，这一切都离不开 Langlands 纲领的启发和指导。Langlands 纲领还在新的方向上不断发展，如局部域和函数域上的 Langlands猜想和几何Langlands 纲领。Langlands的观点和理论提升了自守表示论的地位，使其在其他数学领域发挥具足轻重的作用，远远超出了包括Weyl 和 Harish-Chandra在内的先驱们的想象。
下文“朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程”，作者：孙斌勇，节选自《紫光阁》。朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程
在1967给数学家安德烈·韦伊的信中，数学家朗兰兹提出一个著名的猜想，现称为朗兰兹互反猜想。这个猜想后演变成朗兰兹纲领，在过去几十年对数学的发展产生了极大的影响。
背景介绍我们认识数学基本上都是从整数开始的，然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支 - 数论，就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，费马大定理等。
几何同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何，这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来，代数几何的发展非常迅速，大家辈出，在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。
群论的产生只有一百多年，源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程，一元三次方程和四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支――群论在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌，影响几乎遍及整个数学，在物理和化学及材料科学中有很多的应用，是研究对称的基本工具。
朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支：数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数，被称为L-函数。L-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究对象。数学界著名的七个“千禧年大奖问题”中有两个就是关于L-函数的，它们分别是黎曼假设和BSD猜想。它们的重要性由此可见一斑。
朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗华群的一些表示的L-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。朗兰兹纲领研究在中科院数学院 自朗兰兹互反猜想提出起，朗兰兹纲领就引起了众多数学家的兴趣。目前，几乎所有顶尖的欧美大学数学系都有人研究朗兰兹纲领。
上世纪末，朗兰兹纲领及相关课题的研究在中科院数学院逐步发展起来。现在，中科院数学院已经拥有一支研究朗兰兹纲领的年富力强的团队，并取得了一系列重大成果（其中，前两项是和国外数学家合作完成），最突出的有以下几项：
1. 证明了Theta对应的三个最基本的论断。罗杰·豪尔开创的Theta对应理论有三个最基本的论断，分别称为豪尔对偶猜想、重数保守猜想和库德拉-拉利斯守恒律猜想。
2. 完成了重数——猜想的证明，并证明了一系列与此相关的重要唯一性定理。
3. 对亚辛群系统研究了迹公式，特别地，建立了亚辛群的迹公式椭圆部分的稳定化。
4. 证明了卡日丹和马祖尔在上世纪70年代提出的一个局部zeta积分非零的假设。
团队介绍 十几年前，数学院陆续引进了一批在朗兰兹纲领研究领域工作的杰出青年人才，如毕业于哥伦比亚大学的田野、加州理工学院的王崧、香港科技大学的孙斌勇、法国巴黎七大的李文威、巴黎十三大的田一超、巴黎十一大的郑维喆、胡永泉、申旭等。以这些青年科研人员为主，数学院组建了“算术代数几何杰出研究组”，目前这个团队是国际上同领域最强的青年研究组之一。近年来，团队已取得了一批重要成果，多篇论文发表在数学国际顶尖期刊《PNAS》《Ann of Math》《Invent Math》《JAMS》等。
转自：《紫光阁》杂志
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