虚数到底有什么意义？从 i 说起
虚数到底有什么意义？从 i 说起2017-05-04
超级数学建模
存在？
不存在？
之前超模君讲过令人无比困惑的自然底数e（传送门），有模友就表示虚数 i 也是一个磨人的小妖精。
莱布尼茨就曾说：虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐秘所，它大概是介于存在与不存在之间的两栖动物。
连大神都这样形容虚数，然而各位模友还记得当初老师跟我们讲虚数的时候是怎样讲的吗？
是不是直接说 i² = -1呢。
小天连连点头：老师就是这样说的。实话说，我现在也不知道为什么是这样。只知道
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那今天超模君就从 i 说起吧。
关于 i 的定义，首先，我们在实数轴上标好1和-1。
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现在我们将数轴的正向部分，绕着原点逆时针旋转180°，这样，+1就变成了-1。
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那如果我们分开两次来旋转，就变成了这样：
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这时，你是不是已经发现数轴上的那一个小小的 i 了？
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事实上， i 的本质是单位周期结构最基本形式，它并不是一个数，确切地说就是一个旋转量。
而关于这个旋转量，根据上面所说的旋转变换，我们可以列出这个关系式：
1·(逆时针旋转90°) ·(逆时针旋转90°) = -1
即(逆时针旋转90°)²= -1。
现在我们将"逆时针旋转90°"记为 i ，终于得出了老师们讲的 i² = -1。
因此， i 就是意味着逆时针旋转90°，-i 就是顺时针旋转90°。
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下面这个图就很直观的表达了关于 i 的运算。
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也许会有人觉得困惑：为什么要给-1开平方？这样转换来转换去的到底有什么用？
别急，我们先讲讲复数的定义。
现在，我们将纵轴作为虚数轴，横轴作为实数轴。
如果我们不是旋转90°，而是旋转45°的话，就得到了 1+i 。
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任意实数旋转某一个角度所得到的点就用 a+bi 来表示，这就是复数的定义式。
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虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？
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根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
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假设我们现在一艘船上，船的航向是 3 + 4i ，我们现在将船的航向逆时针旋转45°，那么，我们最新的航向应该如何表示？
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45°的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了。（为什么要相乘呢？）
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所以，新的航向就是 -1 + 7i 。
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
[*]最后，对于为什么旋转=乘，有一个非常简单的证明。
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任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )展开后面的乘式，得到cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)所以，( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
本文由超级数学建模编辑整理
资料来源于阮一峰
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