数学概念是否都是逻辑概念？
数学概念是否都是逻辑概念？2017-08-21
塔尔斯基
哆嗒数学网
哆嗒数学网注：作者系美国波兰裔逻辑学家和数学家塔尔斯基，逻辑学方面逻辑学家们将塔斯基的成就与亚里士多德、弗雷格、罗素和哥德尔相提并论。数学上他发现了著名的“分球怪论”——巴拿赫-塔尔斯基悖论，引发了数学界对选择公理更深刻的讨论。本文作者从几何学出发，不断深入，详细讨论了任意学科的"逻辑概念"这一概念。其间还讨论了“数学是否是逻辑的一部分”这样的问题。此文原载于《世界哲学》2014年3期。
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1、 我演讲的题目是一个问题（演讲题目是：什么是逻辑概念）；它属于现如今非常时髦的一类问题。你们还常常听到另一类问题：什么是心理学、什么是物理学、什么是历史学？这类问题有时由在特定科学中工作的专家来回答，有时由科学哲学家来回答；在这样的问题上，有时，人们也把逻辑学家当作所谓的权威而问及其观点。好了，让我们这样来说，在一门特定的科学中工作的专家通常是这样一些人，他们至少有资格为这门科学给出一个好的定义。在这个范围内，你们通常会期望从科学哲学家那里获得一种明智的讨论。逻辑学家显然不是权威，逻辑学家并没有特殊资格来回答这类问题。相反，逻辑学家的角色和影响具有负面特点——他提出批评意见，指出某种表述多么糊涂，对某一门科学的说明多么不明确。鉴于逻辑学家讨论其他科学的定义的负面方式，逻辑学家在讨论自己的科学并且试图说逻辑是什么的时候，当然必须特别谨慎。
对于“什么是逻辑？”或者“什么是如此这般的科学？”这个问题，回答可能是千差万别的。在有些情况下我们会说明这门科学的名称的流行用法。因此，要说什么是心理学时，你可以试试说明使用“心理学”这个词的大多数人通常指什么。有些情况下，我们并不在意使用一个词的所有人的流行用法，而是在意有资格使用它的人的流行用法，这些人是该领域的专家。这里，我们就会在意心理学家对“心理学”这个词的理解。在另一些情况下，我们的回答带有规范性特征：我们建议这个词以特定的方式使用，而不管它实际使用的方式。另一些回答似乎另有不同的目的，对此我难以说明白它是什么；人们常常会谈论把握一个概念专有的、真正的意义，或者某种独立于实际用法、独立于任何规范性建议的东西，抑或某种类似于这个概念背后柏拉图式的理念的东西。最后这种探讨对我来说十分怪异，我会忽略不计，因为对这类问题我无法给出任何明智的说明。
让我提前告诉你们，要回答“什么是逻辑概念？”这个问题，我的做法是为“逻辑概念”这个术语的一种可能用法提出一项建议或提议。对我而言，即便这个建议并非与“逻辑概念”这个术语的所有流行用法一致，它也至少与实践中所遇到的一种用法一致。我认为这个术语在几种不同意义上使用，而我的建议说明了其中一种意义。①此外，我将不讨论“什么是逻辑？”这个一般性的问题，我把逻辑看作一门科学、一个真句子系统，这些句子中包含指称特定概念、逻辑概念的语词。在这里我仅考虑该问题的一个方面，即逻辑概念的问题，而不考虑比如逻辑真的问题。
2、 我的建议的基本思想要回归到德国数学家F. 克莱因(Felix Klein)。在19世纪后半叶，F. 克莱因在几何基础中做出了相当严肃的工作，对该领域后来的研究产生了巨大的影响。②吸引他的一个问题是区分各种几何体系、各种几何理论中讨论的概念，比如普通欧氏几何、仿射几何和拓扑学。我将尝试把他的方法扩展到几何学之外，还把这种方法应用到逻辑学。我倾向于相信，同样的思想还可以扩展到其他科学。据我所知，至今还没有人尝试这样做，但是或许可以运用克莱因的想法，阐述一些合理的建议，用于区分生物学概念、物理学概念与化学概念。
