1012与它的同伴们
1012与它的同伴们2017-08-31
Michael Greaney
原理
先想任意一整数，将这个数字按相反的顺序重新排列得到另一个数字，再把这两个数字加在一起，得到的和是不是一个回文数呢（顺读和倒读都相同的对称数）？如果不是，那请将新得到的数字重复这个过程，反向、再相加，直到结果为回文数为止。大部分数字只需通过少数几次这样的迭代步骤就能形成回文数，比如153，它只需要进行两次这样的迭代便可得到回文数909。
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然而，有一些数字无论进行多少次这种“反向-相加”的迭代操作，似乎都不会形成回文数字。这种不产生回文数的数字称为利克瑞尔数（Lychrel Number），它们由 Wade Van Landingham 命名。因为Wade的女朋友名叫“Cheryl”，而“Lyrchel”就是从“Cheryl”倒转过来时的大致变体。
单位数与双位数似乎不存在利克瑞尔数，它们几乎都能形成回文，最小的一个利克瑞尔数可能是196。这样的数字有很多，例如879和1997等数字，目前我们只是发现这些数字在进行了数十亿次“反向-相加”的迭代过程下还是没有产生任何回文数，但并没有找到绝对的证据能证明这些数字是真正的利克瑞尔数。
换种思路，如果不取两个数字之间的和，而是取两数间的差会发生什么？再以196为例，若将196进行“反向-相减”迭代过程，我们会得到一个回文数，再然后便得到0，进一步迭代只会产生更多的零。
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所有的一位、两位和三位数字都可以通过这个步骤变成零。有趣的是，第一个超越这个规律的数字，便是1012。将1012代入这种迭代步骤，我们会得到：
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你们应该已经注意到第三次和第七次的迭代结果了，它们之间相差4步，却结果相同。任何再进一步的“反向-相减”只会不断地重复步骤4到步骤7的迭代。
这种现象在进行“反向-相减”的重复过程时常会发生：数字要么收敛到0，要么最终进入一个循环，重复相同的一组数字。我将1到100亿（10^10）间的所有数字，以及101亿个18位数字的数字样本用来检验这种“反向-相减”的过程。结果发现，在我测试的这201亿个数字中，没有任何一个数字可以无穷的迭代下去的，这个过程总是要么以零种植，要么进入一个循环。当然，虽然我检测的样本已经很大，但这仍不能表示它适用于所有数字。
参照 Wade Van Landingham 的例子，我用我妻子的名字 Máire 给这些会终止于一个循环的数字，取名为 Eriam 数。
在检验的这201亿个数字中，我发现这种终端循环的周期数有以下几个情况：1个（得到0），4个（比如1021），12个，14个，17个或44个数字。小周期的出现频率比较大周期更为频繁；会进入循环的数中有近94％的数有1个或4个周期的终端循环。德国数学家 Klaus Brockhaus 随机检查了长度为50位的一些数字，发现它们进入的终端循环的周期长度都只符合上述的几个情况。我们不能因此断言其他长度的周期不存在，但目前来说的确尚未发现。
另外，每个数字到达这种循环的起点的迭代次数也各有不同，例如3201这个数，从第一个迭代起它就进入了终端循环，而1,000,509,057这个数则要进行84次迭代彩绘进入终端循环。同样，每个数字变成0的步骤长度也各有不同，最简单的是回文数字，只需一步便可成为0，而其他数比如1,000,122,729，则要进行107次迭代才会变回0.
还有一个有趣的发现是，在所检测过的的201亿数字中，绝大多数的终端循环数都是 ±21…78 和 ±65…34 的形式，省略号表示一些中间数字，如87,968,465的最终循环数是21,782,178，10,002,729的终端循环数是65,346,534，当然也有像1012这样的终端数字里不存在中间数的数字。
那些能降为0的数字在终结为0之前，都会产生一个回文数，大多时候这个数会以9...9的形式出现。在两个9之间通常是若干0或若干9，或都有。比如82,427的终结回文数是9999，而82,432的终结回文数则为9009。但有时也有例外，会出现54...45的回文数，例如，1166的终结回文数是5445，而180,004的终止回文为549,945。
在研究的这201亿个数字样本中，发现4位数的数字里有637个 Eriam 数字，仅占全部4位数的7％。而随着数字位数的增加，Eriam数的数量和百分比会大幅度增加。对9位数和10位数的数字而言，有超过60%的数是Eriam数。
似乎重复“反向-相加”的过程更像是一个很难断定其上限的过程，因此也很难证明一个数是否真的就是利克瑞尔数；而“反向-相减”更偏向是一个收敛过程，就像往地面释放一个球，它要么直到达地面且停止，要么绕着某一点上下不断反弹。
编译：小绵泡
参考原文：https://plus.maths.org/content/1012-and-other-such-numbers
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