专属天才的数字游戏，看完后发现我们根本玩不起
专属天才的数字游戏，看完后发现我们根本玩不起Original
2017-06-17
超模君
超级数学建模
你是无理的
也是神秘的
前天，超模君跟大家介绍了数学大师约翰·康威的游戏人生（传送门），今天，超模君就从康威常数开始，谈谈那些神秘的常数。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhPkxmTc5AO24XI6cVIH94dicQKgVvhuK5uEAYgC3EyqH6kT7LtJibkVz3oXqDOGiaaQhDkTj8HFyD9Mg/0?wx_fmt=jpeg老顽童康威
01康威常数
λ ≈ 1.303577269
在讲康威常数之前，超模君先带大家了解一下外观数列（Look-and-say sequence）。
1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211，31131211131221，……
这个数列有非常多有趣的特点：
①它以1开始，序列的第n+1项是对第n项的描述。比如：第5项是111221，描述就是3个1，2个2，1个1， 可得下一项就是312211。
②按照①的规律，这个数列会越来越长，但是它永远都不会出现除了1，2，3之外的数字；
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhPkxmTc5AO24XI6cVIH94dicMdE4IWQIh6icaWvKaRicHpQ7oummD7uGaPRlcrS2TrXl6n6b6Tu1O5zg/0?wx_fmt=jpeg
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bw5hH9E5Ohaf0ibfjbYa6MickDgKBKHQ6nsoLZJ8zHESOzibW3Ce4Z6C7Zg/640?wx_fmt=png1987 年，喜欢研究各种趣味数学的康威看着这个数列，觉得非常有趣，然后就开始研究，“一不小心”就发现了一个“明显”的规律！
随着n的增大，相邻两项数字长度的比值 L(n) / L(n-1) 会越来越接近一个固定的数。这个数就称为“康威常数”，用 λ 表示，康威证明了它是一个无理数。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvicO2FdQTy4cu9W8LtCJ5DcdUgmNPDicCiamWTELtpAesZtau0fsX47reaQ/0?wx_fmt=png
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhPkxmTc5AO24XI6cVIH94dicKgicKIAkrZWGr1aaO6WowAQeulOsxWqmyhUHAOHuF6kQsIHDdeTJqLg/0?wx_fmt=jpeg
同时，康威还指出这个数是下面这个71次方程的唯一正实数解。
x^71 - x^69 - 2*x^68 - x^67 + 2*x^66 + 2*x^65 + x^64 - x^63 - x^62 - x^61 - x^60 - x^59 + 2*x^58 + 5*x^57 + 3*x^56 - 2*x^55 - 10*x^54 - 3*x^53 - 2*x^52 + 6*x^51 + 6*x^50 + x^49 + 9*x^48 - 3*x^47 - 7*x^46 - 8*x^45 - 8*x^44 + 10*x^43 + 6*x^42 + 8*x^41 - 5*x^40 - 12*x^39 + 7*x^38 - 7*x^37 + 7*x^36 + x^35 - 3*x^34 + 10*x^33 + x^32 - 6*x^31 - 2*x^30 - 10*x^29 - 3*x^28 + 2*x^27 + 9*x^26 - 3*x^25 + 14*x^24 - 8*x^23 - 7*x^21 + 9*x^20 + 3*x^19 - 4*x^18 - 10*x^17 - 7*x^16 + 12*x^15 + 7*x^14 + 2*x^13 - 12*x^12 - 4*x^11 - 2*x^10 + 5*x^9 + x^7 - 7*x^6 + 7*x^5 - 4*x^4 + 12*x^3 - 6*x^2 + 3*x - 6 = 0
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhPkxmTc5AO24XI6cVIH94dicq2koicb84TsVPwKflwJxIODJoknULMWBsmJK0JrM0p82xNS43oBk6Sw/0?wx_fmt=jpeg欧拉
02欧拉常数γ ≈ 0.577数频-欧拉常数R ≈ 0.273
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_gif/pojyAtdhQhOhOBadF2giaVicGFL1nlWWIicOMoXibAIXAGV73kFswpKB6RQlqeG8R3gVOqWyTt5Pc6qMjQzlgN5pcw/0?wx_fmt=gif为啥会有两个常数？
我们先来看一个古老的调和级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ……