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现在让我试着向你们非常简要地解释克莱因的思想。克莱因的思想基于“变换”这个技术性的名词，而这个词又是每个人都熟知的、来自高中数学的另一个名词——“函数”的特例。我们都知道，一个函数或者函数性关系是一个具有如下性质的二元关系r，无论考虑什么样的对象x ，至多存在一个对象y 使得x 与y 具有关系r 。这些使这样一个y 存在的x 称为“自变量值”。对应的y称为“函数值”。我们也写成y=r(x)；这就是通常的函数记号。自变量值的集合称为“函数的定义域”，函数值的集合在《数学原理》中称为该函数的“反域”(counter-domain)，更常见的叫法是“值域”(range)。所以，每个函数都有定义域和值域。数学中经常处理由数构成定义域和值域的函数。然而，还有其他类型的函数。比如可以考虑由点构成定义域和值域的函数。特别地，在几何学中，我们处理定义域与值域均与整个几何空间重合的函数。这样的函数被看作几何空间到自身的“变换”。此外，我们还常常处理一些1−1函数，这些函数具有如下性质：对任何两个不同的自变量值，对应的函数值总是不同的。我们便说这样的函数在其定义域和值域之间建立了一一对应关系。因此，定义域和值域均与整个空间重合的1－1函数称为几何空间到自身的一一变换(更简单地称为“变换”)。现在开始讨论普通几何空间的变换。
接着让我们考虑我们高中就熟知的普通欧氏几何。这门几何学最初是一门经验科学——其目的在于研究我们周围的世界。这个世界充斥着各种物理对象，尤其是刚性物体，刚性物体的一个特征是它们在移动时不改变形状。这样一个刚性物体的每一次运动都对应于某种变换，因为一个刚性物体在开始移动时占据一个位置，而作为该运动的结果它又占据另外一个位置。这个刚性物体在运动开始占据的每一个点都对应同一物体在运动终止之时占据的一个点。于是便有了一个函数性关系。这确实不是一个其定义域包含空间中所有点的函数性关系，但是由几何学可知，它总是可以扩展到整个空间。现在，这个变换的典型特征是两点之间的距离不变。如果x和y有一定的距离，而f(x) 和f(y) 是对应于x 和y 的终点，那么f(x) 和f(y)之间的距离等于x 和y 之间的距离。我们称距离对这个变换保持不变。这是刚性物体的运动特性——要是它不成立，我们便不会称这个物体为刚性物体。
正如你们看到的那样，在几何学中我们很自然来考虑这个空间中的一种特殊变换，也就是不改变点之间的距离的变换。数学家有一个坏习惯，从其他领域——物理学、人类学等等借用一个词，赋予它一种相关而不同的意义。对“运动”这个词他们已然这样做了。他们在数学意义上使用“运动”这个词，在这种意义上，它只是表示距离不变的变换。因而一个特殊的物理对象、一个刚性物体的运动导致某种变换；但是对于数学家来说，运动只不过是不改变距离的变换。这样的变换更恰当地称为“等距变换”(isometric transformation)。
克莱因接着指出，欧几里得几何学中讨论的所有概念对所有运动都保持不变，也就是说，对所有等距变换都保持不变。让我再说一遍我们说一个概念对某些变换保持不变的意思是什么。我在一种非常宽泛和一般的意义上使用“概念”这个词，粗略地说，意思是在某种类似于《数学原理》的类型分层中所有可能类型的对象。因此，概念包括个体(在这里就是点)、个体的类、个体的关系、个体的类的类，等等。比如，说个体的类对变换f保持不变是什么意思？它的意思是，x 属于这个类当且仅当f(x) 也属于这个类，换句话说，这个类由这个变换映射到自身。说一个关系对变换f保持不变又是什么意思？它的意思是，x和y具有这种关系当且仅当f(x) 和f(y) 也具有这种关系。我们可以很容易地按熟悉的方式把不变性的概念扩展到类的类、类之间的关系等等。
对欧几里得几何学的详细分析表明，在这门几何学中讨论的所有概念，不仅对运动保持不变、对等距变换保持不变，而且还对更广泛的变换类保持不变，即对几何学家所谓“相似性变换”保持不变。有一些变换并非都保持距离，但可以说它们在所有方向上统一增大或缩小几何图形的尺寸。更确切地说，有些相似性变换不保持距离，但是都保持两个距离的比例。比方说，你有三个点x 、y 和z ，如果y到z 的距离比x到y的距离大25％，那么相似性变换的结果仍然是三个点f(x) 、f(y) 和f(z)，其中f(y) 到f(z) 的距离比f(x) 到f(y) 的距离大25％。换句话说，一个三角形变换为另一个相似三角形，两者都有相同的角，而且它们的边成比例增大或缩小。于是，在欧几里得几何学中讨论的所有性质，对所有可能的相似性变换保持不变。顺便说一句，这意味着在欧几里得几何学中不能讨论度量单位的概念。我们不应该问这样一位几何学家，从他的学科观点看，米制系统和非米制系统哪个更好。用欧氏的术语来说，我们无法区分一米和一码，甚至也不能把一厘米与一码区分开。任何两条线段都是“相同的”，因为你总可以通过相似性变换把一条线段变换成另一条线段。属于一条线段的每种欧几里得性质也属于其他每一条线段。
