在双曲几何的世界里，如花也可以和秋香一样美
在双曲几何的世界里，如花也可以和秋香一样美2018-01-05
罗克
中科院物理所
撰文：小灰狼罗克
编辑&审校&插图：皮皮卤友情客串：大卫人物介绍：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542Pqcr0ic4TYZb3zmGZiaZiaOUu5Re0RZibRjVfcL0VXL6NnbVxJflEsBiaeMS9GWwsWic36s1hj3AT3XBPA/?wx_fmt=jpeghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaG3iadylJ7hl152Jia5FvicjvLxQjUDjLZ47569DYLkoOZ25B5VMEkveEDA/?wx_fmt=jpeg
皮皮卤，大卫和罗克最近共同研发出了一个二维空间机器（也就是允许在不同二维空间之间进行转换）。说是共同，其实三人是有分工的。大卫，作为理论物理专业的博士，具体负责原理推导等理论计算； 皮皮卤，动手能力强一点而且又做过大量的物理实验，自然承担机器的具体制作； 而罗克， 热衷于几何画图，所以他就义不容辞的去负责机器设计。我们来看看这台空间机器：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaG7obNic1o41Hj84t1VcJ4GicQPkHYymQ6o0UrHibV3BKUKzWhibn91mxKpg/?wx_fmt=jpeg如有雷同，纯属巧合^ _ ^
大功既成，他们当然得试试机器是否真的能正常工作，不过问题就在于谁愿意当一名志（shi）愿（yan）者（pin）呢？
罗克道：“我是狼，我要抓只羊回去宰了炖羊肉汤喝。没空！”皮皮卤道：“我八字带‘卤’，得抓紧时间做卤肉，否则在国外没有夜宵吃。没空！”大卫道：“我又名大胃，前两位兄台做的菜我全都要尝尝。没空！”
嘴上这么说，但更重要的原因是他们对自己的产品也不是很有信心。此外，这三人都是三维生物，就算人人都争当敢死队，也没法在二维空间中自由穿梭。
于是，他们同时想到了蟑螂小强。
在《小三角，大学问I》中，小强在罗克的帮助下，成功捕获了翠花的芳心。此后他每天是过着纸醉酒迷的生活，好不快活，这让罗克看在眼里伤在心里（罗克心想：我还是单身呢，你得先富带动后富啊！狗富贵还勿相忘呢，何况你只是个小强！）。于是罗克通过和大卫、皮皮卤协商，共同决定把这个光荣的任务交给小强——要知道就算出现意外，小强毕竟号称“杀不死”，也是不会出问题的。
一只二维的生物在三只三维生物的合力施压下，只好屈从。 实验过程：见后文。实验结果：小强回来后就疯了，每天神神叨叨的，说些诸如三角形内角和不等于180度，过已知直线外一点是可以做无数条平行线等极其荒唐的话。 既然这一切罗克等人是罪魁祸首，更何况解铃还须系铃人，小强的心理疾病只有罗克能解，罗克只好兼任一次心理医生喽。于是，罗克买了一瓶产自于波尔多的红葡萄酒，叫上了小强，边喝边谈（皮皮鲁和大卫联合抗议：罗克，这么好的东西不拿出来与民同乐？）。
预备知识：几何与拓扑
在罗克对小强进行心理治疗之前，我们先大致介绍一下几何和拓扑的基本知识。要知道虽然几何和拓扑都是数学中研究“形”的分支，但它们的思维模式是有很大差别的！
在《小三角，大学问I》里我们提到过拓扑（Topology）。在拓扑学里，一个物体经过变形，只要没被拉断，我们就可以把它看成和原物体等同。于是数学界里常说：拓扑学家是不能区分杯子和甜甜圈的人。几何则刚性的多，大小、凹凸性（曲率）等都是至关重要的几何特性。
为了能让小强听懂，罗克一本正经的说道：“理解几何与拓扑的差别还是蛮容易的，其实我们日常生活常常涉及。比如，如果罗克和大卫在讨论班上某某女孩很漂亮，那他们一定是在几何意义上谈论的，因为如果那个女孩鼻子稍微小一点，脸稍微大一点，可能就不能称为漂亮了”（皮皮卤吐槽：原来你们都是这么学数学的，难怪这么厉害！）。
