隐藏在文化脉络中的数学简史
2018-01-04 遇见数学 量子学派「第一代的计算工具/方法/成就」文字包括数字
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文字与数字考古学家认为，计算行为早在发明文字之前就开始了。数和语言，同为人类文明的滥觞。目前所知的不同人类语言有六千多种；所有的人类族群，不论从我们的观点看來是多么原始，都已经发展出语言。当一个族群的社会活动复杂到某种程度，就难免需要比较精确地记录数和语言。于是有几个古老文明创造了文字來记录语言，其中记录数的文字，便是数字。
数字出现于最早的文字遗迹中。若说创造文字的动机之一是为了记数，也许并不过份夸张。现在可考的最早文字，是大约五千年前苏美人遗留下來的。这些古老文件的内容几乎全是帐本，写着采买、分配或管理的记录。
人们常说，文字是创造文明的关键。计算未必需要文字。但是，没有文字，就没有一套记数的符号系统，于是无法进行复杂的计算。至少就科技文明而言，计算可能比文字更为关键。观察没有数与计算的族群部落，都无法精确地测量与管理，也无缘创造出探究科学与技术所需的基本数学工具。没有计算，甚至于没有文字，都仍然可以有诗歌、宗教、政治等文化行为 (例如美洲的印加与马雅文明)，但是不容易有科技文明。
对位记数系统
计算方法和记数系统是唇齿相依的。采用了某种符号系统來记录数，就必须迁就那套系统來创造计算的方法。现代的小学生，以纸、笔、橡皮擦和十进制数字当作辅助计算的工具，而以「直式演算」当作计算的方法。
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△罗马数字记数系统
兩千年前的中国人，设计以竹签的排列方式來代表数字，称为筹。针对一到九每个数字，各有纵、横兩种筹，共计十八种。因为当时用空位代表零，所以发明纵横两式来避免忽略空位。古人约定以「一纵十横，百立千僵」的顺序來摆筹，也就是纵筹、横筹交替出现的意思。这样，如果看到连续两个纵筹，就知道中间至少有一个空位。又过了一千年，才发明算盘。这时候，每个数的位置以一根杆子代表，当然就不会忽略了空位。筹和算盘都是人类为了辅助计算而发明的工具，配合这种工具而发明的计算方法，分別叫做筹算和珠算；这些计算法经常是以口诀带領一系列对筹或珠的拨弄动作。有人說算盘是史上最古老的计算机，但是算盘只能记得被计算的数：资料 (data)，不能记得计算的步骤：程式(program)，因此不能自动执行计算工作。
第一代计算成就: 以圆周率为例古人用筹或沙盘，解决了什麽计算问题呢？这裡举一个例子。世界上各个古老文明，都发现圆周长与直径的比例为一常数，称为圆周率，记做 π。2250年前，希腊人阿基米德用圆内接或外切正多边形的周长來估计圆周长。当边数够多的时候，多边形周长差不多就是圆周长。当边数趋于无限大的时候，内接正多边形的周长就收敛到圆周长。
五百年后，三国时代的山东人刘徽，在他的《九章算术注》里面也讲解了和阿基米德德一样的想法，并称之为割圆术。他說『割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割』！刘徽计算到内接正 3072 边形的周长。再过两百年，南北朝时代的南朝人祖冲之，更割到一万多边 ，且以九位数计算，提出一个漂亮的估计值 (密率)：355/113 . 若有一个直径10公里的圆，以此估计值计算的周长只比真正周长多了3毫米。这种准确度一千年的世界第一. 刘徽和祖冲之都是用筹算来完成计算的.
「计算方法的跃进: 微积分 Calculus」微积分创立后对数学和科学产生巨大影响
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发现了无穷的秘密第十七世纪，连续几个具有超凡智慧的数学巨匠，降临西欧。这些人不但开创了自动计算机，也在数学上首度超越了古希腊的成就。其中一支数学，接续了阿基米德的工作，创造出一套超高效率的计算方法，惊人地化简了许多复杂或大量的计算问题，今天统称为微积分。
利用微积分，我们发现许多圆周率的算法, 比如:
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有了微积分, 圆周率, 正弦函数与对数函数表, 还有很多许多科学与工程计算问题, 都能找到类似的算法:以某种明确的程序, 重复执行简单的四则运算. 只要恰当地设计, 机器也可以计算原本需要高度数学知识的问题. 于是, 许多人开始设计更复杂的机械型计算机.
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△Leibniz Machine(1672) 与 Pascal Machine(1642)
微积分发现者之一的莱布尼兹也设计了一部，可以做整数的加减乘除。此后的各种设计，不绝如缕。但是不论多么复杂，还是只能做几种固定程序的计算。到了十九世纪，才由 Babbage 开始了下一代的设计。
现代计算机真正的鼻祖巴贝奇(Charles Babbage)英国维多利亚时代最杰出的人物之一, 大约在 1832 年，他領悟到：一台理想的计算机，必须能够依指令改变其执行程序。也就是可变程式的概念。这是个前所未有的伟大理想。他立刻埋首在他设计差分机的基础之上设想出一种分析机(Analytical Engine), 可以运行包含“条件”、“循环”语句的程序，有寄存器用来存储数据，不过与差分机同样没有完成.
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Babbage 的分析机直接成为后来各种计算机的设计蓝图. 由于技术的进步, 在他身后不久, 就有人制造出来这种机器.
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