为什么会有矩阵这东西，矩阵到底有什么用
为什么会有矩阵这东西，矩阵到底有什么用Original
2017-04-30
超模君 超级数学建模
这个表妹你们要吗
上一次超模君终于把爱学习的5岁表弟打发走了。。。如何让5岁表弟知道什么是行列式
10分钟让你快速了解行列式的几何意义
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwSXtxu938cDdHtKdQRGKNYeIHeaZsibe2qdT0CLwiaKTOWKr5ZtSjbXRQ/640?wx_fmt=png原本想这个周末可以好好休息一下，没想到10岁表妹竟然来了。
进门的那种气势感觉势不可挡。。。
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http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwY5IWYSurd28Kvn77icibUom8wWN1spFCl8ToL92EFiaOxcRcXhQoc7kvg/640?wx_fmt=png表妹：表弟他学会行列式，你今天一定要跟我说说矩阵。
超模君：哦，不过我要先写文章，你先去那看《衡水宝典》。
表妹：表哥，如果现在你教我的话，我就介绍隔壁家的漂亮姐姐给你认识，那个姐姐...
超模君：你等会，先不要看《衡水宝典》，最近衡水中学的学生清华浙大都不录取了，还是我来给你讲讲矩阵吧，这样才能帮助你学习。
在《线性代数》书中，行列式和矩阵总是如影随行，而且两个确实长得很相似，所以也经常有人混淆两者。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhPnwoCj4Wf585TSnWZkjqU2goz4o23THyziaWHlCfuwOQb1fiaUFh6UM8icAJPiaBQ4reArZofSb0I9BA/640?wx_fmt=png矩阵：有勾必火
虽然这个时代很看颜值（矩阵有勾，确实比较火一点），不过超模君可不是这么肤浅，超模君还是很看重内涵。
行列式：是指将一些数据建立成计算方阵，经过规定的计算方法最终得到一个数。换句话说，行列式代表的是一个值。
而矩阵则不同，矩阵表示的是一个数表，是一个数据的集合体。换句话说，矩阵更神似于一张n行m列的数字表格，或者Excel表。
最近这几天，京西旅馆的大厨还没到位，采购蔬菜的事情还是落在了小天的身上。
这不，精打细算（抠门）的刘强西就派小天到村头菜市场、村尾王大妈菜摊和隔壁村老王农场去调研不同菜品的价格，说是不能乱花一分钱。。。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwgYiawPhcW7IyUkMb3LM0FDmNpt35icMVyolXnRpZ68pia0qXXOGO2kyZw/640?wx_fmt=png小天分别去三个地方分别调研了三种菜品，发现价格真有不同。。。
而之后小天便将得到的数据用矩阵表示出来。
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刘强西看到小天提供的矩阵：这是什么鬼，小天，你干嘛用矩阵来表示呀？！
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwgl4fV4S4pAHZ4SMZJsYSF3I6xia3xsMNglVNIickQw9VuMQ4YJxAAiavw/640?wx_fmt=png小天：因为矩阵也是一种表示多维度数据的方式呀！
刘强西：但这个比Excel表难看，不喜欢，而且没什么用。
小天此时露出鄙夷的眼光：刘boss，你竟然说矩阵没什么用（这个也不怪你，就是现在还有人说数学没什么用），其实之所以做成矩阵的形式，就为了四个字：便于计算。
我记得上一次你还跟我说过三种蔬菜的需求量，那我们将需求量做成需求矩阵B：
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那我们就可以得到三个地方的价格（价格矩阵C）：如何让11岁表妹知道矩阵乘法的本质是什么？
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/pojyAtdhQhN78PCzDTzh8OVnJvSrThWGyMqVuHOHJnhRP4HldcWRPex4PibdlA7VDAweUOEwSyPXm0SzL3tg87g/0?wx_fmt=png
如果此时我们再考虑距离因素和时间成本，那也就是增加距离矩阵D和时间矩阵E，最后再用上我们最简单的运算法则：加减乘除。
那这样的话，我们就可以对三个购菜点进行综合评估，选出最好的供应商了。
刘强西：小天越来越聪明了，讲的很有道理。
小天：我一直都很聪明。
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据知情人士爆料，矩阵最开始是用于线性变换。
那什么是线性变换？向量空间V到其自身的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换，简言之，线性映射就是保持线性关系的映射。
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行行行，就来！从最简单的例子来说，假设X是(a, b, c)这样的数字向量，那么我们经常讲的线性方程组就是对于这个向量做变换，而矩阵乘法就是用来接线性方程组的。
那当我们把X看成函数，我们常讲的微分运算也是一种线性变换，而此时的矩阵乘法则是被用来解微分方程。
学过气象的同学应该对矩阵也很了解，因为他们经常会用矩阵运算来对未来的天气进行预测。
每一天的天气状况在观测后就会是一个具体值，而在观测到之前，我们可以把它想象成一个概率的向量（比如今天的气温22°C的概率是85%，23°C的概率是10%，24°C的概率是5%）。
然后呢，假设每一天的天气和前一天的天气构成马尔可夫链：马尔可夫链（Markov Chain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。
也就是说明天的天气是今天天气的线性变换，所以矩阵的乘法可以帮助你预测n天后的天气。
从刚才讲的几个例子，各位模友可能会发现：http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwdMnEEvWibYA9ldyN7Z85st83SDsv9LTmqiaul3Ymib9vzxUP4DIoxjMwg/640?wx_fmt=png好像很多东西都是线性变换啊？
原因还简单，以为线性关系足够简单，就比如牛顿定理F=ma。
事实上，无论是大数学家还是大物理学家，每个人都希望用最简单的方式去解决问题，还有在我们的数学建模竞赛中，一种简单明了的算法总是会比各种复杂算法更容易让人接受。
而这种对于线性关系的追求，其实也是能力所限制，当我们不知道所研究的对象服从什么规则的时候，我们通常会假设这个现象是服从线性关系（不因为别的，还是因为简单）。
如果太复杂了的怎么办，我们也总是会在复杂的内部关系里面找出线性关系的存在。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwxRm2yqyLQxJQy7lnicuDahZdtZ5iccpdGp6RALCSTKkF0BD376DibCrYQ/640?wx_fmt=png你看，线性关系的基础就是ax+b，没错，这里的运算规则就只有乘法和加法（相信小学就会了）。
矩阵的运算其实就是简单的乘法和加法，而矩阵的出现，也是为了让我们能更好地处理更多维度的数据情况。
http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz/yZPTcMGWibvvLx6F9VHHuduYRiaYhaE4bwY5IWYSurd28Kvn77icibUom8wWN1spFCl8ToL92EFiaOxcRcXhQoc7kvg/640?wx_fmt=png最后再讲一点：
[*]什么是矩阵的秩
关于矩阵的秩，超模君曾在知乎上看过到这么一个回答：
你们家r口人，然后拍了n张照片。这个r就是秩了。http://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/pojyAtdhQhNib7hJibBjSpiaPgibShHzpxDqzDBGZaYIhRL5eSfFANKUZX11yReCRRjuZfaCJWn2OkApf9umagHmdA/0?wx_fmt=jpeg
这样看下来，秩便是线性组合出所有照片所需要的最少的独一无二的人的数量。
本文由超级数学建模编辑整理
部分资料来源于知乎
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