1=1+1？！这可能是数学史上最诡异的悖论
1=1+1？！这可能是数学史上最诡异的悖论2017-12-11
超模君
中科院物理所
本文来自公众号：超级数学建模
微信号：supermodeling
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MEvEicor0vdrZicITuJx8MHAdMCNQZDqFqhxJ9UvNBKOYHyv2suUicIl5w/640?wx_fmt=png今天超模君来给大家分享一个颠覆常识的理论——巴拿赫-塔斯基悖论（又称“分球悖论”）。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OjsSOibBH9N2Wy2iaABsDTPwtFRBicWeIEiaRh9ibbBbkZRSLaJCibdSX9Tjg/0?wx_fmt=pnghttps://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8Ml1HJxvRtOqtbFlueSKPlvfiaV8AKWuSUibTZK7KdAU5ibJO6d6Jc6RpvA/640?wx_fmt=png这个理论的具体内容是：一个三维的球体，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个与圆球体同等大小的球体。用一个成语来概括这个理论就是：
无！中！生！有！https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OF4IkflzblGiaWgia1rNYDoCviaPPIWemsMkaRG4OJdvmpWI822fSQfnCA/640?wx_fmt=jpeg
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MtoLYOyVktwkAhiaIkpHUl0eMmZQicCBn5MUW8TAFGOic9aEjVxeIRC40g/640?wx_fmt=png是不是已经有模友迫不及待地想知道到底是怎么回事呢？不要着急，在讲具体方法之前，超模君先讲两个例子，为后面更好地讲“分球悖论”做准备。
有一间世界闻名的旅馆，名字叫希尔伯特旅馆。旅馆里有无数个房间，每个房间里都住了一个客人。一天，有一名新的客人来到了旅馆，要求入住。但是所有房间都满了，该怎么办呢？
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MwolvPfKt34IvvGvFqmdSoicl5G7I52RqsQGNmlMhtNuO2VU8E3L5tzw/640?wx_fmt=png聪明的老板娘微微一笑，她让1号房间的客人住到2号房间，2号客人到3号房间……之后的客人都这么做。由于房间的数量是无限的，所以客人们都能够住到下一个房间中。就这样，1号房间空了出来，新客人也就心满意足地住进了1号房间当中。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OicO4sZNbYNgmfGJCa9nkwNJt44GVFFmazmzpib4KKAsKEvdibXUFqES1A/640?wx_fmt=jpeg
怎么样？是不是有点理解不能了？没关系，这个示例就只想告诉各位模友一件事：任何有限的数与无限做加减运算，其结果依然是无限。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MSk8JaQhW3Trg8fbHCKzPFgUceZrAKfMYPVv8xeg7aeNLHASM1TJPfQ/640?wx_fmt=png好了，离开希尔伯特旅馆，让我们再来看一本名叫超级韦氏字典的英语字典——这本字典包含了英语中所有的单词，只因为它的结构是这样的：这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在无限多个A之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……一直到条目为无限多个Z的序列。列表的话大概是这个样子：
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OkxWSXDrVM9ib9JFn8dEjLGhTFHTE7HKve0xxpkq0TQjvddHrib3WbUgQ/0?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwDaIz86fQbnTNCSLjnVf1ZFaf9sn4gPmvqvYkOA1iarhoygdiciafhaLaw/640?wx_fmt=png容易想象，这本字典是非常巨大的，但是出版商想节省原料，于是想出了这么一个办法：
将所有以A开头的序列分为第一卷，在这卷里面，所有序列开头的A将会不再印刷在字典里面，因为读者在使用时自觉地加上A这个字母。
但是出版商的这个做法，却产生了意想不到的效果：印在第一卷里面的序列，在省去A之后，这一卷依旧能够表示所有的单词！
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OjkFwL9EWX41NbAamCy6Dg70iaJsRJISw7U3293jx1bInzWTSZibD9ibmw/0?wx_fmt=png
也就是说，出版商仅仅用一卷，就分解了整部超级韦氏字典……
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwMUW9ibP3ItnhN88yBGSsHIerhIg8yVzsuddLoOQKSb6V1S2p7MuOd2A/640?wx_fmt=pngOK，请各位模友牢记这两个例子，接下来就是加速的时候了！（前方高能，不想烧脑的模友可以趁早撤退了）