但是，如果小强告诉罗克说翠花很漂亮，那小强可能就是指在“拓扑意义”上，毕竟情人眼里出西施。事实上，在拓扑学家眼里，每个女生都和西施一样美，因为都有眼睛，嘴巴，鼻子等，虽然有些胖，有些瘦，有些高，有些矮，有些脸上有痘痘，有些带有一颗美人痣，但是，这些都可以互相拉伸变形到西施的模样，所以都是本质上都是一回事。所以如果以后各位的女朋友问各位他她漂不漂亮时，可以回答：“你在拓扑意义上很漂亮”，这个回答是由数学定理所保证的。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGrGa7VsUXoN17auQwPFDEDRoRHpLOX05OeQv5SBt7oKibyKabGNvuKWg/?wx_fmt=jpeghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGxZ7ibnmhzjfyuxHfvGiaUdLxhuotjg7NxcibSasAqnrqVZq3ibM04t6ceQ/?wx_fmt=jpeg在拓扑学家的眼里，任何人可以变成西施
几何学家则比拓扑学家现实得多。除了脸的变换以外，更加专业的例子就是三维庞加莱猜想（任何三维单连通封闭流形和三维球面等价）的证明。该问题是千禧年七大数学难题之一，被俄罗斯数学家佩雷尔曼证明。佩雷尔曼用到的方法更多的是几何分析的方法（核心思想是用到了一种叫做里奇流的准线性抛物方程，文献是一个相对概括却又有深度的介绍），一些拓扑学家至今还在寻找该猜想的拓扑证明。为节省篇幅，我们会在后面的文章中继续探讨几何和拓扑的相关问题。
欧式平面几何与非欧平面几何（之双曲几何）
小强并不关心什么千禧年万禧年数学难题，他只关心自己所生活的欧式平面。欧式平面就是通常的平面（例如一张白纸），也是小强的伙伴们感知的世界。二维欧式几何就是研究欧式平面上的几何图形的在平移，旋转，反射等变化下不变的性质的学科。一言以蔽之，就是中学阶段让不少小伙伴沉迷其中不能自拔的平面几何。罗克坚信大家在学习平面几何时，肯定是兴高采烈，废寝忘食的（皮皮卤和大卫保持沉默）：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542NyURDzbwGVd8ngmGaPBPlS5zsic1zic2eFG3yuFJZRslibxX3RWlbqHGTC9zIqeZ5ElenibgO1miaZATg/?wx_fmt=jpeg令人“兴高采烈”的平面几何题目。图片来自新浪博客
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/zdXeyAK542OL6qGUGictdPvrclyIuPRGPNopY3ibwB4j0gtJHEsXvibwS07y2dtZXCtO1eKicX2lAvBe55cOgP82qQ/?wx_fmt=png
非欧几何的产生则完全是源于人类对人类自身逻辑的奋勇挑战。逻辑学角度，欧式平面几何就是基于一堆默认的“事实”（数学上称为公理）外加一套默认的法则所演绎出来的一系列让人无话可说的事实。问题就出现在默认的“事实”里，作为有“洁癖”并掺有强迫症的数学家，他们当然希望默认的“事实”越少越好，总不能把所有见到的，想到的都用一句“这显然是事实喽”来作为回答。在探究最少公理数的过程中，几位伟大的数学家都发现了非欧几何。关于非欧几何的历史，请参考文献。
在这篇文章中，我们只涉及双曲平面几何（名字叫做双曲几何，是因为用坐标法去算两点距离时涉及到了双曲函数，在这里也不具体展开）。
理解双曲平面几何的基本模型（俗称: 庞加莱圆盘模型，Poincaré Disk）是下面这张图：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGf6rPPPCHzX2a8LnKGZeX3YgUXSnzQrsLZBjqYR3bnQuIibic7SO7cz3A/?wx_fmt=jpeg庞加莱圆盘模型——每一条“曲线”都相当于欧式空间中的“直线”，每条曲线与圆盘边界垂直
我们看上图（左）说话：摆在我们面前的是一个开圆盘，也就是不考虑圆边的圆盘。假设小强生活在这个圆盘上。首先，尽管这是一个巴掌大的圆盘，但是对于小强来说，这个圆盘足够大（准确的描述涉及度量，略去），他是永远走不到尽头的。 其次，当小强在这个世界里走直线时， 在我们三维生物眼里，小强其实是在走曲线，而这些曲线就是图上画的和圆垂直的圆周或者直线。同时，过已知直线外一点，有无数条直线和它平行（见上图右）。最后，小强生活的这个世界里的三角形内角和不是180度，要比180度要小，严格小，三角形的面积其实是（π-内角和）。