克莱因接着说，对所有相似性变换的不变性是度量几何学(普通欧氏几何的另外一个名称)的特性。③这一点可以用定义来表达：一个度量概念，或者度量几何学的概念，只不过是对所有可能的相似性变换保持不变的概念。我们当然也可以设想一门学科，在其中我们考虑较窄范围的变换类，比如只考虑等距变换，或者只考虑保持左右两边的区分的变换(在普通几何学中无法给出这种区分)，或者只考虑保持顺时针运动与逆时针运动的区分的变换(在通常的欧几里得几何学中也无法给出这种区分)。但是，通过缩小可容许变换的类的范围，可以作出更多的区分，也就是说，我们拓宽了对可容许变换保持不变的概念的类。在这个方向上，几何学的极端情况就是挑出4个点，给它们命名，然后只考虑那些让这4个点保持不变的变换。这将意味着引入一个坐标系，然后我们将处于几何学范围的极限位置，即处于所谓的分形几何的位置。实际上，在这种情形中，除了一个“不足道的”恒等变换，不会有可容许的变换。
另一方面，可从反方向入手；不是缩小可容许变换的类的范围并以这种方式拓宽不变性概念的类的范围，而是做相反的事情，拓宽变换类。比如，我们还可以增加距离可变的变换，但是不变的东西是点彼此之间的线性位置。更确切地说，如果3个点在一条直线上，那么它们经过变换之后的像也在一条直线上。如果一个点位于其他两个点之间，那么它的像也位于其他两点的像之间。有人称这样的变换为“仿射变换”。共线性(coilinearity)和居间性(betweeness)恰好是两个对所有这类变换保持不变的概念。使用这样的概念的几何学分支称为仿射几何学。④在这门几何学中，我们无法区分一些东西，比如一条线段与另一条线段，实际上我们无法在三角形中作出任何区分。这样说来，任何两个三角形都是相等的，也就是说，从仿射几何学的观点看是不可区分的。这意味着，在仿射几何学中，我们无法指出任何一种性质，它为某一个三角形所具有，而不为所有其他三角形所具有。在度量几何学中，我们知道许多这样的性质，例如等边性、直角性。在仿射几何学中，我们无法作出任何这样的区分。我们所能区分的，乃是把三角形与四边形区分开，因为不存在仿射变换可以从一个三角形出发而得出一个四边形。因此，这里我们有了一个更宽范围的变换类的例子，这致使我们也有了一个更窄范围的概念类的例子，这些概念都对这个较宽范围的变换类保持不变；概念越少，特征更“一般”。
我们再往前走一步。比如，我们可以增加一些甚至不保存居间性关系的变换，甚至增加一些把位于同一条直线上的点变成位于不同直线上的点的变换。粗略地说，这里被保持的典型事物就是联通性或者封闭性。联通了的图仍是联通的。封闭了的曲线仍是封闭的。从“负面”角度看事物，有时候人们说，这些变换就是那些不“打碎”或“撕裂”的变换。这是一种非常不精确的表述方式，但是你们中有些人大概已经猜到我在想什么；我在想所谓的连续变换，这部分几何学，亦即处理对这些变换保持不变的概念的几何学，就是拓扑学。在度量几何学中，可以把一个三角形与另外一个三角形区别开；在仿射几何学中无法做到这一点，但仍然可以把一个三角形和一个(比如说)四边形区分开。而在拓扑学中，我们无法在两个多边形之间作出区分，甚至在一个多边形和一个圆之间也无法区分，因为给定一个多边形，如果我们想象它由金属丝制成，那么总可以把它弯成一个圆或者任意其他多边形。这样的变换是连续的：任何联通的东西不分离出来。在拓扑学中可以区分一些东西，比如说，把一个三角形从两个三角形区分出来。因为如果一根三角形的金属丝可以弯曲成两个三角形，那么就把它分裂为两部分，每个三角形从一部分得到——这就不会是连续变换。
3、 现在假设我们继续思考这一点，还考虑更宽范围的变换类。在极端的情形中，我们会考虑空间、论域或者“世界”到自身的所有一一变换组成的类。处理对这个最宽范围的变换类保持不变的概念的科学将是哪一门科学呢？这里只有非常少的概念，所有这些概念都具有非常一般性的特征。我认为，它们就是逻辑概念，称一个概念是“逻辑的”，如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变。⑤这样的提议或许听起来有些奇怪——看它是否合理的唯一方式便是讨论它的某些推论，看它会导致什么样的结果，若我们同意在这种意义上使用“逻辑的”这个词，就必须相信这些结果。