“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，而我们选取的方法，就是让三维球体，变成一部超级韦氏字典。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhM85pJicdb6XrdytlJ6pAAlpG9qWMHBJPVfaC1bWLfYjeme9GfuJeS0jQDWyRJNzzuhB95V71RhGcA/640?wx_fmt=png那如何让球体变成一部超级韦氏字典呢？首先，必须给整个球体上的点，起一个独一无二的名字。取名的方法如下：选择一个起点O，然后以适当的长度（arccos（1/3））作为单位长度，让O一步步地移动。移动的方向只有四个：上（U）、下（D）、左（L）、右（R）。O每向一个方向移动一步，就记录一步，直到O不动为止，所列出来的序列就是O停下时所在点P的名字。（注意，由于选择了适当的单位长度，故除非原路返回，否则任意两个序列不会走到除极点外的同一个点上。）例如，O向上移动了一步，那么点P1的名字就是U；O向上移动一步，再向右移动一步，那么点P2的名字就是RU。（注意，记录时书写顺序为从右到左，因为之后的步骤需要我们这么做。）
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OQFZlksUH1Rt0WBIicBTfQLXbBw81vibEt5kCWw7APQialGBXH8icAPLWYw/640?wx_fmt=png
当然，这种命名方法还有个规则：就是不能够存在“原路返回”的序列——UD、DU、LR、RL，因为这样相当于点O根本没动。然后我们将所有可能的序列都列出来，球面上的点就变成一部超级韦氏字典了：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OAMXiapJrXEjeibHcDahBSicTZDODqgxt9vpzaPPdibSnxUKPNWNP8GPUdQ/640?wx_fmt=png看起来是不是很眼熟？
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MgibzR7pKEib7Q6pgIb1pbmZpSCAqYaqEfqJuvt8SPAA3dZLMq75k27Zg/640?wx_fmt=png但是用序列来代表点这样的方法有点太抽象了，有没有直观点的方法呢？我们可以来做这样一个分类：以最后一步为分类标准，将上述序列分成四类，每类分配一种颜色——U点（最后一步是向上走的点，下面的类推）为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhNk7LEtrP3zBb1XdUqiaAG8OicZTLRDb5oNbCD6A5sJghmtYso37T3PLD7Q4IIsM2q2Y7rESPVxGDug/640?wx_fmt=png就像这个样子
按照上述方法，我们将这些序列标注在球面上，每个序列都会得到一个属于自己颜色的点：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmffLBuwjM1dcsXf75c6L0ic4ebK5NHU9kMpjsKOlDAiaY1DHBtibX2QTvA/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MYOHSqR4GVJegnzNVpYDlIQ6qZL2zUTiaqF9Fc5OTAo05xzh5yytCmMw/640?wx_fmt=png这样的点有可数无限个，但是却并不能占满整个球面——因为球面上有不可数无限个点。（不懂可数和不可数无限的模友可以去了解下康托尔的集合论）那问题来了，该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢？
很简单，在没有涂色的点中，选一个新起点，然后将这些序列应用到新起点上，再给可数无限个点命名。重复这一过程，我们就可以将球面上所有点分成五类点：起点、U点、D点、L点、R点。按照之前的做法，我们分配颜色给这五类点：起点为绿色、U点为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MSk8JaQhW3Trg8fbHCKzPFgUceZrAKfMYPVv8xeg7aeNLHASM1TJPfQ/640?wx_fmt=png你以为这样就分类完了？不不不，还有一类点隐藏在这五类点其中，它们有很多个名字，我们必须将它们剔除出来，免得出错。
这类点的名字叫做极点。我们将这类点单独剔除出来，用黄色给它们来标上颜色。接下来，我们就可以来见证奇迹了！
所谓的极点，就是某个点运动到这个点时，无论在序列中添加左右或者上下，都不会变成第二个点的点。对于以左右（L\R）作结尾的序列而言，它们的极点是南北极点。当点运动到南北极点时，无论是向左旋转还是向右旋转（因为球面上点的移动的本质就是旋转），都不会产生新的点，但是在序列中却会产生新的序列，所以必须单独拿出来命名。上下（U\D）结尾的序列的极点则是东西极点。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MVgFaP7N1N01JVaD3naOH2vOy9u8Q7p3gOoRdqOfiaXr0mnUP90VJSlw/640?wx_fmt=png现在球体上所有的点都被标上了6种颜色中的其中一种，按照颜色来分类，球体则可以被分成6部分：起点部分 U点部分 D点部分 L点部分 R点部分 极点部分。因为每个点到球心的点列是独一无二的，所以只用点来代表就行。