什么？数学家好无聊？其实并没有，下面这个玩意上面，如果采用我们通常熟知的度量（欧式空间的度量），就很接近双曲几何模型了。
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上面这个曲面又叫马鞍面（或者双曲抛物面）。当大家在骑马的时候，会想到它竟然和双曲几何有联系吗？好了，关于非欧几何我们就讨论那么多。放一张包含非欧几何特征的美图：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/zdXeyAK542OL6qGUGictdPvrclyIuPRGP9xjPfxQibXvHOcJIZOKzFTrVsnO0RibZuvvLPPYQSQA3e8jJRI2LOrRQ/?wx_fmt=png皮皮卤吐槽：罗克是狼，狼眼看世界久了，审美可能有些“出类拔萃”
我们对小强做了什么？
说真的，咱们其实并没有对小强做什么暴力的事情，我们只不过利用空间机器，把它从一个世界运输到了另一个世界，就好像黑洞所起的作用一样。
回忆一下，我们总是假设二维生物生活的世界是很“美好”的，所以我们刚刚假设的那个奇怪的圆盘世界并不在我们考虑范围之类。
小强能生活的美好世界理应是下面这样的：
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从左到右分别称为，亏格（也就是“洞”的个数）=0，亏格=1，亏格=2，亏格=3。咦，最后面这个？看头上的省略号就好，它表示，罗克省略了其他亏格>3的情形。
在数学中，亏格是一个非常重要的概念，因为亏格的数量在一定程度上决定了“世界”的几何和拓扑性质：
数学家的定理1：
亏格（“洞”的个数）=1的封闭（Closed）曲面上有一种几何，这种几何和欧式平面几何一样。
也就是说，小强在上面画小三角形，然后算面积，算内角和，得出的结论和在我们中学时一样，都是180度。除非小强手残，画的三角形歪歪扭扭。
数学家的定理2： 亏格（“洞”的个数）>1的封闭曲面上有一种几何，这种几何和双曲几何一样。
也就是在这些曲面（世界）中，小强会得到他那些神神叨叨的结论，比如，内角之和小于180度。
这些定理又叫做曲面的单值化定理（Uniformization theorem），其准确描述可参考文献。
小强并不关心数学定理，他更想知道怎样把双曲的圆盘模型转变成为亏格>1的封闭曲面。事实上这还和圆盘模型多边形镶嵌有关。以亏格=2曲面为例，多边形镶嵌是这样的：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGRr8wKxF8UW5ofeaZiaxH37HGfH3yH0OXcBdjadhgSpkUYYm0JKVpfMw/?wx_fmt=png在这个图中，我们用八边形填充了整个双曲圆盘
注意一下，在这里，每一个八边形内角都是45度角（事实上取八边形是为了方便，大家也可以把八边形改成三角形，见板块三），而且，如果小强生活在圆盘里，每一个八边形在他看来都是大小形状都是一模一样的。有了八边形镶嵌以后，取其中任意一个（因为每个八边形都是一样的），按照下面的规则粘贴相同颜色的边，就能得到亏格=2曲面：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/zdXeyAK542NyURDzbwGVd8ngmGaPBPlShskTVibRfoCjalfJNgZKO9ib41JItME3ia3rEpTkibUWomNDKt2RhPpOJg/?wx_fmt=png得到了两个洞的世界！
小强这下有点明白了。他立即反驳道: “如果我在通常的平面拿一个八边形按照图中的方法粘起来，也能得到亏格2的曲面啊？怎么能体现出双曲几何的特殊性呢？”
罗克对于小强的问题很是欣慰，回答道：“这就是问题所在，在通常的平面上，多边形的内角和公式限制了八边形不可能每个角都为45°，这样粘出来的曲面虽然拓扑上和上面这个一样，但是如果你（指小强）站在点A， 你得到的各种几何结论和站在曲面上其他点上不一样的。试想一下，你站在一个地点觉得翠花很漂亮，当你离开这个地点之后，发现翠花长的像一头猪，这就有些尴尬了。所以我们不想要这样的世界，容易引发生活大战。”
听了罗克的肺腑之言，小强简直不能同意更多了。趁热打铁，罗克留了个习题给小强： 为什么甜甜圈（亏格=1的曲面）上可以定义欧式几何？（答案参考《小三角，大学问I》）