随着分母的不断增大，每一项增加的数会越来越小，这样无限加下去，直觉上这个级数会收敛到一个固定的值。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwINmLCPQiajQEQ5WGpadCK3yicIPGQhJibu3ZQv3Dhp5XnkFODggpleD4g/640?wx_fmt=png然而，这个级数却是发散的。。。尽管相加的分数会越来越小，但是这样无限进行下去，它们的和也会变得无穷大！
早在1360年，数学家Oresme就证明了这个级数是发散的，证明方法也是非常简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +……=1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
解释：后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
此后，数学家们一直想要用数学公式来逼近调和级数，却毫无进展，直到无穷级数理论逐渐成熟。
1665年，牛顿在他的著作《流数法》中推导出了第一个幂级数：
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvicpFBpcIQ56U82j02kumiaMhXrruUhTKpQYib9ibuPxBISqxED2Iibh86eHA/0?wx_fmt=png
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bw5hH9E5Ohaf0ibfjbYa6MickDgKBKHQ6nsoLZJ8zHESOzibW3Ce4Z6C7Zg/640?wx_fmt=png1734年，欧拉利用牛顿的成果，首次得到了调和级数有限多项和的值：
1+1/2+1/3+…+1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
由于后面那一串数是收敛的，欧拉由此判断它们将无限趋近一个常数，用C表示。即：
1+1/2+1/3+…+1/n= ln(n+1) +C（常数）
欧拉还近似地算出了这个常数 C ≈ 0.5772156649。这个数字后来被称为“欧拉常数”。
到了1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni) 引入了 γ 作为这个常数的符号， 并把这个常数计算到了小数点后32位，因此“欧拉常数”也称“欧拉-马歇罗尼常数”。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvicBGiatGhPEmvjLnPcCW04yhEic5aXxeUVYkz5kF0W1AJ2MoI2qUj862rw/0?wx_fmt=png
不过，2015年出版的《数频科学》指出“欧拉常数”是欧拉的一个致命错误！
由于欧拉的误算，导致这个常数与调和级数完全无关（但可以独立成立）。数频-欧拉常数 R≈0.273才是调和级数与自然对数的差值的极限。
03钱珀瑙恩常数C10 ≈ 0.123456789101112
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwdFScwUZ5oxU1RAAicWRyR2ctK8IwvCUDqEVvkFXTLgJPrHhCc9guRTw/640?wx_fmt=png前面两个常数也许你会觉得有点抽象，不太理解，那这个钱珀瑙恩常数就十分简单了，它是指：将所有正整数从小到大写成一排，然后在前面加个小数点，就ok了！
即：0.12345678910111213141516 ……
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvicS1nmc4Omc1S0T43LSwkRdSqvyqXI4CIHibmHmAeorrISOtxlMYNJQMQ/0?wx_fmt=jpeg
这个常数是由英国统计学家钱珀瑙恩（Champernowne）于1933年构造出来的，用符号http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPkxmTc5AO24XI6cVIH94dicuBT7eGttyUTgrLMqdmtNIhNh5Ne1q36hh6xujm2t4AZnxhjKiaPlLHA/0?wx_fmt=png表示。
和其他的常数不同，钱珀瑙恩常数并没有描述任何一个数学对象，它只是为了论证一些数学问题而被构造出来的。它可以用无穷级数来表示：
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvicYxTFsNxZ7ViaXg3YeqVS84GrKFxyBnQpXhsfyOZrfDDHDoQibQmgPPqw/0?wx_fmt=png
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwxRm2yqyLQxJQy7lnicuDahZdtZ5iccpdGp6RALCSTKkF0BD376DibCrYQ/640?wx_fmt=png不过，钱珀瑙恩常数也有一些特殊的性质：①它是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数；②它不是任何一个整系数多项式方程的解，因此它是一个超越数；③每一种数字或者数字组合出现的机会都是均等的，因此它是一个正规数。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvic6waia4O7e1HvVGYE6TRlXVlI8VcBa1oiaicscDsibROz6k9RcYm0QaED8w/0?wx_fmt=jpeg