一个自然的问题是这样的：考虑在现有的任何逻辑系统(比如《数学原理》)中可定义的语词所指的概念。在《数学原理》中定义的概念都是我提议的那种意义上的逻辑概念吗？回答是肯定的；这是一个很简单的元逻辑结果，很久以前(1936年)林登堡姆和我就在一篇短文中进行了阐述。虽然这个结果是简单的，但是我依然认为大多数逻辑教科书应该包含这个结果，因为它显示了逻辑手段所能表达的事物的一种特性。我不会用非常精确的方式表述这个结果，但是它的本质恰如我刚才所言。《数学原理》中定义的每个概念，对任何其他常见的逻辑系统中的那些东西，对“世界”或“论域”到自身的每个一一变换都是保持不变的。⑥
下面我们系统地寻找逻辑概念的例子，从最简单的语义范畴⑦或类型开始，逐步达到越来越复杂的范畴或类型。比如，我们可以从个体、从最低类型的对象开始，并且问下面这个问题：个体中的逻辑概念的例子有哪些？我的意思是：哪些个体的例子在上述意义上是逻辑的？答案很简单：不存在这样的例子。不存在这种类型的逻辑概念，这仅仅是因为我们总能找到世界到自身的一个变换，其中一个个体变换成另一个个体。我们总可以定义这样一个函数，这个简单事实意味着在这个层次上不存在逻辑概念。
如果我们进入下一个层次，到达个体的类，我们问：个体的类有哪些在这种意义上是逻辑概念？依然由一个简单论证便得出结论，恰有两个个体类是逻辑概念，即全域类和空类。只有这两个类才是对论域到自身的每个变换保持不变的个体类。
如果我们再进一步并考虑二元关系，简单论证即可表明，只有4个二元关系在这种意义上是逻辑概念：总是在任意两个对象之间成立的全域关系，绝不会成立的空关系，当“两个”对象相等时只在它们之间成立的恒等关系，以及与它相反的多样性关系。因此，全域关系、空关系、恒等关系以及多样性关系，这四者是个体之间仅有的逻辑的二元关系。这一点很有趣，因为皮尔士、施罗德和其他19世纪的逻辑学家在关系理论中恰好引入和讨论了这4种关系。如果你考虑三元关系、四元关系等等，情况也是类似的：对于这些关系中的每一种关系，你都将有少量的有穷多个逻辑关系。
如果你再进入下一个层次，考虑类的类，情况变得更有趣一些。我们不说“类的类”，而说“类的性质”，并且问：类的哪些性质是逻辑概念？答案仍旧很简单，尽管十分难以精确地阐述。可以证明，(个体的)类的性质中只有与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念。一个类由3个元素组成，或者由4个元素组成……这个类是有穷的，或者一个类是无穷的——这些都是逻辑概念，而且本质上是这个层次中仅有的逻辑概念。
在我看来，这个结果相当有趣，因为在19世纪，有一些关于我们的逻辑是外延的逻辑还是内涵的逻辑的讨论。人们说过多次，尤其是数理逻辑学家说过多次，我们的逻辑确实是外延的逻辑。⑧这意味着，如果两个概念有相同的外延，便不能从逻辑上加以区分，即使它们的内涵不同。正如通常所认为的那样，我们不能从逻辑上区分性质和类。现在根据我们的建议，可以证明我们的逻辑甚至比外延的逻辑还要少，它是数的逻辑、数字关系的逻辑。如果两个类中每个类恰有两个个体，我们便不能从逻辑上区分它们，因为如果你有两个类，每个类都由两个个体组成，你总能找到论域的一个变换，在这个变换下，一个类变换为另外一个类。每一项属于两个个体组成的一个类的逻辑性质，都属于恰好包含两个个体的每一个类。
如果你接着考虑更复杂的概念，比如类之间的关系，那么逻辑概念的种类就会增加。在这里你将平生第一次遇到许多重要的和有趣的逻辑关系，学过逻辑基础的人对这些关系了如指掌。我指这样一些东西：类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系；所有这些关系都是通常意义上的逻辑关系的例子，在我所说的意义上它们也都是逻辑的。由此你便有了关于逻辑概念是什么的想法。我自己仅仅考虑了4种最简单的类型，只在这些类型的范围内讨论了逻辑概念的例子。作为这个讨论的结论，我想转向另一个问题，在听我的说明时，你们中有些人大概已经有了这个问题。
