刻在莫比乌斯环上的卡农
刻在莫比乌斯环上的卡农2017-10-18
Tony Philips
原理
数学与音乐 Mathematics & Music
撰文：Tony Philips | AMS
乐谱中的拓扑空间
乐谱的谱写基本上基于两个维度：音调和时间。例如，在单音乐乐谱中，垂直的纵轴标记的是音符的音调（对应于频率），从左到右的横轴所代表的则是演奏的时间顺序。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wMBImaDhTG8gdDClFQ0sr8Ov9pM9YIqrl5BTMT8FTtagic5OLOIFCM0g/0?wx_fmt=jpeg○ 14-15世纪的唱诗乐乐谱。
从拓扑学上说来，单音乐乐谱就是一条二维带。水平的时间坐标标记着音乐从开始到结束；垂直的音符坐标标记着音调的高低。上图所显示的是从古老的唱诗乐乐谱中截出的一小段乐谱，与现在的乐谱相比已经很不同了。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wu41fslWKnibjqM7IpmJuFwnTIIUB6yhgia9clXTcuKs2PfnDsUjRRbkQ/0?wx_fmt=jpeg○ 呈长方形带状的单声乐谱。
当乐谱具有对称性时，它的拓扑性质会变得更加有趣。假设乐谱中所作乐曲是重复的，需要你一遍又一遍按照相同的音符序列弹奏。这种情况其实很常见，例如奏乐中有一种上世纪三四十年代的流行乐中常出现的“vamp until ready”，伴奏者在歌手准备好前要往复的弹奏一段音符。在音乐吉普中，重复记号标识的是这段序列的开头和结尾，这种表示使得乐谱在拓扑学上变成圆柱体。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wiavM1EsTClQ6OQez37OoQaw5sOLJ1s7Hr343ibb9BGlYEIL7iau5G2ofw/0?wx_fmt=jpeg○ 一个基本的Vamp在拓扑学上可看作为一个圆柱形。
卡农
卡农在音乐上就是一种非常有趣的记谱方法，一个二段式的卡农中，第二声部的乐谱会在延时后模仿第一声部的乐谱。最著名的例子之一就是Frère Jacques，也就是我们熟悉的《两只老虎》。这段曲调长度为八个小节，在第三小节时，第二声部开始重复第一节的曲调，两个声部融合在一起形成和声；这种和声在第九和第十小节都仍在继续，第一声部重新开始，第二声部开始结束。然后第二声部会再次开始，从第三到第十小节的顺序形成一个自然重复的稳定状态。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wNI4f6NYW5AianPReoiaBxyicv7Pk6fib7rgttYB0L71D1d0texv64Gppfg/0?wx_fmt=jpeg○ Frère Jacques（《两只老虎》），第一声部会在第二声部结束时重新开始，因此没有确切的结束点，其稳定态即为蓝色方框内所示的内容，可根据需要被反复演奏。
约翰·塞巴斯蒂安·巴赫
卡农这种谱曲法曾是伟大的音乐家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Johann Sebastian Bach，1685-1750）的专长。在我们经常看到的巴赫肖像画里，他的手上便拿着一张卡农的乐谱，是《哥德堡变奏曲》中十四段卡农的卡农13。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wC2VhLqSOp46MHT6vTH9DhqzIHra8VwGyN32S7GOqlksAV8TfdIfN5w/0?wx_fmt=jpeg○ 由Elias Gottlob Haussmann于1726年所作的巴赫肖像，画中巴赫的手中握着的是《哥德堡变奏曲》（BWV 1087）中十四章卡农里的卡农13。
这组卡农背后还有一段有趣的故事，在1974年前，巴赫所作的这一系列作品都并不为人所知，除了在这幅肖像画中出现的这段、以及另一段写在朋友签名簿中的乐章。人们是在巴赫自己的《戈德堡变奏曲》副本的背面找到了这些卡农。接下来我们将主要分析其中的第三和第五章。
BWV 1087中的卡农3
卡农第三、第四和第五章的乐谱都包含一些“翻转”，例如原调中向上的乐谱，其翻转会以相同的间隔向下移动。在卡农3中，第一声部的那段音乐弹奏的是戈德堡的前八个音符，而以第三小节为起点，一段完全相反的旋律随之而来。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1w57icIUia0sddibIwhVyMVUYG1PCBzl6UkAVibkFwMZtqcIQh1yMYfAQ08A/0?wx_fmt=jpeg
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wYDKXvAvnSU741XtzUaNYEpkJUhFgpib7uiaMfX2jy3134xCGvIo7W8ZA/0?wx_fmt=jpeg