罗克微微一笑，深情的望着小强，问它：知道空间机器对你做了什么吗？ 小强若有所悟的说：难道把我带到了另一个世界？ 罗克哈哈一笑：“其实原理很简单，空间机器只是在你生活的世界多增加了一个洞而已。有漏洞的生活才是真实的生活！”https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542NyURDzbwGVd8ngmGaPBPlS14owEO2MhvMkxvw1Hga4VrFVC2AUgia38x3nmRfFhyiawKT1U7SGsNEg/?wx_fmt=jpeg用空间机器把欧式几何空间变为双曲几何空间
如何在现实生活中创造双曲几何？
双曲几何看起来很有趣，但是要注意，上面这一板块中得到的亏格2封闭曲面是简单粗暴地通过拓扑方法得到的。几何学家们比拓扑学家更在意细节，他们不认为上述方法能行得通。事实上伟大的数学家大卫希尔伯特用一个无情的定理，证明了上述拼接方法在几何上是行不通的：
数学家的定理3（希尔伯特-1901年）：
常值负曲率的光滑曲面不能被等距嵌入到三维欧式空间中。
该定理更准确的描述可参考，证明细节可参考文献或。由于庞加莱圆盘要想化身为一个圆盘“等距嵌入”（这是一个几何学家很关心的性质，因为这种嵌入保持夹脚不变）到三维欧式空间中，就必须保证曲率处处为常数，因此这个定理证明了三维欧式空间中不允许存在庞加莱圆盘这么炫酷的曲面。
希尔伯特的定理让罗克、大卫和皮皮卤这些喜欢异想天开，试图在三维欧式空间里创造双曲曲面的三维生物有些沮丧。不过难道我们真的就这么无能为力了吗？三角形也许可以近似地实现我们的梦想。说是近似，是因为我们只是能够在三维空间里造一些几何性质（不只是拓扑性质）很接近上面世界的二维世界。
大致方法如下： 首先，拿一堆一模一样的下面这样的三角形S：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGC7fvS8blibwh1iahgkUfOaMXTM71BiasCzpqb3tTt26w7uhLOgUZic5Z9A/?wx_fmt=jpeg然后，三角形的边和边相粘保证每一条边有两个三角形相邻（在（I）中我们讲了相粘的规则）。类似下图，沿着箭头把两三角形的对应边拼接起来：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaGna0Nm0c5ukMGsettqzibbuAnhnHKV6lDArzUGHvufaqAgBj16rUgaxw/?wx_fmt=png
同时也要保证每一顶点至少要有七个三角形相交。如此拼接，我们就能近似得到自己想要的曲面。
最后，在罗克道细心教诲下，小强的心病总算是治好了。但小强似乎并不满意，他嘟了嘟嘴，道：“ 罗克，我的心理疾病算是好了，可是，这次你怎么画这么少的图啊？”罗克悄悄的告诉它： ：“几何拓扑学第一要义：图很重要，至关重要，但是，一般是画不出来滴。就好比我、大卫和皮皮卤这些三维生物很难都想象出三维以上空间长啥样，只能用数学方法表达出来了。”https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/zdXeyAK542MI6y6sDJqNlTTtPSO4t6iaG9KaX5vwC3PEzsQMbFfAzvCtMIdExqae4xTNic7sK6BhCSa2vTxmhttA/?wx_fmt=jpeg
参考文献： Tao, Terence (2006). "Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective". arXiv:math.DG/0610903 . https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry. William Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, 1976. https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_theorem_(differential_geometry).
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