4、 数学是否是逻辑的一部分？这是常常被问及的问题。在这里我们仅考虑该问题的一个方面，即数学概念是否都是逻辑概念，而不涉及比如数学真命题是否都是逻辑真命题这样的问题，它超出了我们讨论的范围。众所周知，全部数学可以在集合论⑨或类理论中构造，因此，上述问题可以归约为如下问题：集合论的概念是否都是逻辑概念？我们又知道，所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义⑩，即归属概念或属于关系的概念，因此我们的问题的最后一种形式是：属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念？答案似乎令人失望。我们可以这样来发展集合论、属于关系的理论，使得这个问题的答案是肯定的，或者我们也可以这样来进行，使得这个问题的答案是否定的。
所以答案是：“如你所愿！”你们都知道，由于悖论的出现，主要是本世纪之交在集合论中出现的罗素悖论，必须重新对集合论基础进行彻底的研究。这项研究至今绝没有完成的一个结果是说，在集合论经历惨痛重击之后，两种构造从集合论中挽救出来的东西的方法发展起来了。一种方法本质上是《数学原理》的方法、怀特海和罗素的方法——类型方法。第二种方法是策梅洛、冯•诺依曼和贝奈斯等人的方法——一阶方法。现在让我们从这两种方法的观点来看我们的问题。(11)
使用《数学原理》的方法，集合论就是逻辑的一部分。该方法可以大致描述如下：我们有一个基础论域，即个体域，然后我们从这个个体域构造一些概念，比如类、关系、类的类、关系的类等等。然而只有基本论域、个体域才是根本的。一个变换定义在这个个体域上，而这个变换又诱导出由个体、个体之间的关系等等构成的类上的变换。更明确地说，我们考虑最低类型的全类，一个变换以这个全类为定义域和值域。然后这个变换也诱导出一个变换，其定义域和值域是第二类型的全类，即个体的类的类。当我们讨论“世界”到自身的变换时，我们仅仅指基本论域、个体域的变换(这个论域可以解释为物理对象的论域，尽管《数学原理》中没有任何东西强迫我们接受这样一个解释)。使用这个方法，显然，属于关系确实是一个逻辑概念。它出现于几个类型中，因为个体是个体的类的元素，个体的类又是个体的类的类的元素等等。恰恰根据诱导变换的定义，属于关系对世界到自身的每个变化都保持不变。
另一方面，考虑构造集合论的第二种方法，这里我们没有类型分层，只有一个论域，个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念。现在，显然这个属于关系不是逻辑概念，因为正如我前面提到的那样，个体之间只有4个逻辑关系：全域关系、空关系、恒等关系和多样性关系。如果个体和集合被看作属于同一个论域，那么属于关系并不是这些关系中的任何一种关系；因此，在这第二种设想之下，数学概念不是逻辑概念。
这个结论在我看来非常有趣，因为这两个可能的答案对应于两种不同类型的思想。我认为，一种关于逻辑、集合论和数学的一元论看法(依据这一看法，整个数学是逻辑的一部分)，要求助于现代哲学家的一种基础倾向。另一方面，若是数学家听说数学这门在他们看来是世界上最高的学科竟然是某种像逻辑那样不足道的东西，他们一定会很沮丧；因此，他们喜欢这样来发展集合论，在其中集合论的概念不是逻辑概念。我所给出的建议，自身并不蕴含对于数学概念是否是逻辑概念这个问题的回答。
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*1966年5月16日，塔尔斯基在伦敦大学贝德福德学院以《什么是逻辑概念？》为题做了一次演讲，然后根据演讲录音整理了一份打字稿。1973年4月20日，在纽约州立大学布法罗分校的会议上，他依据这份打字稿做了一次主题演讲，该校教授著名的美国逻辑学家、哲学家、数学家和逻辑史家J. 柯可兰(1937—)对本次演讲做了详细的笔记，并在笔记基础上写了一份扩展性说明，发表在该大学的报纸上。1982年，塔尔斯基把打字稿以及需要完善的说明交给了柯可兰。柯可兰纠正了稿件中存在的标点符号、句子结构和语法问题，并添加了参考文献和脚注。1983年，塔尔斯基去世。在其去世前他的儿子扬•塔尔斯基和夫人玛丽亚•塔尔斯基征得塔尔斯基同意决定发表经柯可兰编辑后的文章。编辑版本最后于1986年发表在《逻辑史和逻辑哲学》第7卷。征得扬•塔尔斯基教授、柯可兰教授和《逻辑史和逻辑哲学》现任主编裴克豪斯(Volker Peckhaus)教授的许可，我们把塔尔斯基的这篇经典论文翻译介绍给国内读者。该文发表时编者柯可兰教授在文前加了一段“编者导论”和一段“编辑处理”，文后还有一个“编者致谢”，限于篇幅译文删除了这些内容。本文在翻译过程中得到了圣何塞州立大学(San Jose State University)牟博教授的热情支持和帮助，西南大学的马明辉博士提出过具体的修改意见。一并致谢！——译者