04黄金分割φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618
黄金分割数0.618是公认的最具有审美意义的比例数字，关于它的诞生，有这样一个传说：
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvu80g7SSccYibKDr1fC6lMtibfLEUnJJy6icYBREZ2hIHmAn0XQHOflU7rraicwqKV9Qdzd2TDQ74eqoA/0?wx_fmt=gif相传，在公元前6世纪的某一天，毕达哥拉斯在街上闲逛，在经过一家铁匠铺时，听到一段很动听的铁匠打铁的敲击声，于是便走进去，量了量铁砧和铁锤的尺寸，发现他们之间的比例很有趣，后来，经过无数次的试验之后，得到了这样一个结论：线段长度比例约接近0.618，敲出来的声音就越优雅！
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/Fv75ib75E07FZUcTQRCFfdQJ7TpKic0hR9wPicWH3wPPx6lzZWCuSv12icqIFjCVBHtuYrUQevKArvj5p603qFAkiag/640?wx_fmt=png0.618与1.618互为倒数
虽然这只是一个传说，但是黄金分割的最初来源确实是来自毕达哥拉斯。在公元前6世纪的时候，毕达哥拉斯学派就研究过正五边形和正十边形的作图。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/Fv75ib75E07FZUcTQRCFfdQJ7TpKic0hR99f2EeM19iaOagKqfIXxknQKCPdAIyic0r3p8toVTqNttyslCo0fibdqMw/640?wx_fmt=png在正五边形里AC/AB=BC/AB=0.618，CD/BC=BD/BE=0.618
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/Fv75ib75E07FZUcTQRCFfdQJ7TpKic0hR9d9qicn9MPMQPhNeibkTYRStNypmasK8q8tX6oqI0mEnfuuLGfrMtBORQ/640?wx_fmt=png在正十边形里，AB/OA=0.618。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统地研究了黄金分割问题，并建立起比例理论。
到了公元前300年左右，欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，并将这些研究成果写进了《几何原本》，它是最早的有关黄金分割的论著。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwcicakkqDdJJWNyKOXggI5eTuF3vJl8jh57wW9PCMRUsbRAIicqfUXg2w/640?wx_fmt=png黄金分割无处不在，几乎所有与美有关的东西，都会与它扯上关系。遍布各种名画、摄影、建筑、音乐等等，甚至炒股、战争布局、医学……
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvic5PoPpKsoIejC7bsFPjMDkMLhQ6Ed3IA5CJz5mAHjJATsiciaX8ic2Qsew/0?wx_fmt=jpeg
而在数学上，还有这样一个“黄金分割数列”，就是“斐波那契数列”。
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。而在这个数列中，还隐藏着一个0.618。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比会越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
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写到这，超模君数数还剩哪些数学常数。。。
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突然发现把几位“大牛”给漏掉了（π、e……）
不过。。。http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhMW77sXnnjg54mZZq1awAvic4xV6crCibWntFdUsXSmSzJicK21BqfjHeqIaQCjBibYVjnFAzicDgw4KFA/0?wx_fmt=jpeg
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhP9l0QJbyMJINwsLIWMzpRbmnd8r7HbtwqfRhqDQjNc83PuMzFJicic2ArjCwfVS33MwnKsBxFvhwQA/640?wx_fmt=jpeg马上“618”了，超模君决定先去“剁手”。。。
本文由超级数学建模编辑整理
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