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1wGShshOTibFUbRxIeiaF7gYjkgnU9ydWvzr2jWTgeOQCagJJBd6uJ1vXg/0?wx_fmt=jpeg○ 上：哥德堡变奏的前八个主旋律；中：同样旋律的翻转；下：第一声部在第二声部进行到一半时从头开始，使得卡农的稳定态能自然而然的重复。
从拓扑学的角度来说，无论是 Frère Jacques 还是 BWV 1087的卡农3，卡农都有相同的结构：在几个前奏小节结束之后，卡农就会保持在一个圆柱形的稳定状态下。巴赫的所有卡农都是这样架构的。
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BWV 1087中的卡农5
巴赫的卡农5中有四个声部对两个卡农同时进行并行演奏，其中一个卡农使用两个声部演奏卡农3的旋律。与其叠加在一起的另一个卡农除了滞后以及在声部上降了八度以外，基本结构是相同的：后声部会在第二小节后开始反向模仿前声部。
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接着我们来看下图中上面的两个声部，将其与其镜像（翻转）乐谱在稳定状态下进行比较。乐谱的最后两个小节可看作为与第一第二小节完全一致的被颠倒的镜像（图像中的橙色框内内容）。乐谱具有滑移反射对称性。
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任何具有滑移反射对称性的周期性乐谱都可以在莫比乌斯环上进行编码：
[*]周期性意味着它可以在圆柱体上编码。
[*]滑移反射对称性意味着如果我们将圆柱体分成两层并扭曲，则这两组音符将完全匹配。
这一几何体就是莫比乌斯环，环中的这些符号不仅仅是存在于环上，而且还能从两边被读取。
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因为卡农5的两个高声部乐谱具有滑移反射对称性，我们可以将其变为一个莫比乌斯环。https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/tqOuxs8dsHPEvPiaia19CibPyZ2RaYicmB1ws9XNxDvDzgOePGsm7TzCTjic62KkqqTQeU0bEr1KaZjzf4hcQibRB8SA/0?wx_fmt=jpeg○ 卡农5的两个高声部乐谱可被印在一个圆柱体上。
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两个低声部的乐谱也具有滑移反射对称性，它们也可以被编码在莫比乌斯环上，但需在一个不同的环上，因为对称轴是不同的。
值得一说的是，卡农反向行进的乐谱不一定具有滑移反射对称性。如果一段滑移动反射对称是重复的，则能返回到原始状态。而这一属性只有在当第二声部正好始于中间点时，才可能出现在反向运动的卡农中。
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出自BWV 1087的卡农3和5都具有这样的特性：它们的稳定态都可以从莫比乌斯环上读取。但这不是说巴赫的所有卡农都具备这样的属性，如《音乐的奉献》（BWV 1079）中的第3和第9乐章，以及《哥德堡》中的第12和15变奏中就都没有这种有趣特征。
《音乐的奉献》是巴赫在1747年5月7日在波茨坦拜访了国王弗雷德里克二世（Frederick the Great）所创造的作品。国王本身是一位音乐家，他为作品创造了主旋律，在现场的巴赫即兴创造了三部分赋格曲。
https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/tqOuxs8dsHPIfwia4yrJmGjkmBAoWH2VwpIbFku1CCZVe3vnVficqjXqyCtohHRRjy4GkwF5305jQtIC67AzlXsg/0?wx_fmt=png○ 由弗雷德里克二世所谱的“皇家”旋律，初音与尾音落在同一音上。
弗雷德里克还挑战了巴赫，让他就这一旋律即兴创作六段赋格，但据说巴赫拒绝了如此艰巨的任务。当巴赫回到莱比锡时，他写下了那三段即将创作的赋格，以及弗雷德里克所要求的另外六段、一部三重奏奏鸣曲和十首卡农，且均以“皇家主题”为基础。之后他把它们印好呈给了国王，就有了巴赫的《音乐的奉献》。
YouTube上有一个视频，标题是“莫比乌斯环上的巴赫的逆行卡农”，是《音乐的奉献》里的第一首卡农。视频里显示了这首卡农如何在一条莫比乌斯环上被读取。在逆行卡农里，第二声部的演奏是将第一声部从开头到结尾的“倒带”。这是一部美妙的音乐，但它与莫比乌斯环真的毫无关系。就让我们一起来欣赏一下吧！
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译：不二北斗
参考链接： http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2016-10
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