Alfred Tarski,"What are Logical Notions?" Edited by John Corcoran, in History and Philosophy of Logic, vol. 7, 1986•【注释】•①把这些说明与塔尔斯基1935年的论文中关于真的说明以及1936年的论文中关于逻辑后承的说明(特别是第420页)联系起来看，很有启发性。也可以参阅柯可兰(Corcoran, 1983)，特别是第xx－xxii页。•②例如，参见克莱因(Klein, 1872)。•③这个领域的术语不统一，有些读者可能不太熟悉塔尔斯基的用法。此处的术语源自塔尔斯基(Tarski, 1935b)，其中用“描述几何学”表示普通欧几里得几何学中仅基于“点”和“介于……之间”(塔尔斯基称为“描述的初始概念”)的那一部分。用“度量几何学”这个词表示全部的普通欧几里得几何学(如塔尔斯基注解，它可以看作仅基于“点”和“同余”——塔尔斯基称这些概念为“度量的初始概念”)。在同一篇论文中，塔尔斯基指出，描述几何学在如下意义上是度量几何学的一个真子部分：“介于……之间”可由“点”和“同余”来定义，而“同余”不能由“点”和“介于……之间”来定义。•④目前使用的“仿射几何学”恰恰就是在这种意义上使用的。塔尔斯基这里所谓的“仿射几何学”，在1935年的文献(Tarski, 1935b)中称为“描述几何学”。一个并非相似性的仿射变换，可以在平面几何学中通过平面到其自身的一个非垂直的、相交“复制平面”的平行投射而得到。具体地说，一个恰当放置的等腰直角三角形的像是不等边的，但三角形所有的像都是三角形。•⑤如果不考虑莫特纳的文章(Mautner, 1946)(塔尔斯基当时似乎并不知道这篇论文)，我相信是塔尔斯基第一次以英语把克莱因的厄尔兰根纲领应用于逻辑。不过，在席尔瓦(Silva, 1945)用意大利语写的论文中，我们找到一些应用，这些应用预示了后来模型论的一些基本要素。凯瑟尔(Keyser, 1922, p. 219)与威尔(Weyl, 1949, p. 73)隐约表明了逻辑与厄尔兰根纲领之间相互联系的可能性。塔尔斯基从1923年到1938年的论文(Tarski, 1983)中并没有提到F. 克莱因。厄尔兰根纲领对逻辑历史发展的影响有待研究。厄尔兰根纲领在物理学、尤其是相对性中的作用也尚需研究。•⑥在布法罗演讲中，塔尔斯基指出，目前的说明可以应用到狭义的集合、集合的类等“概念”，但是《数学原理》中的真值函数、量词和关系算子等等，可以解释为狭义的概念，按照这种解释，这里的说明同样适合它们。例如，把真值T和F解释为论域和空集，立即致使把真值函数解释为(更高层的)概念。这种解释对于数学家来说是常见的和自然的，但它们牵扯到当代逻辑哲学家研究的那种哲学问题。•⑦在论文《真之概念》(Tarski, 1935a)中，塔尔斯基对语义范畴有一段扩展性讨论(这些语义范畴恰好包含怀特海和罗素所处理的“类型”)。在第125页，塔尔斯基把语义范畴这个概念归于胡塞尔。•⑧参见怀特海和罗素(Whitehead and Russell, 1910), III(2)。•⑨在这里，塔尔斯基在一种模糊的、一般的意义上使用“集合论”这个词，在这种意义上，几种不同的具体理论也有资格成为集合论。特别地，怀特海－罗素的类型论与(一阶的)策梅洛－弗兰克尔理论都有资格成为集合论。在这一点上要注意，塔尔斯基把目前各种“集合理论”只看作这个领域中可以有用地发展起来的小样本。编者在“导论”中，相对于类型论，只在一种狭义上使用“集合论”。•⑩这个说明预设以下约定：一个给定的概念被说成可以通过某个固定的概念来定义，如果存在一个除下述概念外不使用任何其他概念的(对给定概念的)定义：(1)固定的概念；(2)论域；(3)其他已被接受的逻辑概念。