当然，球心也需要单独拿出来，因为它是独一无二的。
拆分后的球体如下图：
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmcIdLE7OFDZXHebrejRCaUmvlEPkNSoaz0v8ibfJkk39FX89TYYG43sw/640?wx_fmt=png
OK，现在我们可以将 L点部分拿出来看看。
L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列，如果将L点部分向右旋转一下，序列会发生怎样的变化呢？
答案是：L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8Mb2a2vyQb0TebxmZBz9faSKCZC467uUmZsUlap8x3ib04cQo8lZr2HiaA/640?wx_fmt=png有模友可能会说：这怎么可能？！超模君在骗人吧？！
不是超模君在骗你，用前面超级韦氏字典的例子就可以解释这个现象。
如图，向右旋转L点部分，相当于在L点部分所对应的序列之后再加上一个R：https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmgp3KHfIdiaicL7lpAg5P7A7KeRBru1DjhzSMriaN4MVq9zRStL0OgQzKw/640?wx_fmt=png
前面说过，RL这样的序列是不允许出现的，所以所有序列的最后一个L都被抵消，但由于每个序列都是无限的，就好像超级韦氏字典第一卷那样，剩下的部分依旧可以构成代表U点、D点、L点部分的序列，而只有一个L的那些点，则因为被R抵消，还原回所有起点。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmIo5RJGxkSibjjNd0iaAvqMbCv5PEiaIa1GSw4YIlkWH3RtyJugdKUZRlg/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8Ml1HJxvRtOqtbFlueSKPlvfiaV8AKWuSUibTZK7KdAU5ibJO6d6Jc6RpvA/640?wx_fmt=png只是旋转一下，我们就得到了球体的四个部分，那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上，以及把球心放进去，就是一个完整的球体了——而且还剩下这些东西：
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmKI3kcuNibve0Fl4b1liagibcgYaOJs6ibMgUVK07zK5rMGTIZicyvuwvhibg/0?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8Mf5JOccu4GHs48qZ7otoCDl1HIjeP5WOR2Gq9qicWedxk0v4ek95Wf8A/640?wx_fmt=png这三个东西依旧可以拼成一个完整的球体。
我们把U点部分向下转动，与前面向右旋转L点部分相类似，U点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列，还有起点的序列。
但是起点部分还没有用上呢？怎么办呢？
不要紧，把序列U所代表的点先行移到 D点部分，然后再对整个U点部分进行旋转就行。可是我们会发现，先清除再旋转后的U点部分，序列UU会变成序列U，与D点部分中先行到达的序列U相重复，所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除，然后再旋转剩余部分，最后再组合，才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPr2k5URib4HXqbia0ibzibqYXmqVCKicjBWvtWMGr5Td3REqv1yNM2u9LbPafUnMlQIvIXgxPh2zoD2VQ/640?wx_fmt=png
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MtoLYOyVktwkAhiaIkpHUl0eMmZQicCBn5MUW8TAFGOic9aEjVxeIRC40g/640?wx_fmt=png接下来的工作就很简单了，把剩余的部分全部组合在一起。诶？等等？你说剩余的极点部分和球心该怎么办？没关系，用希尔伯特旅馆的思想就可以解决。因为极点在球面上，所以可以想象，每个极点都在一个圆上，而且不会有多个极点在同一个圆上。而希尔伯特旅馆的例子告诉我们，一个拥有不可数无限个点的圆，上面少一个点，总可以找出另一个点来补充它的位置，因为点是无限多的。球心也可以被这样补充出来。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhO74qA1hmsic3qmcFXqEGA8MDIMxq5h2aTzWwzvqAIFZSeNXIpje96hrIticAFPCcLSM2PoNTR5saOA/640?wx_fmt=png那么，到目前为止，我们就成功地将一个球完美地分割成两个球啦！而且这两个新球，跟旧球是没有任何区别的哦！后排的模友，请让超模君看到你们欢呼的双手！
其实，有关“分球悖论”的正确性，依旧是众说纷纭，因为它超出了我们日常生活的直观经验，也就是所谓的常识。
但是，谁又能够说，常识就是真理呢？谁又能够说，我们所能触摸到的，就是这个世界的全部呢？
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