例如，显然，使用属于关系而绝不用任何其他东西，就无法定义空集。还需要注意，塔尔斯基说“所有通常的集合论概念”而非“所有集合论关系”；后者有不可数多个，定义却只有可数多个。•(11)塔尔斯基认为第一种方法还包括一个高阶的基础的逻辑，第二种方法还包括一个一阶的基础的逻辑。当然可以在多种类的一阶基础逻辑中重新解释类型论，但与本演讲在精神上和文字上都不相洽。类似地，也可以在高阶逻辑中发展策梅洛的集合论。这同样也与本演讲的精神不相洽——尽管策梅洛自己可能已经这样做过，这是一个历史事实。顺便说一句，建立这两种方法的历史性文章都发表于同一年，即1908年。
【参考文献】
•J. Corcoran(1983),"Editor's Introduction to the Revised Edition", in Tarski 1983.•C. J. Keyser(1922), Mathematical Philosophy, E. P. Dutton & Company, p. 219.•F. Klein(1872),"A Comparative Review of Recent Researches in Geometry", English trans, by M. W. Haskell, in Bulletin of the New York Mathematical Society, 2(1892-1893).•A. Lindenbaum and A. Tarski(1936),"On the Limitations of the Means of Expression of Deductive Theories", in Tarski 1983.•F. I. Mautner(1946),"An Extension of Klein's Erlanger Programm: Logic as an Invariant Theory", in American Journal of Mathematics, 68(1946).•J. S. Silva(1945),"On Automorphisms of Arbitrary Mathematical Systems", English trans, by A. J. F. de Oliveira, in History and Philosophy of Logic, 6(1985).• A. Tarski(1935a),"The Concept of Truth in Formalized Languages", in Tarski 1983.•A. Tarski(1935b),"Some Methodological Investigations on the Definability of Concepts", in Tarski 1983.•A. Tarski(1936),"On the Concept of Logical Consequence", in Tarski 1983.•A. Tarski(1969),"Truth and Proof", in Scientific American 220, no. 6.•A. Tarski(1983), Logic, Semantics, Metamathematics, 1 ed. (ed. and trans. Woodger, J. H.), Clarendon Press, 1956.•A. Tarski and S. Givant(1987), A Formalization of Set Theory Without Variables, American Mathematical Society.•H. Weyl(1949), Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press, p. 73.•A. Whitehead and B. Russell(1910), Principia Mathematica, vol. 1, Cambridge University Press.
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